专题02 函数及其图象（思维导图+4重点+19题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题02 函数及其图象 知识点 1 ： 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 知识点2： 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系相关概念 相关概念 具体内容 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 二、平面直角坐标系内点的特征 1. 点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 2. 点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 3. 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 4. 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 知识点3：一次函数 一、一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 二、一次函数的图象与性质 1. 一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 2. 一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3. 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 知识点4：反比例函数 一、反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 二、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 题型归纳 【题型1 自变量与函数值】 满分技法 常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 1．（2023·云南玉溪·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁丹东·二模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型2 函数的图象】 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列四个图象中，是的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河北保定·期末）小明去帮妈妈买菜，从家中出发走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里，下面图形表示小明离家距离（米）与外出时间（分钟）之间关系图象的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·四川泸州·期末）甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（    ） ①甲队挖掘时，用了； ②开挖时，甲队比乙队多挖掘； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米； ④开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 已知点所在的象限求参数】 满分技法 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 7．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知为第三象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点位于第四象限，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知点在坐标系上的位置求点的坐标】 10．（21-22八年级下·陕西西安·期末）点向左平移2个单位后恰好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 ． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，根据下列条件，分别求点P的坐标： (1)点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上； (2)点Q的坐标为，且轴． 13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根 【题型5 坐标方法的简单应用】 14．（22-23八年级上·四川成都·期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为 　　，点C的坐标为 　　，点D的坐标为 　　． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，并用坐标表示． 15．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）小霞和爸爸，妈妈到人民公园玩，回家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区图，（横轴和纵轴均为小正方形的边所在的直线，每个小正方形边长为1个单位长度）．    (1)若游乐园的坐标为，写出景点、、的坐标． (2)在（1）的条件下，位于原点西北方向的是哪个景点？表示该景区的点到原点的距离为多少？ 16．（22-23七年级下·河北邢台·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请根据下图解决问题．    (1)在学校南偏西的方向上有______________________________（填场所名） (2)若体育场的坐标为，菜市场的坐标为． ①请建立适当的平面直角坐标系并写出游乐园和电视塔的坐标； ②表示的位置是______（填场所名）． 【题型6 一次函数的定义】 17．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（22-23九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于 ． 19．（23-24八年级·江苏·期末）已知点在一次函数的图像上，则 ． 20．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知． (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 满分技法 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 21．（22-23八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ． 23．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）一次函数的图象如图所示，化简 ． 【题型8 根据一次函数增减性判定参数范围】 满分技法 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 24．（22-23八年级下·云南红河·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 25．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数在时总有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【题型09 待定系数法求一次函数解析式】 27．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)求直线 的解析式； (2)若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标． 28．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）已知直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 29．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且． (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 【题型10 一次函数平移问题】 30．（23-24八年级上·江苏南京·期末）把函数的图像再向下平移4个单位长度后得到的函数解析式为 ． 31．（22-23八年级下·重庆开州·期末）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 32．（23-24八年级上·陕西西安·期末）将直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是 ． 【题型11 一次函数的实际应用】 33．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某公司要印制大运会这传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收元制版费：乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费． （1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； 请你用自己的方法，回答下列问题： （2）印刷份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （3）该公司拟拿出元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？ 34．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 35．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)她决定再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的.求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值． 36．