专题08 一次函数综合题【四大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题08 一次函数综合题【四大题型】 【题型1 一次函数中的参数范围问题】 1．（2023•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2） 我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为点M与点N的“直角距离”，记作dMN． 例如：点M（﹣2，4）与点N（5，3）的“直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+|4﹣3|＝8． （1）已知点P1（1，3），P2（﹣2，﹣3），P3（，），在这三个点中，与原点O的“直角距离”等于4的点是 　 　； （2）若直线yx+b上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4，直接写出b的取值范围； （3）已知点A（m，2），B（m+5，2），若线段AB上有且只有一点C，使得dCO＝4，直接写出m的取值范围． 2．（2023•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“关联菱形”．例如，图1中的四边形ABCD为点A，C的“关联菱形”． 已知点M（1，1），点P（a，a）． （1）当a＝3时， ①在点E（2，1），F（1，3），G（﹣1，5）中，点 　 　能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点； ②当点M，P的“关联菱形”MNPQ的面积为8时，求点N的坐标． （2）已知直线y＝﹣2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB≤5，且点A是点M，P的“关联菱形”的顶点，直接写出a的取值范围． 3．（2023•门头沟区期末）我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　 　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　 　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 4．（2023•延庆区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． 如图1，直线l是菱形ABCD的“独立关联直线”． （1）如图2，点A（1，0），点C（3，1）是矩形ABCD的顶点，若一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象是这个矩形的“独立关联直线”，求k的值； （2）点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1；将正方形EFGH的边HE，EF，FG称为图形M（其中点E的横坐标为a），若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，直接写出a的取值范围． 【题型2 一次函数中的最值问题】 5．（2022•西城区期末）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（1，1），C（0，2），D（0，3），E（，2）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 　 　； （2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝﹣x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围． 6．（2023•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′　 　、C′　 　； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为　 　（不必证明）； 运用与拓广： （3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标． 7．（2023•门头沟区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”． 如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图． （1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为　 　； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y＝x+b上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 8．（2023•海淀区校级期末）平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“美好值”及“幸福值”给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“美好值”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“美好值”为|y1﹣y2|； 记2|x1﹣x2|+3|y1﹣y2|为点P1与点P2的“幸福值”． 例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“美好值”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．点P1与点P2的“幸福值”为2×|1﹣3|+3×|2﹣5|＝13． （1）已知点A（﹣2，0），B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“美好值”为3，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“美好值”的最小值； （2）已知点C是直线yx+3上的一个动点，点D的坐标是（﹣2，﹣1）． ①如图2，求点C与点D的“美好值”的最小值及相应的点C的坐标； ②请在图3中画出与点D的“幸福值”为6的所有符合条件的点E组成的图形，并直接写出点C与点E的“美好值”的最小值及相应的点E和点C的坐标． 【题型3 一次函数中的动点问题】 9．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义： M[P，Q]（x1+x2﹣|x1﹣x2|）（y1+y2﹣|y1﹣y2|）． （1）已知点P（1，0）． ①若点Q与点P重合，则M[P，Q]＝　 　； ②若点Q（3，﹣1），则M[P，Q]＝　 　； （2）正方形OABC四个顶点的坐标分别是O（0，0），A（t，0），B（t，t），C（0，t），其中t＞0，在正方形OABC内部有一点P（a，b），动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动．若M[P，Q]＝a+b，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； （3）若点P（1，2），Q（k，5﹣k），M[P，Q]＞0，且M[P，Q]为奇数，直接写出k的取值范围． 10．（2023•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3． （1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点． ①若d（A，B）＝3，求点B的坐标； ②d（A，B）的最小值为 　 　； ③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值． （2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围． 11．（2023•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为（﹣2，3）． ①在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中，为点A的垂距等点的是 　 　； ②若点B在y轴的负半轴上．