专题03 二次函数的图像与性质（二）（6大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题03 二次函数的图像与性质（二） 目录 【题型一 利用二次函数的图像与性质比较函数值的大小】 1 【题型二 利用二次函数的图像特征求参数的值或取值范围】 2 【题型三 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值或范围】 2 【题型四 二次函数与一次函数图像共存问题】 2 【题型五 两个二次函数图像的综合判断】 3 【题型六 二次函数与几何图形的综合】 4 【题型一 利用二次函数的图像与性质比较函数值的大小】 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点在二次函数图象上，则下列关于的大小关系的说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小 ． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 【题型二 利用二次函数的图像特征求参数的值或取值范围】 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数 ，在的范围内有最小值，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式训练】 1．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数，当其自变量的范围是时，其对应的函数值的最大值为，则的值是 ． 【题型三 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值或范围】 例题：（23-24九年级上·河北唐山·期末）若二次函数取最大值时，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式训练】 1．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． 2．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型四 二次函数与一次函数图像共存问题】 例题：（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）函数和（k是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型五 两个二次函数图像的综合判断】 例题：已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【变式训练】 1．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 2．（15-16九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【题型六 二次函数与几何图形的综合】 例题：（2024·广东肇庆·一模）如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·山东济宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，将其图象上下平移得到抛物线，若此时抛物线与有四个交点，则c的取值范围是 ． 2．（2024·福建泉州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线的图象相交于A、B两点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)若，则直线必经过一个定点C，求点C的坐标． 一、单选题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 3．（23-24九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 4．（2024·湖北十堰·模拟预测）二次函数的图象经过，四点，其中．下列四个结论： （1）； （2）； （3）； （4）二次函数的最小值为． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（   ） A．   B．    C．    D．    二、填空题 6．（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 7．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 8．（2024·福建厦门·二模）已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和的大小关系是 ． 9．（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 10．（2024·江苏苏州·一模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．    (1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； (3)连接，，求的面积． 13．（2024·山东滨州·一模）如图所示，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接、，当P点运动到顶点C时，求的铅垂高及； (3)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当 时，求二次函数 的最大值和最小值； (3)点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点 P 作轴，点Q的横坐标为 ．已知点 P 与点 Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的图像与性质（二） 目录 【题型一 利用二次函数的图像与性质比较函数值的大小】 1 【题型二 利用二次函数的图像特征求参数的值或取值范围】 3 【题型三 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值或范围】 5 【题型四 二次函数与一次函数图像共存问题】 7 【题型五 两个二次函数图像的综合判断】 10 【题型六 二次函数与几何图形的综合】 14 【题型一 利用二次函数的图像与性质比较函数值的大小】 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点在二次函数图象上，则下列关于的大小关系的说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】先求出抛物线的对称轴，再由抛物线开口向下可知在对称轴右侧，y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵点在二次函数图象上，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，当时，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小；当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减少，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，可知当时，随的增大而减小． 【详解】抛物线的对称轴为直线，开口向上，可知当时，随的增大而减小， 所以． 故答案为： 【题型二 利用二次函数的图像特征求参数的值或取值范围】 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数 ，在的范围内有最小值，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，求出二次函数的对称轴是解题的关键．找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：函数对称轴，开口向下， 由于在的范围内有最小值， 故当时有最小值， 故， 解得． 故选A． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，，对称轴的左侧，y随x的增大而增大，判断，从而得到，，得到，用b的代数式表示s即可确定范围． 【详解】∵二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和， ∴点和，都在对称轴的左侧， 即，，， ∵，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，对称轴的意义，不等式的意义，熟练掌握抛物线的增减性，灵活进行等式变形，不等式性质运用是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数，当其自变量的范围是时，其对应的函数值的最大值为，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，画出图象，分三种情况讨论即可得到值． 【详解】解：如图，函数，开口向上，对称轴为，    当时，， 解得，， 当时，即，随的增大而减小， 当时，取最大值，此时， 当时，随的增大而增大， ，， 当且时，此时没有最大值是． 综上分析，或． 故答案为：或． 【题型三 根据规定范围内二次函数的最值求参数的值或范围】 例题：（23-24九年级上·河北唐山·期末）若二次函数取最大值时，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意可得顶点的横坐标是1，即可列式计算，此题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数取最大值时， ∴抛物线的顶点横坐标， ∴． 故选：B 【变式训练】 1．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴， 令，， 点关于直线的对称点为， 如图： ， 开口向上， 当时，函数值的最大值为， ， 故答案为：． 2．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“美丽点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围．本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键． 【详解】解：一个“美丽点”是， ， ， 的图象上只有三个“美丽点”， 对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为2， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为2， 的取值范围为：． 故选：C． 【题型四 二次函数与一次函数图像共存问题】 例题：（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 【变式训练】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）函数和（k是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，由和时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，进行综合判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A不符合； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选项B，D不符合， 选项C中，由一次函数的图象，得，此时二次函数的图象应开口向下，对称轴为直线，且与y轴交于正半轴，故C符合． 