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题：    (1)甲登山的速度是每分钟_______米，_______； (2)请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义； (3)求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 37．（22-23八年级下·福建福州·期中）某杜团准备采购实验材料，据了解，甲商家对该实验材料的售价根据购买量给予优惠，而乙商家按40元/件的价格出售该实验材料，设该社团需购买此实验材料件，在甲商家需付款件，与之间的函数关系如图所示： (1)当和时，求关于的函数解析式； (2)设社团需购买该实验材料件，经过社团成员小明的计算，发现在甲商家购买更省钱，求的取值范围． 38．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h） 某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：    (1)求出线段对应的函数表达式． (2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？ 【题型12 反比例函数的定义】 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是（        ） A． B． C． D． 40．已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【题型13 已知反比例函数的增减性求参数】 42．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知点在反比例函数的图象上，且当时，，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 43．（22-23八年级下·河南开封·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点P，且当时，随的增大而减小，则点P的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 44．（22-23八年级下·福建泉州·期末）在反比例函数中，当时，的最大值与最小值之差为4，则值为（    ） A．8 B．6或 C．6 D．5 45．（22-23八年级下·江苏·期末）在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型14 比较反比例函数或自变量的大小】 46．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级上·上海松江·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型15 反比例系数k的几何意义】 49．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 50．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 51．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点A、C在反比例函数的图象上，线段经过原点O，点B在反比例函数的图象上，若轴，连接，则 ．    52．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为、、……，则 ． 53．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    54．（22-23八年级下·河南南阳·期中）如图，长方形的两边、分别在两坐标轴上，反比例函数的图象分别与、相交于点、，轴交轴于点，交于点．已知：．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求点、的坐标； (3)求的面积． 【题型16 求反比例函数解析式】 55．（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 56．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与y轴交于点． (1)求、的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 57．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且． (1)求的值； (2)求直线所对应的函数表达式． 58．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图像上，，反比例函数的图像经过点A. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点B在x轴上，且.如果点P在反比例函数的图像上（点P与点A不重合），Q在x轴上，为等边三角形，求点Q的坐标. 【题型17 实际问题与反比例函数】 59．（23-24八年级上·上海静安·期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间x（时）变化的函数图象如下图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． (1)分别求出段和段所对应的y与x的函数关系式； (2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 60．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． (1)求出函数解析式． (2)当安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 61．（22-23八年级下·四川巴中·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）：    (1)分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？若能，最好第几分钟开始讲；若不能，说明理由． 62．（22-23八年级下·山西临汾·期中）如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温（）与开机时间（分）满足一次函数关系．当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温（）与开机时间（分）成反比例关系．当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)当时，求水温（）与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，放学回到家时，饮水机内水的温度为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【题型18 反比例函数与几何图形综合】 63．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 64．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点． (1)求k的值； (2)若，，试判断的形状，并说明理由； (3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标． 65．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连接，，，．    (1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整： ∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ∴___________． 同理． ∴四边形是平行四边形． (2)问题探究： ①是否可能为矩形？请说明理由． ②是否可能为菱形？请说明理由． (3)当的面积为18时，求点的坐标． 【题型19 一次函数图象与反比例函数图象综合】 66．（22-23九年级上·山东济南·期中）函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 67．已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A．B．C． D． 68．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B．C． D． 过关检测 一、单选题 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有（    ） ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着摆动时间的增大而减小． A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形的周长（　　） A．不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．先变小后变大 4．（22-23八年级下·四川南充·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，且，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D．或 5．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若点在y轴上，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）一次函数的图像可由正比例函数的图像（    ） A．向下平移3个单位而得到 B．向上平移3个单位而得到 C．向左平移3个单位而得到 D．向右平移3个单位而得到 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图像在（    ） A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 10．（21-22九年级上·辽宁沈阳·期末）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 二、填空题 11．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么 ． 12．（2023八年级下·浙江·专题练习）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的取值范围是 ． 13．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知关于x的一元一次不等式有解，则直线不经过第 象限． 14．