且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 　 　； （2）直线l：y＝x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D． ①当E为线段CD上一点时，若在直线x＝n上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围； ②已知正方形ABKL的边长为2，（t，0）是对角线AK、BL的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E，G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 12．（2022•大兴区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）． （1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 　 　； （2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围． 【题型4 一次函数中的存在性问题】 13．（2023•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若在图形M上存在一点P，且点P的纵坐标是横坐标的n（n为正整数）倍，则称点P为图形M的“n倍点”． 例如，点（1，4）是直线y＝﹣x+5的“4倍点”． （1）在点P1（1，2），P2（2，0），P3（2，4），P4（，）中，　 　是直线y＝﹣2x+4的“2倍点”； （2）已知点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（m+2，0），以线段AB为矩形的一边向上作矩形ABCD． ①若m＝1，AD＝4，判断是否存在矩形ABCD的“3倍点”，若存在，求出矩形ABCD的“3倍点”的坐标，若不存在，请说明理由； ②若AD＝nAB，且存在矩形ABCD的“n倍点”，直接写出m的取值范围． 14．（2023•西城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标； （2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为（x，ny）（n＞0），则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点P（3，3），点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为 　 　； ②当P是直线y＝x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为 　 　． （2）已知点A（2.3），B（6，3），C（8，5），D（4，5）； ①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线y＝kx+2k（k＞0）上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k，直接写出k的取值范围． 16．（2023•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　 　；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一次函数综合题【四大题型】 【题型1 一次函数中的参数范围问题】 1．（2023•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2） 我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为点M与点N的“直角距离”，记作dMN． 例如：点M（﹣2，4）与点N（5，3）的“直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|+|4﹣3|＝8． （1）已知点P1（1，3），P2（﹣2，﹣3），P3（，），在这三个点中，与原点O的“直角距离”等于4的点是 　P1，P3　； （2）若直线yx+b上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4，直接写出b的取值范围； （3）已知点A（m，2），B（m+5，2），若线段AB上有且只有一点C，使得dCO＝4，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵|1﹣0|+|3﹣0|＝4， |﹣2﹣0|+|﹣3﹣0|＝5≠4， |0|+|0|＝4， ∴这三个点中，与原点O的“直角距离”等于4的点是P1，P3， 故答案为：P1，P3； （2）根据“直角距离”公式可以求出在x坐标轴上到原点的“直角距离”等于4的点的坐标为（﹣4，0）和（4，0）， 当直线yx+b与x轴的交点在（﹣4，0）右侧和（4，0）左侧时，这条直线上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4， 当yx+b过点（﹣4，0）时，b＝0，b＝5， 当yx+b过点（4，0）时，4+b＝0，b＝﹣5， ∴直线yx+b上恰好有两个点与原点O的“直角距离”等于4时，b的取值范围为﹣5＜b＜5； （3）∵点A（m，2），B（m+5，2）， ∴线段AB上的点C的纵坐标为2， 当点C的横坐标为﹣2或2时，点C与原点O的“直角距离”等于4， 当﹣2＜m≤2或﹣2≤m+5＜2时，线段AB上有且只有一点C，使得dCO＝4， 解得：﹣7≤m＜﹣3或﹣2＜m≤2， ∴线段AB上有且只有一个与原点的“直角距离”等于4的点C时，m的取值范围为﹣7≤m＜﹣3或﹣2＜m≤2． 2．（2023•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“关联菱形”．例如，图1中的四边形ABCD为点A，C的“关联菱形”． 已知点M（1，1），点P（a，a）． （1）当a＝3时， ①在点E（2，1），F（1，3），G（﹣1，5）中，点 　F，G　能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点； ②当点M，P的“关联菱形”MNPQ的面积为8时，求点N的坐标． （2）已知直线y＝﹣2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB≤5，且点A是点M，P的“关联菱形”的顶点，直接写出a的取值范围． 解：（1）①如图， ∵M（1，1），P（3，3）． ∴PM中点的坐标为（2，2）， 由菱形的对角线互相垂直平分可知，能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y＝﹣x+k上，且过点（2，2）， ∴2＝﹣2+k， 解得：k＝4， ∴能够成为点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y＝﹣x+4上， 故满足该条件点为F，G； 故答案为：F，G； ②如图，设PM的中点为H，则H（2，2）， ∴MH， 结合①可知，点M，N在直线y＝﹣x+4上， ∵点M，P的“关联菱形”MNPQ的面积为8， ∴S△MHN2，即2， ∴HN， 设N（t，﹣t+4）， ∴HN2＝（t﹣2）2+（﹣t+4﹣2）2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴N（0，4）或（4，0）； （2）∵直线y＝﹣2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A，B（0，b）， ∴AB， ∵AB≤5， ∴5， ∴， 设点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y＝﹣x+c上， 当直线过点M（1，1）时，则y＝﹣x+2， ∵点A是点M，P的“关联菱形”的顶点， ∴， 解得：b＝4，此时无法构成菱形， 当b＝0时，A（0，0）在直线y＝x上，此时也无法构成菱形， ∴，且b≠0，4， 设PM的中点为Q，则Q， 则， 解得：c＝a+1， ∴点M，P的“关联菱形”的顶点在直线y＝﹣x+a+1上， ∵点A是点M，P的“关联菱形”的顶点， ∴， ∴a， ∵，且b≠0，4， ∴，且a≠﹣1，1． 3．