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 【题型五 两个二次函数图像的综合判断】 例题：已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【变式训练】 1．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．（15-16九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 【题型六 二次函数与几何图形的综合】 例题：（2024·广东肇庆·一模）如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点B，C的坐标分别是，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在抛物线的图像上， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练】 1．（2024·山东济宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，将其图象上下平移得到抛物线，若此时抛物线与有四个交点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出，进而求出直线解析式为，再求出当直线与抛物线恰好只有一个交点时，，据此结合函数图象求解即可． 【详解】解：在中，当时，或，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时，则， 解得， 如下图所示，当，此时抛物线与有三个交点，当抛物线与得交点个数都小于4；当时，抛物线与有2个交点，当时，此时抛物线与无交点，当时， 抛物线与有4个交点； 综上所述，当时， 抛物线与有4个交点； 故答案为：． 2．（2024·福建泉州·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线的图象相交于A、B两点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线的解析式为，且的面积为35，求k的值； (3)若，则直线必经过一个定点C，求点C的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)定点． 【分析】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键． （1）把代入函数解析式即可得到答案； （2）先求出，可得，结合，可得方程，即可求解； （3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作的垂线，垂足为E、F，可得，联立方程组，可得， ，进而即可求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图所示： 由， 直线过定点， 连结， ，， 轴，， ， ， 由，， 整理得， 由根与系数的关系得，，， ， ， 解得 ； （3）解：如图所示： 设，，直线的解析式为 ， ， ， 由根与系数的关系得，， ， 过点P作直线轴，分别过A、B两点作的垂线，垂足为E、F． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，    ， 又，， ， 直线的解析式：， 直线经过定点． 一、单选题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的平移及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点为， 向左平移1个单位长度，得到抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线的顶点为， 故选：B． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴判定；根据当时，，即，然后由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，根据图象即可判断． 【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得： ∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意； ∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意； 由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同， ∵， ∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于． 3．（23-24九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先求出顶点坐标为，再根据顶点在轴上，得到，解方程得到，则二次函数解析式为，则二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数图象经过点，时，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·湖北十堰·模拟预测）二次函数的图象经过，四点，其中．下列四个结论： （1）； （2）； （3）； （4）二次函数的最小值为． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，且，可得在对称轴右侧，y随x增大而增大，则，即可判断（1）；根据当时，，即可判断（2）；根据离对称轴越远，函数值越大，即可判断（3）；根据对称轴计算公式和当时，，可得，进而得到当时，，据此可判断（4）． 【详解】解：∵，且，抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴，故（1）正确， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数的图象经过， ∴当时，， ∴，故（2）错误； ∵对称轴为直线，且， ∴，故（3）错误； 当时，， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴二次函数的最小值为，故（4）正确； 故选：B． 5．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（   ） A．   B．    C．    D．    【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 7．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（2024·福建厦门·二模）已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据点，在函数图像上，，可得出抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上，再由且，可得出，即可得出． 【详解】解：∵点，在函数图像上，， ∴抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上， ∵，都在该函数图像上， 又∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式． （1）根据对称轴，即可求出a的值； （2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 10．（2024·江苏苏州·一模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的图象和性质．根据二次函数的图象性质即可求出答案． 【详解】解：由二次函数可知图象开口向上，对称轴为直线， 当时，；当时，， 把代入求得， 把代入求得， 二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有交点， 抛物线与轴的交点不在正半轴，且当时的函数值不大于9， 实数的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．    (1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)A点坐标为，B点坐标为 (3)3 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【详解】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）由题意得，即， 解得或， 则或， ∴A点坐标为，B点坐标为； （3）∵与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 13．（2024·山东滨州·一模）如图所示，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接、，当P点运动到顶点C时，求的铅垂高及； (3)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数与几何图形综合题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）有待定系数法即可求解； （2）当时，分别代入和得，，得到，进而求解； （3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高，则，由即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为点，且经过点， 设抛物线的解析式为：， 把代入解析式， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴的交点坐标， 设直线 的表达式为 由点A、B的坐标得，直线的表达式为：； （2）点，点在抛物线上，点在直线上， 当时，分别代入和得，， ， ； （3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高， 则， 由得：， 化简得， 解得， 将代入得， 符合条件的点的坐标为． 14．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当 时，求二次函数 的最大值和最小值； (3)点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点 P 作轴，点Q的横坐标为 ．已知点 P 与点 Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据两点间的距离公式写出的关系式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： 将， 点代入 得： 解得：， ∴二次函数的解析式为： （2） ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵ ∴当时， 值最大为：； ∴当 时， 的值最小为：； （3） 当 时，，的长度随m的增大而增大， 当 时，的长度随m增大而减小． 满足题意， 解得： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$