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为，两车之间的距离（）与货车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，图中点的坐标为 15．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 三、解答题 16．（23-24八年级上·山西晋中·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） (1)根据如图所示，将表格补充完整； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． (3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示． (1)求与的函数表达式； (2)要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？ 18．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点A、B的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求不等式的解集； (2)求四边形的面积． 19．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 20．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数及其图象 知识点 1 ： 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 知识点2： 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系相关概念 相关概念 具体内容 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 二、平面直角坐标系内点的特征 1. 点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 2. 点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 3. 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 4. 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 知识点3：一次函数 一、一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 二、一次函数的图象与性质 1. 一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 2. 一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3. 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 知识点4：反比例函数 一、反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 二、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 题型归纳 【题型1 自变量与函数值】 满分技法 常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 1．（2023·云南玉溪·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， x的取值范围为且． 故答案为：B． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 3．（2023·辽宁丹东·二模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数有意义的条件得到,解不等式组即可得到自变量x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解不等式组得， 故选：D． 【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【题型2 函数的图象】 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列四个图象中，是的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答． 根据函数的定义可以判断哪个选项中的图象不是与的函数图象，本题得以解决． 【详解】由函数的定义可知，选项D中的函数图象符合函数的定义，选项A、B、C中的图象，与不是一一对应的，不符合函数的定义， 故选：D． 5．（22-23八年级下·河北保定·期末）小明去帮妈妈买菜，从家中出发走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里，下面图形表示小明离家距离（米）与外出时间（分钟）之间关系图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到米；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： 从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为， 故选：． 6．（22-23八年级下·四川泸州·期末）甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（    ） ①甲队挖掘时，用了； ②开挖时，甲队比乙队多挖掘； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米； ④开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得甲队的速度为，乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，开挖，甲队一共挖了， ∴甲队的速度为， ∴甲队挖掘时，用了，故①正确； 由函数图象可知，开挖时，甲队挖了，乙队挖了，则甲队比乙队多挖掘，故②正确； 由函数图象可知乙队从开挖后到之间，在内挖了，则每小时挖掘5米，故③正确； 开挖后，甲队挖了，乙队挖了，则开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等，故④正确； 故选；D． 【题型3 已知点所在的象限求参数】 满分技法：记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 7．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 实数的取值范围在数轴上表示正确的为 故选：D． 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知为第三象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数之间的关系，第三象限内点的坐标特点，根据第三象限内的点横纵坐标都为负数得到，进而得到一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵为第三象限内的点， ∴， ∴一次函数经过第二、三、四象限， 故选：B． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点位于第四象限，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中的第四象限点的坐标特征，可得，，然后进行计算逐一判断即可解答．熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系中的第四象限内， ∴，， ∴， 故选项A不符合题意，选项B符合题意； 若，，则， 若，，则， 故选项C和选项D都不符合题意． 故选：B． 【题型4 已知点在坐标系上的位置求点的坐标】 10．（21-22八年级下·陕西西安·期末）点向左平移2个单位后恰好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的规律将横坐标减2得到，根据题意可得，代入的坐标即可求解． 【详解】解：∵点向左平移2个单位的坐标为，且在轴上， ∴ 解得， ，即， 故选C 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，轴上点的坐标特征，掌握轴上的点的横坐标为0是解题的关键． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】主要考查了坐标轴上的点的特点：x轴上的点的纵坐标为0．解题的关键是根据x轴上的点的纵坐标为0，可求得a的值，从而可求M的坐标． 【详解】解：∵在直角坐标系的x轴上， ∴， ∴， ∴， 则点M的坐标为 故答案为：，． 12．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，根据下列条件，分别求点P的坐标： (1)点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上； (2)点Q的坐标为，且轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一、三象限坐标轴夹角平分线上点的特点得出，求出a的值即可得出答案； （2）根据平行y轴上点的横坐标相等，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标规律探索，解题的关键是熟练掌握平行于y轴上点的特点和第一、三象限坐标轴夹角平分线上点的特点． 13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查图形与坐标，掌握点的坐标特征是关键； （1）根据y轴上点的横坐标都为零即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据第四象限内点的坐标特征及点到坐标轴距离的表示方法即可解决问题． 【详解】（1）解：由点P在y轴上得，， 解得， 则． 所以点P的坐标为． （2）解：因为直线轴， 所以直线上所有点的横坐标都相等， 则， 解得， 则． 所以点P的坐标为． （3）解：因为点P在第一象限， 所以，． 又因为点P到x轴和y轴的距离相等， 所以， 即， 解得． 因为， 所以的立方根是． 【题型5 坐标方法的简单应用】 14．（22-23八年级上·四川成都·期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为 　　，点C的坐标为 　　，点D的坐标为 　　． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)⇒⇒⇒⇒ 【分析】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置和马走的路线． 【详解】（1）解：结合图形以“帅”作为基准点，则“马”所在的点的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，， （2）解：若“马”的位置在C点，为了到达D点，则所走路线为⇒⇒⇒⇒． 15．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）小霞和爸爸，妈妈到人民公园玩，回家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区图，（横轴和纵轴均为小正方形的边所在的直线，每个小正方形边长为1个单位长度）．    (1)若游乐园的坐标为，写出景点、、的坐标． (2)在（1）的条件下，位于原点西北方向的是哪个景点？表示该景区的点到原点的距离为多少？ 【答案】(1)、、 (2)位于原点西北方向的是湖心亭，表示该景区的点到原点的距离为 【分析】（1）根据游乐园的坐标建立坐标系，进而求出对应点坐标即可； （2）利用勾股定理结合坐标系中点的位置和方位角的描述进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，可以建立如下坐标系， ∴、、；    （2）解：由图可知，位于原点西北方向的是C湖心亭，表示该景区的点到原点的距离为． 【点睛】本题主要考查了用坐标表示位置，方位角的表示，勾股定理等等，正确建立坐标系是解题的关键． 16．（22-23七年级下·河北邢台·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请根据下图解决问题．    (1)在学校南偏西的方向上有______________________________（填场所名） (2)若体育场的坐标为，菜市场的坐标为． ①请建立适当的平面直角坐标系并写出游乐园和电视塔的坐标； ②表示的位置是______（填场所名）． 【答案】(1)游乐园和菜市场 (2)①图见解析，游乐园的坐标为，电视塔的坐标为；②图书馆 【分析】（1）利用方向角知识即可求解； （2）根据点的坐标到坐标轴的距离，确定两轴的位置，建立坐标系，再根据其他点的位置确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图象得， 在学校南偏西的方向上有：游乐园和菜市场， 故答案为：游乐园和菜市场； （2）解：①∵体育场的坐标为，菜市场的坐标为， 建立平面直角坐标系如图所示，    游乐园的坐标为，电视塔的坐标为； ②表示的位置是图书馆， 故答案为：图书馆． 【点睛】本题考查根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，掌握坐标轴上点与各象限点的特征是解题关键． 【题型6 一次函数的定义】 17．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的甄别，根据一次函数的定义，判断即可． 【详解】一次函数的是：①；②；④，不是一次函数的是③； 故选C． 18．（22-23九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先把点代入直线求出，再点代入直线求解即可． 【详解】解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键． 19．（23-24八年级·江苏·期末）已知点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数中即可得出结果． 【详解】点在一次函数的图象上， ， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键． 20．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知． (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1)，n为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如的是一次函数，形如的是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴， 解得：， ∴，n为任意实数； （2）解：∵是正比例函数， ∴， 解得：． 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 满分技法：对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 21．（22-23八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 22．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第三象限， ∴且， 解得：． 故答案为：． 23．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）一次函数的图象如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 【题型8 根据一次函数增减性判定参数范围】 满分技法：对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 24．（22-23八年级下·云南红河·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】观察图象，可知当时，；当时，；当时，，再判断即可． 【详解】观察图象，当时，，可得B正确； 当时，，可得A，D不正确； 当时，，可得C不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，观察直线与坐标轴的交点是解题的关键． 25．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数在时总有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①和②，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：由一次函数的定义可知，， ①当时，y随x的增大而增大， 则在内，当时，y取得最小值，，最小值为， 要使在时的函数值总是正的， 则，解得，符合题设； ②当时，y随的增大而减小， 则在内，当时，y取得最小值，，最小值为， 要使在时的函数值总是正的， 则， 解得，不符合题设，舍去； 综上，的取值范围是， 故选：B． 26．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定的取值范围． 【详解】解：一次函数，随的增大而减小， ， ， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：D 【题型09 待定系数法求一次函数解析式】 27．（19-20八年级下·云南曲靖·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)求直线 的解析式； (2)若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线的解析式为，将点、点分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的解析式； （2）设点的坐标为，根据三角形面积公式以及求出的横坐标，再代入直线即可求出的值，从而得到其坐标． 本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过点、点， ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得， ， 点的坐标是． 28．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）已知直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； （3）由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 29．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且． (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为，或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值； （2）根据，可以求出的长，即可求得C的坐标； （3）分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∵， ∴， 即． ， ， ， 点的坐标为． （3）解：∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵是轴上任意一点， ∴设点P的坐标为， 则，， ①当时，即， 解得（舍去），，此时点的坐标为． ②， 即， 解得或， 此时点的坐标为或， 综上：点的坐标为，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的是待定系数法求函数解析式，勾股定理、三角形的面积，等腰三角形的性质等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 【题型10 一次函数平移问题】 30．（23-24八年级上·江苏南京·期末）把函数的图像再向下平移4个单位长度后得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此解答即可． 【详解】解：由上加下减的原则可知，将函数的图象向下平移4个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：，即． 故答案为：． 31．（22-23八年级下·重庆开州·期末）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可． 【详解】解：直线与直线平行． ， ∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·陕西西安·期末）将直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是即， 故答案为：． 【题型11 一次函数的实际应用】 33．