复习07 空间角与空间距离问题（六大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习07空间角与空间距离问题 一、求异面直线所成的角： 步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线； ②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角； ③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 二、求线面角的方法: 1.求直线和平面所成角的步骤: ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角; ③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 2.求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等. 三、求二面角的平面角 1.定义法：利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 2.垂线法：过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求. 四、点面距离的求法： 1.定义法：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； 2.等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 考点01 求异面直线的夹角 【例1】如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 【变式1-1】以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    【变式1-3】如图，，，，AC与BD为异面直线，，，，与成60°的角，求异面直线与所成的角． 考点02 求线面角 【例3】在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式2-1】如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为 ． 【变式2-2】如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 考点03 求面面角 【例5】在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例6】己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【变式3-1】在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，. (1)证明：. (2)求二面角的正切值. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 考点04 点面距离 【例7】已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【例8】已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【变式4-1】如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 【变式4-2】如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【变式4-3】如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 考点05 已知线面角求其他量 【例9】在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于 . 【例10】如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【变式5-1】在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为 . 【变式5-2】如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 【变式5-3】如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 考点06 已知面面角求其他量 【例11】已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 【例12】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【变式6-1】如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【变式6-2】如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．在正方体中，异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．长方体中，，设为的中点，直线与底面成角，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 4．在四面体中，，，点与的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．点到平面的距离为 D． 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．三棱锥的体积为1 C．二面角的大小为 D．与底面所成的角的正切值为 三、填空题 7．在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为 . 8．在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ．（用角度表示） 9．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 四、解答题 10．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 11．三棱台中，若面，，，，，分别是，中点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值. 12．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 13．如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值． 14．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段AD的三等分点，平面AEC外一点满足平面． (1)证明:; (2)求点到平面FED的距离． 15．如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 16．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且． (1)求证：平面； (2)若与所成的角为，求多面体的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习07空间角与空间距离问题 一、求异面直线所成的角： 步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线； ②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角； ③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 二、求线面角的方法: 1.求直线和平面所成角的步骤: ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角; ③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 2.求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等. 三、求二面角的平面角 1.定义法：利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 2.垂线法：过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求. 四、点面距离的求法： 1.定义法：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； 2.等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 考点01 求异面直线的夹角 【例1】如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为分别为的中点，所以， 则是异面直线与所成的角. 因为三棱锥为正三棱锥，所以是等边三角形， 于是. 故异面直线与所成的角为. 故选：A. 【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【详解】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF， 则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD， 由已知AB∥CD且AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP， 所以BE∥平面ADP． （2）取CD的中点G，连接AG，PG， 所以AB∥GC且AB＝GC， 所以四边形ABCG为平行四边形， 所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角， 由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°， 所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°． 【变式1-1】以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN， 则即异面直线OM与AP所成角或其补角， 设 ,可知, 则， 因为轴截面PAB为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， , 所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式1-2】如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    【答案】 【详解】    如图，作//，易知是的中点，连接，故即为所求角， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得， 易知，故. 故答案为： 【变式1-3】如图，，，，AC与BD为异面直线，，，，与成60°的角，求异面直线与所成的角． 