江苏省高一数学下学期期末模拟试卷02-2023-2024学年高一数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（苏教版2019必修二）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步、统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，，则　　 A． B． C． D． 2．若钝角三角形的边长分别为，，，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．如图，在五个正方形拼接而成的图形中，的值为　　 A． B． C． D． 4．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为，则　　 A．， B．， C．， D．， 5．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是　　 A． B． C． D． 6．函数的最大值为　　 A．1 B．3 C．5 D． 7．正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 8．已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，，是不同的平面，，是两条不重合的直线，下列说法不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 10．分别抛掷两枚硬币，设表示事件“第1枚正面向上”， 表示事件“第2枚反面向上”， 表示事件“恰有1枚正面向上”， 表示事件“两枚都正面向上”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 11．已知正方体的棱长为4，点，，，分别是，，，的中点则　　 A．直线，是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为，则该圆锥体积为 　　． 13．若点是的重心，点、分别在、上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　． 14．如图，在四边形中，，连接，，，，则的面积为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16．已知向量，，，，． （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，，，恒成立，求实数的最小值． 17.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率． 18．如图，在正三棱台中，底面是边长为4的正三角形，且． （1）证明：； （2）求异面直线，所成角的余弦值． 19．如图，已知是边长为2的正三角形，，分别是边，上的点，线段经过的中心，设． （1）分别记，的面积为，，试将，表示为的函数； （2）求的最大值与最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步、统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，，则　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算求解即可． 【解答】解：由，， 得． 故选：． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2．若钝角三角形的边长分别为，，，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理即可得实数的取值范围． 【解答】解：由已知得，． 故选：． 【点评】本题考查余弦定理，属于基础题． 3．如图，在五个正方形拼接而成的图形中，的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由图可得，，再利用两角差的正切公式计算，从而可得的值． 【解答】解：由图可得，， ， ，，， 的值为． 故选：． 【点评】本题主要考查两角差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题． 4．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用平均数、方差的定义直接求解． 【解答】解：某8个数据的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的平均数为，方差为， ，． 故选：． 【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 5．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可． 【解答】解：设向量与的夹角是， 则． 又因为，所以． 故选：． 【点评】本题考查了向量的夹角，属于基础题． 6．函数的最大值为　　 A．1 B．3 C．5 D． 【分析】利用诱导公式将函数化简成形式，即可求出函数的最大值． 【解答】解：根据题意， 所以， 故，， 所以函数的最大值为3． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，属于基础题． 7．正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可得连接，并取的中点，连接、，可证出（或其补角）就是异面直线与所成角，然后在中利用余弦定理算出答案． 【解答】解：连接，取的中点，连接、、、、， 在△中，、分别是、的中点，所以，且， 因此，（或其补角）就是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为2，则等边△的边长为，可得，同理可得， 在中，，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值是． 故选：． 【点评】本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的求法、余弦定理的应用等知识，属于中档题． 8．已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【分析】设，在三棱锥中，取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为，连接，推导出点为正中心，得到三棱锥是边长为的正四面体，求出出该正四体的外接球半径，结合正四面体体体积公式能求出，由此能求出结果． 【解答】解：在菱形中，，设，则和均为边长为的正三角形， 将折起后，，取的中点，连接，，如图， ，则，， ，平面， 过点在平面内作，垂足为，连接， 平面，， ，，平面， 平面，， 直线与平面所成角为， 在中，，，， 在中，，， ，则， 点为正的中心，三棱锥是棱长为的正四面体， 将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为， 三棱锥的外接球半径为， 三棱锥的外接球体积为，解得， 该三棱锥的表面积为． 故选：． 【点评】本题考查三棱锥的结构特征、正四面体外接球、补形法、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，，是不同的平面，，是两条不重合的直线，下列说法不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，逐一判断即可得解． 【解答】解：对选项，，，与共面，与相交或平行，选项错误； 对选项，，，或，选项错误； 对选项，，，，， 当与异面时，可得，当时，可得或与相交，选项错误； 对选项，，，，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查空间中直线、平面的位置关系，考查空间想象力，逻辑推理能力，属基础题． 10．