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某公司要印制大运会这传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收元制版费：乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费． （1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； 请你用自己的方法，回答下列问题： （2）印刷份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （3）该公司拟拿出元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？ 【答案】（1）甲厂：；乙厂：；（2）乙厂比较合算；（3）甲厂印制宣传材料多一些 【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，依据题意，正确得出一次函数的解析式是解题关键． （1）分别根据两厂的收费方式即可得； （2）根据（1）的结论，分别求出时，y的值，再比较大小即可得； （3）根据（1）的结论，分别求出时，x的值，再比较大小即可得． 【详解】解：（1）由题意得：甲厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为，乙厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为； 解：（2）当时，甲厂：（元）；乙厂：（元）． ∵ 乙厂比较合算； 解：（3）当时， 甲厂：，解得（份）； 乙厂：，解得（份）， ∵． 甲厂印制宣传材料多一些． 34．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 35．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)她决定再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的.求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值． 【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元 (2)至多需要购买个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为元 【分析】考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． （1）设购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据“购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的”列出不等式即可求得甲种笔记本最多可购买的本数；设购买两种笔记本总费用为元，列出关于、的一次函数即可求得总费用的最大值． 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元． （2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 依题意得：， 解得： ， 又为整数， 的最大值为． 设购买两种笔记本总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：至多需要购买个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为元． 36．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题：    (1)甲登山的速度是每分钟_______米，_______； (2)请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义； (3)求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 【答案】(1)10；11 (2)，点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲； (3)登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在地时距地面的高度的值；据此求得的值； （2）利用待定系数法求解即可；联立得，据此即可求得点E的坐标； （3）根据函数图象和题意可以得到登山多长时间时，甲．乙在距地面的高度差50米． 【详解】（1）解：甲登山的速度是：（米分钟）， 乙在地时距地面的高度， 则乙提速后，乙的登山速度是（米分钟）， ∴， 故答案为：10；11； （2）解：当时，设乙对应的函数解析式为， 则，解得， ∴乙对应的函数解析式为， 当时，设乙对应的函数解析式为， 则，解得， ∴乙对应的函数解析式为， 乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式为， 同理，求得甲对应的函数关系式为：， 联立得， 解得． 点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲； （3）解：当，解得， 当，解得， 当，解得， 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米． 37．（22-23八年级下·福建福州·期中）某杜团准备采购实验材料，据了解，甲商家对该实验材料的售价根据购买量给予优惠，而乙商家按40元/件的价格出售该实验材料，设该社团需购买此实验材料件，在甲商家需付款件，与之间的函数关系如图所示： (1)当和时，求关于的函数解析式； (2)设社团需购买该实验材料件，经过社团成员小明的计算，发现在甲商家购买更省钱，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图像读取信息，一次函数解析式的求解，一元一次不等式的应用，准确读取函数图像信息是解答本题的关键． （1）根据函数图像读取的信息，利用待定系数法求解即可； （2）根据甲商家购买更省钱，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 根据题意得：， 解得：， 当时，设， 根据题意得：，解得：， ， 综上所述，关于的函数解析式为； （2）当时， 在甲商家购买产品，即44元/件的价格，大于乙商家40元/件的价格，不合题意， 当时， 乙商家购买的价格为，甲商家购买的价格为， ， 解得：． 38．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h） 某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：    (1)求出线段对应的函数表达式． (2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？ 【答案】(1) (2)当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出线段对应的函数表达式为，根据，得出，求出t的范围即可． 【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为， 把代入得， ， 解得：， 线段对应的函数表达式为 ； （2）设线段对应的函数表达式为， 把代入得， ， 解得：， 线段对应的函数表达式为 ， 当时， ，解得， 当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；做题的关键是从图象中读取信息，分析图象、将实际问题转化为函数问题． 【题型12 反比例函数的定义】 39．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件，据此判断即可． 【详解】 解：A、是正比例函数，故本选项错误； B、符合反比例函数的定义，故本选项正确； C、不符合反比例函数的定义，，故本选项错误； D、是正比例函数，故本选项错误； 故选：B 40．已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值； （2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值； （3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式． 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 【题型13 已知反比例函数的增减性求参数】 42．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知点在反比例函数的图象上，且当时，，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据时，，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，即可得解． 【详解】解：由题意，得：反比例函数图象过二，四象限， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．解题的关键是掌握反比例函数的增减性． 43．（22-23八年级下·河南开封·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点P，且当时，随的增大而减小，则点P的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据“当时，随的增大而减小”得到，从而确定图象经过第一、三象限，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴ ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 选项中在第一象限或第三象限的点只有D选项， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 44．（22-23八年级下·福建泉州·期末）在反比例函数中，当时，的最大值与最小值之差为4，则值为（    ） A．8 B．6或 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴设时，y有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性、解一元一次方程等知识点，反比例函数的增减性，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 45．（22-23八年级下·江苏·期末）在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大，可得，从而即可得到答案． 【详解】解：在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【题型14 比较反比例函数或自变量的大小】 46．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：， ，在第三象限，随着的增大而减小， ∴时，； 故选：A． 