【答案】 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意； 综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 考点02 求线面角 【例3】在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，取的中点为，连接，作交于点， 因为，且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，点为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 因为， 所以. 故选：D. 【例4】如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以 又，所以， 因为，所以， 所以四点共面， 因为 且都在面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）因为平面，面，所以. 又，由，即， 因为， 所以，则 由题设知，因为，且都在内， 所以平面，面，所以，且 设到平面的距离为， 由，且都在面内，故面， 因为，平面，平面，所以平面， 综上， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2-1】如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】过点作于点， 因为面底面，面底面，面， 所以平面， 则， 当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点， 因为面底面，面底面面， 所以面，又面，所以， 所以即为与半圆面所成角的平面角， 在中，， 所以， 故答案为：． 【变式2-2】如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为，是的中点， 所以， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，，，   又因为，平面，                              所以平面，                  由题意，易知，， 所以四边形是平行四边形，故，               所以平面. （2）因为平面，所以与平面所成的角为，    由已知条件，可知，，         所以是正三角形，又因为为中点，所以，             所以与平面所成的角为. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在△中，，， 由，可得，           ． 由平面平面，平面平面， ，平面，可得平面， 又面，则，                ． 又，，面， 则平面，又平面， 则平面⊥平面； （2）取中点S，中点T，连接，又E，F分别为的中点， 则，，，， 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 连接，中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则平面，则为点P到平面的距离， 又E为的中点，则点E到平面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则，则直线与平面所成角的大小为．． 考点03 求面面角 【例5】在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的中点分别为，连接，则， 因为，所以， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，则， 因为是直角三角形，，所以， 所以，且， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，则，所以为二面角的平面角， 且. 故选：A. 【例6】己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结， 由，，， 得，，，， 在中，由余弦定理得, ， ， ，又平面，， 平面，又平面， ； （2）过点作于点，在平面内作与点，交于点，连结，    则为二面角的平面角， 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由余弦定理得：, ， 即二面角的余弦值为. 【变式3-1】在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，取AB中点M，连接CM，DM 因为为等边三角形，为等腰直角三角形 所以， 故即为二面角的平面角. 因为， 所以， 所以 所以 即二面角的大小为. 故选：D. 【变式3-2】如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，. (1)证明：. (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面PAB，平面， 所以， E，F分别为BC，PC的中点，由中位线的性质可得 在中，， 又，，， 所以为直角，即， 平面， 所以平面， 平面， （2） 根据题意，取的中点，过作交于，连接， 因为为中点，为，则，且， 又平面， 平面， 平面，而平面，， 又，平面， 所以平面， 平面，，即为二面角的平面角， 所以在中，，则， 由等面积可得， 所以，即二面角的正切值为. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以； （2）延长与交于点，连接，则平面平面， 因为，, 所以是的中点，又因为，所以， 所以，又因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成角的平面角， 在中，因为，可得， 在中，因为，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点04 点面距离 【例7】已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【答案】/ 【详解】如图，设，又正方体棱长为1， 所以，平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 的长即为点到平面的距离，所以， 因为点O在线段上，且， 所以点O到平面的距离． 故答案为： 【例8】已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，由，， 得， 在中，由余弦定理得， 则，于是，而平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）在中，由，，得，而平面， 平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 又，设点到平面的距离为，则， ，， ，， 由，得，即，解得， 所以点N到平面的距离. 【变式4-1】如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为D为线段AC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，，D为线段AC的中点， 所以，且，， 因为直棱柱中平面，面，所以， 因为，平面，所以平面， 即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得， 在直角三角形中，，， 所以面积，又三角形的面积为. 设到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，即到平面的距离为. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2)1. 【详解】（1） 如图，连接，由得，四边形是菱形， 再由得，四边形是正方形，设正方形的中心为， 由，可知， 由底面是正方形可知：，又因为， 所以，即， 又因为，所以，即， 又因为平面，平面，， 所以平面， 即可得到四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等， 所以，所以. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解法一： 由题意，得正方形的面积是梯形面积的. 因为四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积为. 设正四棱锥的棱长为，则正方形的面积为. 设与交于点，连接，则为正四棱锥的高. 因为，所以， 所以正四棱锥的体积为，解得. 由（1），知平面，所以点到平面的距离为2. 易知，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 即点到平面的距离等于点到平面距离的， 所以点到平面的距离为1. 解法二： 由题意，知四棱锥的体积为，解得， 所以. 易知，且，所以四边形是平行四边形，所以. 在中，易得，所以在中，， 所以， 所以.连接，则. 设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为1. 【变式4-3】如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）令平面交棱于点，连接，由，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，于是， 又平面，平面平面，平面，于是， 因此四边形是平行四边形，，而，， 所以. （2）在图①的中，由，得， 于是，而，则，， 又M是线段的中点，则，， 由（1）得，则，， 则有，，因此， 显然，平面，则平面， 而，因此平面，又平面，则， 又平面，从而平面，又， 则平面，而平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，又平面，平面，则平面， 即点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 考点05 已知线面角求其他量 【例9】在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于 . 【答案】 【详解】由题意可得平面，所以是与底面所成角， 因为与底面所成角的正切值为，所以， 因为底面ABCD为正方形，且边长为，所以，则，所以 故答案为： 【例10】如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 【变式5-1】在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图所示，连接， 因为底面，所以与底面所成的角，即为， 又因为底面为正方形，且，可得， 因为与底面所成的角大于，可得， 所以的长度的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-2】如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，平面，∴平面， ∵三棱台中， ∴平面， 又平面，，故是直角三角形． （2） 在平面内作，垂足为，连接． 由（1）知，平面，又平面，， ，平面，平面， 是在平面上的射影，即为直线与平面所成角． 设，则，， ∵三棱台中，， ，． 在中，，， 在中，， 解得． ∴ 当时，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式5-3】如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）证明：如图1所示，取中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：存在． 