分别抛掷两枚硬币，设表示事件“第1枚正面向上”， 表示事件“第2枚反面向上”， 表示事件“恰有1枚正面向上”， 表示事件“两枚都正面向上”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【分析】根据互斥事件，相互独立事件的定义分别判断即可． 【解答】解：正正，正反，正反，反反，正反，反正，正正， 正反，，不互斥，故错误， ，互斥，故正确， （A），（C），，（A）（C），故正确， （A），（D），，（A）（D），故错误． 故选：． 【点评】本题考查了互斥事件，相互独立事件，是基础题． 11．已知正方体的棱长为4，点，，，分别是，，，的中点则　　 A．直线，是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为 【分析】对于，取的中点，连接，取的中点，连接，证明，即可判断；对于，延长，交于点，连接交点，连接，，说明平面截正方体所得截面为四边形，从而可以判断；对于，连接，，证明平面，再根据即可判断；对于，利用等体积法可求三棱锥的内切球的半径，进而可求体积． 【解答】解：对于，如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 则，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因，所以直线，是异面直线，故正确； 对于，如图，延长，交于点，连接交点，连接，， 因为，为的中点，则， 所以为的中点， 因为，所以为的中点，则， 因为，， 所以为平行四边形，所以， 所以， 则平面截正方体所得截面为等腰梯形， 在等腰梯形中， ， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故错误； 对于，连接，，则， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 又因为为的中点， 所以三棱锥的高为， ， 所以，故正确； 三棱锥为正四面体，且棱长为， 每个侧面的面积为， 三棱锥的体积为， 设三棱锥的内切球的半径为， 则，解得， 所以三棱锥的内切球的体积为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查空间几何体的性质，考查异面直线，考查截面面积，考查内切球的体积的求法，属中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为，则该圆锥体积为 　　． 【分析】求出圆锥的底面半径与高，然后求解体积． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为， 则所以圆锥的高为， 圆锥的体积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是基础题． 13．若点是的重心，点、分别在、上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　． 【分析】用，表示出，求出，，得出，的位置，从而得出答案． 【解答】解：设的中点为，则， 又，即， ， ，又，， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量基本定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． 14．如图，在四边形中，，连接，，，，则的面积为 　　． 【分析】过作交延长线于点，过作，可证，由此，在中，，由及勾股定理可求得，即，继而根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：过作交延长线于点，过作， 则， ，， ， 在和中，， ， ， 在中，， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得， ， 的面积， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，三角形面积的计算等知识，属于中等题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解． （2）根据已知条件，对平方再开方，即可求解． 【解答】解：（1）向量，的夹角为，且，， ． ． （2），，， ． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查计算能力，属于基础题． 16．已知向量，，，，． （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，，，恒成立，求实数的最小值． 【分析】（1）由，则，再求解即可； （2）由，又，，则，，又对于任意，，，恒成立，等价于，得解． 【解答】解：（1）由， 则， 即， 即， 又，， 则； （2）， 又，， 则，， 则，， 又对于任意，，，而恒成立， 则， 故实数的最小值为． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题． 17.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率． 【分析】（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率值，补全频率分布直方图即可； （2）利用组中值即可计算这组数据的平均数； （3）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【解答】解：（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率为 ， 且， 补全这个频率分布直方图，如图所示 （2）利用组中值估计本次考试成绩的平均数为 ； （3）第5组人数为，记为、、、； 第6组两组人数为，记为、、； 从这7人中随机抽取2人，基本事件是： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共21种， 求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的基本事件是： 、、、、、、、、、、、、、、共15种， 故所求的概率为． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 18．如图，在正三棱台中，底面是边长为4的正三角形，且． （1）证明：； （2）求异面直线，所成角的余弦值． 【分析】（1）将三棱台补成正三棱锥，利用线面垂直的性质证明平面即可． （2）利用异面直线所成角的定义转化为相交直线的夹角，利用余弦定理进行计算即可． 【解答】证明：将正三棱台补成正三棱锥，要证只要证即可． 取中点，连接，则， 连接，，则， ， 平面， 平面，，即． （2）取中点，则是△的中位线， 则， 则直线与所成的角即是直线，所成的角， 即异面直线所成角即为或其补角， 底面是边长为4的正三角形，． 三棱锥的棱长都相等，都为4， ，，， 由余弦定理可得， 即异面直线，所成角的余弦值是． 【点评】本题主要考查直线垂直以及异面直线所成角的求解，利用线面垂直的性质以及异面直线所成角的定义进行转化求解是解决本题的关键，是中档题． 19．如图，已知是边长为2的正三角形，，分别是边，上的点，线段经过的中心，设． （1）分别记，的面积为，，试将，表示为的函数； （2）求的最大值与最小值． 【分析】（1）根据是边长为1的正三角形的中心，可求得，进而利用正弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得，同理可求得； （2）把（1）中求得与代入求得函数的解析式，进而根据的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值． 【解答】解：（1）因为点是正的中心， 所以． 在中，，， 所以， 在中，同理，可得． 所以，； （2） ， 因为， 所以时，；当或时，． 【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$