47．（23-24八年级上·上海松江·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相恩局反比例函数判断出函数图象所在象限和性质，再根据各点的横坐标的特点进行判断即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∴， 故选：B． 48．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上， ，，． ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键． 【题型15 反比例系数k的几何意义】 49．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．设，可得点，从而得到，再由四边形是矩形，，，从而得到，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得，再由，列出方程，即可求解． 【详解】解：设，由函数图象得：， 轴，轴，交于点E， 点， ， ， 四边形是矩形， 的面积为3， ，， ， 双曲线图象上有A，B两点， ， 的面积为2，的面积为3，， ，整理得：， ， ， ， 故答案为：． 50．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得到的面积为即可求解． 【详解】解：∵点A是函数在第一象限内的图像上一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 51．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点A、C在反比例函数的图象上，线段经过原点O，点B在反比例函数的图象上，若轴，连接，则 ．    【答案】7 【分析】 连接，设交y轴于点D，根据k的几何意义得到即，再根据中线分出的三角形的面积相等解题即可． 【详解】解：连接，设交y轴于点D，    ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴， ∴，， ∴， 又∵线段经过原点O， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查k的几何意义，三角形有关中线的面积，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 52．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为、、……，则 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的几何意义，求出的坐标，再用平移法和反比例函数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：当，， ∴， 由图象可知： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的面积问题．熟练掌握反比例函数的几何意义，利用平移法解决面积问题是解题的关键． 53．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】16 【分析】 根据反比例函数系数的几何意义可得 再利用矩形的面积减去和的面积即可. 【详解】∵两点在反比例函数的图象上， ∵, ∴四边形的面积为, ∴四边形的面积为, 故选:. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 且保持不变. 54．（22-23八年级下·河南南阳·期中）如图，长方形的两边、分别在两坐标轴上，反比例函数的图象分别与、相交于点、，轴交轴于点，交于点．已知：．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求点、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据的几何意义可得，进而即可求解； （2）根据题意可得点的横坐标为，把代入，得，即可得出点的坐标，得出直线的解析式为，点的横坐标等于，点在直线上，进而代入即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵反比例函数图象在第一象限， ∴ ∴. （2）∵ ∴点的横坐标为， ∵点在函数的图象上 把代入，得 ∴ ∵ ∴点的纵坐标为， ∴    ∴ 设直线的解析式为 ∵点()在直线上 ∴ ∴ ∴ ∵点的横坐标等于，点在直线上 ∴把代入，得 ∴ （3） 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，的几何意义，正比例函数的性质，坐标与图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【题型16 求反比例函数解析式】 55．（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 56．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与y轴交于点． (1)求、的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把代入可得出的值，得出反比例函数解析式，把代入即可求出值，可得答案； （2）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时交点的横坐标的取值范围即可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 解得：． （2）由（1）可知：与的图象交于点，， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方时，即或， ∴不等式的解集为：或． 57．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且． (1)求的值； (2)求直线所对应的函数表达式． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平移的性质： （1）根据可得点，根据可得点，由平移规律可得点的坐标，根据点和点在函数的图象上，列方程可得的值，从而得的值； （2）利用待定系数法可得直线的解析式． 根据题意得出平移的规律，从而正确表示点的坐标是解题关键． 【详解】（1）解：，， ，， 由平移可知：线段向下平移个单位，再向右平移个单位，得到线段， ， ， 点和点在函数的图象上， ， ， （2）设直线所对应的函数表达式为． 将，代入得：， 解得：， 直线所对应的函数表达式为． 58．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图像上，，反比例函数的图像经过点A. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点B在x轴上，且.如果点P在反比例函数的图像上（点P与点A不重合），Q在x轴上，为等边三角形，求点Q的坐标. 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2)或 【分析】（1）过点A作于点C，设点，反比例函数表达式为，则，，利用勾股定理列方程求得，再把点A的坐标代入反比例函数表达式求解即可； （2）过点P作轴于点D，根据等腰三角形的性质可得，设，则，，，利用勾股定理求得，再根据等边三角形的性质可得，即，从而求得或，再根据等边三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点C， 设点，反比例函数表达式为， ∴，， ∴， 解得， ∵点A在第一象限， ∴， 又∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：过点P作轴于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当点时，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点时，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查勾股定理、解一元二次方程、等边三角形的性质和等腰三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【题型17 实际问题与反比例函数】 59．（23-24八年级上·上海静安·期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间x（时）变化的函数图象如下图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． (1)分别求出段和段所对应的y与x的函数关系式； (2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图象计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 【详解】（1）解：设段所在的解析式为， 在函数图象上， ，解得：， 段所在的解析式为， 设段所在的曲线解析式为， 在函数图象上， ， 段所在的曲线解析式为， （2）当时，，， ，， ∴该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 60．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． (1)求出函数解析式． (2)当安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【答案】(1)I与R之间的函数关系式为 (2)（欧姆） (3)（欧姆） 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）由题意可设，代入，即可求得的值，从而可得I与R之间的函数关系式； （2）将代入（1）中所得函数关系式即可求得对应的R的值； （3）根据题意得，由此即可求得电阻控制的范围． 【详解】（1）解：由题意设， ∵当电阻欧姆时，电流安培， ∴， ∴I与R之间的函数关系式为：； （2）解：把代入得： ， 解得：（欧姆）； （3）解：∵不得超过10安培， ∴， ∴R的取值范围是：（欧姆）． 61．（22-23八年级下·四川巴中·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）：    (1)分别求出学生注意力增强阶段和分散阶段的函数关系； (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？