如图1所示，作于点，由（1）知， 因为，且平面，所以平面， 设，则，， 因为无解，即点在延长线上，如图2所示， 所以，解得，即， 所以，所以垂足与构成一个正方形， 过作交于，连接, 因此平面，所以平面，所以， 记，则，， 所以，解得，即存在满足条件． 考点06 已知面面角求其他量 【例11】已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，    因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 【例12】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 【变式6-1】如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）连接，则， 平面平面，平面平面＝AC，平面， 平面，又平面， ，又正方形的边长为， ，， 设点到平面的距离为，则， ， ，即点到平面的距离； （2）取的中点，连接，， ， ，， 为二面角的平面角，， 由题可知与全等， 在中，，， ，， ，. 【变式6-2】如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）连接，    在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，   ，，， ； 平面，即平面， 即为三棱锥中，点到平面的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. （3）平面，平面，平面平面， 平面平面 取中点，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接，则即在平面上的射影，   平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作，   ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）由底面是平行四边形，则， 又，则，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2在线段上取一点，连接， 由（1）知，，，平面，平面， 所以平面， 由平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 在中，因为，且， 则，所以， 所以为等边三角形， 所以存在点为中点，即．    一、单选题 1．在正方体中，异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角， 由正方体结构特征可知为等边三角形， 因此与所成角为. 故选：C. 2．长方体中，，设为的中点，直线与底面成角，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，    由直线与底面成角， 则，所以， 设，则，所以， 所以，所以， 取的中点，连接，， 则，且， 所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角， 即为，， 所以平面，即， 在中，， 所以. 故选：C. 3．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】在平面中过作，垂足为，    因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 4．在四面体中，，，点与的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点为E，取的中点为F，连接， 由，得， 又平面，故平面， 平面，故平面平面， 由，，可知为正三角形， 由E为的中点，得， 而的中点为F，故，故， 又平面平面，平面，故平面， 故即为直线与平面所成角； 设，则，, ， 在中，, 即直线与平面所成角的正弦值为， 故选：A 二、多选题 5．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．点到平面的距离为 D． 【答案】ABC 【详解】 选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角是，故A正确；    选项B，取中点为，连接，， 因为，平面， 所以，， 因为，平面，所以平面， 故为二面角的平面角，则， 故二面角的正切值为，故B正确； 选项C，因为， 所以， 设到面的距离为，则由， 可得：，解得，故C正确； 选项D，若，又，且， 平面,则面， 则有，与矛盾，故D错误． 故选:ABC． 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．三棱锥的体积为1 C．二面角的大小为 D．与底面所成的角的正切值为 【答案】ABD 【详解】对选项，取的中点，连接，如图所示： 因为侧面为边长为2的正三角形，且为的中点， 所以， 又底面是菱形，， 所以是边长为2的等边三角形， 所以，又，，平面， 所以平面，， 即异面直线与所成的角为，故正确； 对选项B，因为平面平面，， 所以平面. 因为，， 所以，故B正确； 对于选项，因为平面平面，，平面， 所以，. 是二面角的平面角，，则， 在中，，即， 故二面角的大小为，故错误. 对选项D，如图所示： 因为平面， 所以与底面所成的角即为， 因为， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为 . 【答案】 【详解】取的中点，连接， 因为E、F 分别是的中点，所以， 因为所成的角为，所以或， 如图1，，则， 如图，，则 故答案为： 8．在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ．（用角度表示） 【答案】 【详解】因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以， 因为平面OAB， 所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为。 所以，是直角三角形，，又， 所以，又， 所以在中，，所以． 故答案为：.    9．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【详解】为中点，连接，如图所示，    在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， 为正三角形，为中点，则， 平面，，平面， 在平面内的射影为，则与平面所成角为， ，则，，， 中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 四、解答题 10．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点. 由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面. （2）我们有，. 而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是. 而由于，， 故. 所以二面角的正切值为. 11．三棱台中，若面，，，，，分别是，中点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成成角的余弦值； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得.    （2）解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 由面，面，故， 又因为，，平面，则平面. 由平面，故， 因为，，且平面，于是平面， 由平面，可得， 所以平面与平面所成角即， 又因为，，则， 所以， 在直角中，，则，所以.    （3）解：  过作，垂足为，作，垂足为， 连接，过作，垂足为， 由，，可得， 由平面，平面，则， 因为，，平面，于是平面， 又因为平面，则， 因为，，平面，所以平面， 在直角中，， 因为，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是，设所求角为，则.    12．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 13．如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)作图、理由见解析 (2) 【详解】（1）分别取,的中点,，连接,，    则平面平面， 证明：在中，,分别为，的中点， 所以，同理，， 又平面，平面， 所以平面，同理平面 又平面，所以平面平面， （2）连接,，取中点为，连接, 由于, 由于底面，底面, ，又因为，，，平面， 所以平面,平面,故, 故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故60°， 不妨设底面正方形的边长为，则，,    因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，，，,平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的正切值为； 14．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段AD的三等分点，平面AEC外一点满足平面． (1)证明:; (2)求点到平面FED的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵点为的中点，且为直径， ∴， ∵平面，平面，∴， 又平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）∵平面，且平面，∴， 又∵，∴， ∴， ∵平面，平面，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴点到平面的距离. 15．如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接交于点，连接. 在底面中，因为，且， 由，可得， 因为，即， 所以在中，，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）设的中点为，连接、， 因为，，所以为等边三角形， 所以， 又平面，平面，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 即二面角的大小为； （3）因为，，所以， 所以， 在中， ， ， 所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则， 即， 即， 即点到平面的距离为. 16．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且． (1)求证：平面； (2)若与所成的角为，求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）延长交于点M，连接，则在面内， 由，则，又， 所以，可得， 由，G在上且，故为平行四边形， 则，且，又共线， 所以，且，故为平行四边形，则， 由平面，平面，所以平面． （2） 取的中点N，则，且， 所以为平行四边形，则， 在平面内，过G作FB的平行线交AB于P， 所以与所成的角，即为与所成角，则， 平面，平面，则，而， 设，则△中，， ，则为等边三角形， 故，即， 所以在中，P为的中点，且，故为的中位线， 所以，易知多面体为棱台，且，且， 体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$