专题02 二次函数的图像与性质（一）（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题02 二次函数的图像与性质（一） 目录 【题型一 二次函数的顶点式与一般式的互化】 1 【题型二 根据二次函数的解析式判断其性质】 1 【题型三 五点法绘二次函数的图像】 2 【题型四 二次函数图像的平移变换】 3 【题型五 二次函数图像的对称变换】 4 【题型六 利用二次函数的对称性 最值求参数】 4 【题型七 二次函数图像与各项系数的符合问题】 5 【题型一 二次函数的顶点式与一般式的互化】 例题：（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ． 2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ． 【题型二 根据二次函数的解析式判断其性质】 例题：（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【变式训练】 1．（2024·四川成都·一模）若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 2．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围 ． 【题型三 五点法绘二次函数的图像】 例题：（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【变式训练】 1．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【题型四 二次函数图像的平移变换】 例题：（23-24九年级下·湖南郴州·期中）若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为 ． 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ． 【题型五 二次函数图像的对称变换】 例题：（2024·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 【变式训练】 1.（2023九年级上·全国·专题练习）如图，矩形的长cm，宽cm．O是的中点，，两半圆的直径分别为与．抛物线的顶点是O，关于对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（2024·湖北·三模）如图，二次函数(a，b，c为常数，)的图象关于直线对称，抛物线与x轴交于，两点.若则下列四个结论错误的是（     ） A． B． C． D．对于任意实数t，都有 【题型六 利用二次函数的对称性 最值求参数】 例题：（2024·陕西渭南·二模）已知二次函数（a为常数）在时，y的最大值为10，则a的值是（    ） A． B． C．或 D．2或 【变式训练】 1.（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 【题型七 二次函数图像与各项系数的符合问题】 例题：（23-24九年级下·湖南娄底·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 2．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 7．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 8．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 9．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小关系为 ． 10．（2024·内蒙古·二模）二次函数中，当时，的最小值是 ． 三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 12．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 13．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图像与性质（一） 目录 【题型一 二次函数的顶点式与一般式的互化】 1 【题型二 根据二次函数的解析式判断其性质】 2 【题型三 五点法绘二次函数的图像】 3 【题型四 二次函数图像的平移变换】 7 【题型五 二次函数图像的对称变换】 8 【题型六 利用二次函数的对称性 最值求参数】 11 【题型七 二次函数图像与各项系数的符合问题】 13 【题型一 二次函数的顶点式与一般式的互化】 例题：（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把解析式化为顶点式，即可得到答案. 【详解】∵ ∴抛物线的顶点坐标是 故选：D 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为： 2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以，． 故答案为：． 【题型二 根据二次函数的解析式判断其性质】 例题：（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 【变式训练】 1．（2024·四川成都·一模）若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，把自变量的值代入解析式即可求出，的值，比较即可解题． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：抛物线， 该抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，可知点，，从左至右分布， ， ， 解得； 当时， ， ，不合题意， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【题型三 五点法绘二次函数的图像】 例题：（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【答案】(1)0，-1，0 (2)见解析 【分析】（1）将x=1，2，3代入求解． （2）通过描点，连线，作图． 【详解】（1）分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0， 故答案为：0；-1；0． （2）如图， 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 图象如图所示：    （2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 可得： 即： 【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键． 【题型四 二次函数图像的平移变换】 例题：（23-24九年级下·湖南郴州·期中）若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 得到的抛物线的表达式是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为，即， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·广东惠州·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象平移问题, 根据“上加下减，左加右减”的规律求解即可. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度， 得到：， 再向下平移2个单位长度 得到：， 故答案为：. 【题型五 二次函数图像的对称变换】 例题：（2024·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出，把代入解析式得，用含t的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式训练】 1.（2023九年级上·全国·专题练习）如图，矩形的长cm，宽cm．O是的中点，，两半圆的直径分别为与．抛物线的顶点是O，关于对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．根据二次函数的对称性，得到图中阴影部分的面积为半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：观察图形，根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积， ∵cm，O是的中点， ∴半圆的半径为的，即半径为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 2．（2024·湖北·三模）如图，二次函数(a，b，c为常数，)的图象关于直线对称，抛物线与x轴交于，两点.若则下列四个结论错误的是（     ） A． B． C． D．对于任意实数t，都有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出a，b之间的等量关系，再结合抛物线与x轴的交点情况及点A横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， A，B两点关于直线对称， 又， 且，， 所以． 故A正确，不符合题意． 由抛物线的对称轴是直线得，， 则， 所以， 又， 所以． 故B错误，符合题意． 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以， 又当时，函数值小于0， 即， 所以， 又， 所以， 所以， 故C正确，不符合题意． 因为当时，函数取得最小值， 所以当时， 总有， 所以． 故D正确，不符合题意． 故选：B 【题型六 利用二次函数的对称性 最值求参数】 例题：（2024·陕西渭南·二模）已知二次函数（a为常数）在时，y的最大值为10，则a的值是（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，分两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）； 当时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）； 综上：或； 故选D． 【变式训练】 1.（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京·期中）已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 【题型七 二次函数图像与各项系数的符合问题】 例题：（23-24九年级下·湖南娄底·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，最值判断④即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵；故③正确； ∵当时，最大为， ∴， ∴，故④错误； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故①错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；故②正确； ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵点在此抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为：， 由图象可知：当时，；故④正确； 故答案为：②③④． 2．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断，由时可判断，由抛物线对称性及时可判断，由与的数量关系及可得与的数量关系，从而判断，由时取最大值可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，错误． 时，， ，错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，正确． ， ， ， ， ， 正确． 时取最大值， ，即，正确． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 2．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 二、填空题 6．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 【答案】 7．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 8．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 9．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小关系为 ． 【答案】 10．（2024·内蒙古·二模）二次函数中，当时，的最小值是 ． 【答案】1 三、解答题 11．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 12．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 13．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 【答案】(1)直线 (2)， 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$