若能，最好第几分钟开始讲；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)时学生注意更集中 (3)能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目，最好第分钟开始讲． 【分析】（1）如图，运用待定系数法求解； （2）分别求函数值，比较大小判断； （3）能，求时，两函数对应的自变量值，得及，，得出结论． 【详解】（1）解：如图，， 设直线的解析式为，得 ，解得， ∴注意力增强阶段函数关系式为． 设双曲线的解析式为，得， ∴分散阶段的函数关系式为． （2）解：时，； 时，； ∴时学生注意更集中． （3）解：能，理由如下： 时，令，得； 令，得 ∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目，最好第分钟开始讲． 【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，求函数值、自变量值；观察图形获取信息是解题的关键． 62．（22-23八年级下·山西临汾·期中）如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温（）与开机时间（分）满足一次函数关系．当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温（）与开机时间（分）成反比例关系．当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)当时，求水温（）与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，放学回到家时，饮水机内水的温度为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1)； (2)25； (3)，次． 【分析】（1）由函数图像可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得与的关系式． （2）首先求出反比例函数解析式进而得到的值． （3）先求出总时间分钟，由得水温共有次达到，利用已知由代入求出饮水机的温度即可． 【详解】（1）解：设一次函数过，，两点， 即 解之得 ∴． （2）解：设反比例函数的解析式为，过， ∴ ∴反比例函数的解析式为 当时， ∴ （3）解：上午到共分钟．， ∴当代入即时． 所以，︰时饮水机内水的温度为 在这段时间里，水温共有次达到． 【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意正确得出函数解析式是解题关键，解答时要读懂题意，才不易出错． 【题型18 反比例函数与几何图形综合】 63．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，B(−2,−4) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，以及三角形面积的计算． （1）将点代入直线和双曲线，即可得出m，n的值 （2）求出直线解析式和双曲线解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解． （3）设点，根据，求出x的值，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：把点分别代入和， 解得，． （2）解：，， 直线的解析式为和双曲线的解析式为， ∴解方程组 解得，， 则点A坐标为，点B坐标为， ∵轴， ∴点C坐标为， ∴． （3）解：， 点在双曲线上，设点，， 解得，， 点的坐标为或． 64．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点． (1)求k的值； (2)若，，试判断的形状，并说明理由； (3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标． 【答案】(1)6 (2)等腰直角三角形，见解析 (3)或或 【分析】（1）把点A坐标代入解析式可求k的值； （2）先求出点B坐标，分别求出，，的长，由勾股定理的逆定理可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质先求出点B坐标，代入解析式可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 当，时， ∴点，反比例函数解析式为， 把代入得： ∴点， ∵点，点，点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图，当时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵点， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴点， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∴点； 如图，当时，过点B作轴于G，过点A作，交的延长线于E，过点C作，交直线于D， 同理可得：点， 如图，当点时，过点B作轴于G，过点A作交，的延长线于E， 同理可得：点， 综上所述：点C坐标为或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 65．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连接，，，．    (1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整： ∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ∴___________． 同理． ∴四边形是平行四边形． (2)问题探究： ①是否可能为矩形？请说明理由． ②是否可能为菱形？请说明理由． (3)当的面积为18时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①可能，见解析，②不可能，见解析 (3)或 【分析】（1）根据中心对称的性质和平行四边形的判定即可解答； （2）若亦即时，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断；由于点，都在第一象限，则，即与不可能互相垂直，则平行四边形不可能为菱形； （3）根据平行四边形的性质可得，设，然后分点在下方和点落在上方两种情况，结合图形，根据得出关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点， ∴． 同理． ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． （2）①平行四边形有可能为矩形， 理由如下： 若亦即时，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可得平行四边形为矩形． ②平行四边形不可能为菱形． 因为点，都在第一象限，则，即与不可能互相垂直， 则平行四边形不可能为菱形； （3）∵在双曲线上， ∴． 设（）． 过点，C分别作轴的垂线，交轴于点，． ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴． 同理可得，． ∵平行四边形的面积为18， ∴． ①当点在下方时，如图．    ∵， ∴． ∵，， ∴． 化简得，解得，（舍去） ∴，此时． ②当点落在上方时，如图．    ∵， ∴． ∵，， ∴． 化简得． 解得，（舍去）． ∴，此时． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、特殊平行四边形的判定和性质，熟练掌握上述知识，掌握求解的方法是解题的关键． 【题型19 一次函数图象与反比例函数图象综合】 66．（22-23九年级上·山东济南·期中）函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】 此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】 解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 67．已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的判断，根据反比例函数判断出的取值，进而判断出一次函数所在象限即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、三、四象限，故A选项正确； B、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、二、四象限，故B选项错误； C、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、二、四象限，故C选项错误； D、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、三、四象限，故D选项错误； 故选：A． 68．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（，为常数，）的图象判定，确定图象分布，判断即可． 【详解】解：根据一次函数（，为常数，）的图象判定， ∴的图象分布在二四象限，反比例函数的图象分布在二四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 过关检测 一、单选题 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有（    ） ①变量是变量的函数； ②秋千静止时，最低点离地面的高度是； ③秋千摆第二个来回需； ④秋千离地面的高度随着摆动时间的增大而减小． A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，由函数的定义，结合图象逐项分析判断即可. 【详解】解：由函数的定义，结合图象可知，变量是变量的函数，故①正确； 有图象可知，秋千静止时，最低点离地面的高度是，故②正确； 从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为一个来回，由图象可知，第二个来回需要的时长为，故③正确； 有图象可知，秋千离地面的高度随着摆动时间的变化而周期变化的，不是随着摆动时间的增大而减小，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：A. 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，不等式的解集，就是指直线y= -直线在直线的上方的自变量的取值范围． 【详解】解：由图像可知，当时，直线在直线的上方， 的解集为， 故选：A． 3．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形的周长（　　） A．不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为，根据矩形的周长公式即可得出，此题得解. 【详解】解：设点C的坐标为， 则， ， ∴， 故选：A． 4．（22-23八年级下·四川南充·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，且，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键 待定系数法求直线的解析式为，设点C的坐标为，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为， ∵， ∴， 解得，或， 当时，，即， 当时，，即， 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若点在y轴上，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】 本题考查了象限中的坐标．熟练掌握不同象限中点坐标的特征是解题的关键． 由题意知，，可求，则，进而可得结果． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴，在第二象限， 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）一次函数的图像可由正比例函数的图像（    ） A．向下平移3个单位而得到 B．向上平移3个单位而得到 C．向左平移3个单位而得到 D．向右平移3个单位而得到 【答案】A 【分析】本题考查函数的平移，根据函数平移的性质上加下减，左加右减直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：， ∴一次函数的图像可由正比例函数的图像向下平移3个单位得到， 故选：A． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意， ∴向左移动2022个单位，即 ∴向左移动2023个单位，即 ∴ 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，其中要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为，．根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵到轴的距离为， ∴， ∴， ∵到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在第四象限内， ∴，， ∴，， 即点的坐标为,． 故选：． 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图像在（    ） A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 【答案】A 【分析】本题考查一次函数及反比例函数的图像与性质，熟练掌握系数对一次函数及反比例函数图像的影响是解决问题的关键．根据正比例函数图像与性质，由题意可知，从而可得函数的图像在二、四象限． 【详解】解：函数中，随的增大而减小， ， 反比例函数图像在二、四象限， 故选：A． 10．（21-22九年级上·辽宁沈阳·期末）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了图象过点的判断，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性的前提是在各自象限内是解题的关键． 【详解】解：A.当时，，图象经过点，结论正确，故不符合题意； B.各自象限内，y的值随x值的增大而减小，结论错误，故符合题意； C.，图象在第一、三象限内，结论正确，故不符合题意； D.时，y的值随x值的增大而减小，，则，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化，熟练掌握求函数值的方法是解题关键．把代入，根据二次根式的分母有理化方法计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 12．（2023八年级下·浙江·专题练习）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数与反比例函数图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵函数的图像在一，三象限， 而正比例函数与函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象经过二、四象限， ∴． 故答案为： 13．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知关于x的一元一次不等式有解，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的性质、不等式的解集等知识点，根据关于x的一元一次不等式有解，可以得到，然后即可得到b的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到直线不经过哪个象限，熟练掌握运算法则和一次函数的性质是解答本题的关键 【详解】∵关于x的一元一次不等式有解， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∴直线不经过第三象限， 故答案为：三． 14．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为，两车之间的距离（）与货车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，图中点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了函数图象；设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，根据3小时相距120千米即可列方程求解，根据条件段所用的时间是45分钟，利用甲和乙之间的距离减去货车行驶的距离即可求得点对应的纵坐标，即可求解． 【详解】解：设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，则 ， 解得：． 则甲、乙两地之间的距离是（千米）； 快递车返回时距离货车的距离是：（千米），即点的纵坐标为 ∵装卸货物共用， ∴点的横坐标为 故答案为：． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为），得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数（）图象上． 故答案为：（）． 三、解答题 16．（23-24八年级上·山西晋中·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） (1)根据如图所示，将表格补充完整； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． (3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 【答案】(1)， (2) (3)护栏总长度为93米时立柱的根数为30 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【详解】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （2）解：根据题意得：与之间的关系式为： ； （3）解：当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示． (1)求与的函数表达式； (2)要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． 观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出与的函数表达式； 根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将代入， 得：， 解得： 与的函数表达式为 （2）根据题意得：， 整理得：， 解得： 答：销售单价应定为每千克元或元． 18．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点A、B的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求不等式的解集； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，利用二元一次方程组求出点的坐标；根据函数图象写出不等式的解集； （2）根据坐标轴上点的特征求出两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，解得 ， 故直线的解析式是， 则 解得 ， 故点的坐标是； 由图象可知，时，的图象在的图象的上方， 故不等式 的解集是； （2）解：当时，，当时，， 则点的坐标是，点的坐标是， ∴． 19．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握． （1）由一次函数经过原点可得，由此求出满足条件的k值； （2）根据一次函数图象的性质可知，据此求出k满足的条件； （3）由该函数的图象经过第一、二、四象限，可得且，解不等式组即可确定k的取值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得； （2）解：∵一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得； （3）解：∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴且， 解得 20．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1)，； (2)；或或或． 【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标； （）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案； 由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）由题意知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴的坐标为； 由知，点在直线上，设直线交轴于，    当时，若点在第一象限， ∴， ∴， 当点在第四象限时，不符合题意，舍去， 当时，    同理得，，， 当时，点， 则点与关于对称， ∴，    综上，所有点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$