（2023•门头沟区期末）我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 解：（1）∵点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上， ∴当P与点A重合，Q与点D重合时，PQ最小， ∵OP＝OA＝1，OQ＝OD＝2， ∴， ∴理想距离， 故答案为：． （2）①如图，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长， ∵射线EF（E（4，0），F（0，4））， ∴OE＝OF＝4， ∴∠OEF＝45°， ∵BE＝4﹣3＝1， ∴PQ＝BM， 故答案为：． ②如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即为PQ的长， ∵， ∴BE， ∴AE＝AB+BE＝4， ∴OA＝0，即m＝0； 当AB在射线EF的左侧时，A′E的长即为PQ的长， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：． 4．（2023•延庆区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． 如图1，直线l是菱形ABCD的“独立关联直线”． （1）如图2，点A（1，0），点C（3，1）是矩形ABCD的顶点，若一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象是这个矩形的“独立关联直线”，求k的值； （2）点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1；将正方形EFGH的边HE，EF，FG称为图形M（其中点E的横坐标为a），若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，直接写出a的取值范围． （1）解：如图，当y＝kx﹣1（k≠0）与y轴的交点为（0，﹣1），当直线经过点D（1，1）或B（3，0）时满足条件 ∴1＝k﹣1或 0＝3k﹣1． ∴k＝2 或． （2）∵点F，H是直线y＝x上的两点，点F的横坐标为a，点H的横坐标为a+1，点E的横坐标为a， ∴F（a，a），G（a+1，a），H（a+1，a+1）， 若直线l：y＝﹣2x+2是图形M的“独立关联直线”，存在以下两种情况： 第一种情况，直线l：y＝﹣2x+2经过点F（a，a）， ∴a＝﹣2a+2， ∴a． 第二种情况，直线l：y＝﹣2x+2只与EH相交．当直线l经过点H（a+1，a+1）时，a+1＝﹣2（a+1）+2， ∴a， 当直线l经过点G（a+1，a）时，a＝﹣2（a+1）+2， ∴a＝0， ∴直线l：y＝﹣2x+2只与EH相交时a取值范围是， 综上，a取值范围是或． 【题型2 一次函数中的最值问题】 5．（2022•西城区期末）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（1，1），C（0，2），D（0，3），E（，2）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 　E　； （2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝﹣x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围． 解：（1）如图1，点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是E； 故答案为：E； （2）①如图2，∵点O关于线段AB的最佳衍生点记为T， 即▱OABT的面积最大， ∴T（1，2）； ②将直线y＝﹣x+b上存在的点O关于四边形ABTC的衍生点记为点H， ∵点A（0，1），B（1，1），C（0，2），T（1，2）， ∴四边形ABTC是正方形， 考虑正方形ABTC及其内部的任意点K（除顶点A、B、T、C外），总能够在正方形ABTC上找到两点M，N，使 点K是MN的中点， 由题意可知：四边形OMHN是平行四边形， ∴由平行四边形的性质可知：K也是O，H的中点， ∴所有的点H组成正方形CB1C1D1和及其内部（边OD1上的点和B1，C1除外），如图3，将它记为图形G， 依题意：只需要直线y＝﹣x+b与图形G有一个公共点即可， 当直线y＝﹣x+b经过点C1（2，4）时，b＝6， 当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，b＝2， ∴b的取值范围是2＜b＜6． 6．（2023•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′　（3，5）　、C′　（5，﹣2）　； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为　（b，a）　（不必证明）； 运用与拓广： （3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标． 解：（1）如图：B′（3，5），C′（5，﹣2）； （2）（b，a）； （3）由（2）得，D（1，﹣3）关于直线l的对称点D′的坐标为（﹣3，1），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小． 设过D′（﹣3，1）、E（﹣1，﹣4）直线的解析式为y＝kx+b， 则 ∴ ∴直线D′E的解析式为：yx 由 得 ∴所求Q点的坐标为（，）． 7．（2023•门头沟区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”． 如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图． （1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为　9　； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y＝x+b上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值． （3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵M（0，1），N（3，1）， ∴MN＝3， ∴以MN为边的正方形的面积＝32＝9， 故答案为9． （2）∵点O，C的“确定正方形”面积为2， ∴OC， ∵点O，C的“确定正方形”面积最小， ∴OC⊥直线y＝x+b于点C． ①当b＞0时，如图1中， 由题意可知OM＝ON，△MON为等腰直角三角形， 可求OC＝NC＝MC， ∴b＝2 ②当b＜0时，同理可求 b＝﹣2， ∴b＝±2． （3）如图2中，当正方形ABCD在直线y＝﹣x﹣2的下方时，延长DB交直线y＝﹣x﹣2于H． 易知BH⊥直线y＝﹣x﹣2，当BH时，点E，F的“确定正方形”的面积的最小值为2，此时P（﹣6，0）． 如图3中，当正方形ABCD在直线y＝﹣x﹣2的上方时，延长DB交直线y＝﹣x﹣2于H． 易知BH⊥直线y＝﹣x﹣2，当BH时，点E，F的“确定正方形”的面积的最小值为2，此时P（2，0）， 观察图象可知：当m≤﹣6或m≥2时，所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2． 8．（2023•海淀区校级期末）平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“美好值”及“幸福值”给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“美好值”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“美好值”为|y1﹣y2|； 记2|x1﹣x2|+3|y1﹣y2|为点P1与点P2的“幸福值”． 例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“美好值”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．点P1与点P2的“幸福值”为2×|1﹣3|+3×|2﹣5|＝13． （1）已知点A（﹣2，0），B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“美好值”为3，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“美好值”的最小值； （2）已知点C是直线yx+3上的一个动点，点D的坐标是（﹣2，﹣1）． ①如图2，求点C与点D的“美好值”的最小值及相应的点C的坐标； ②请在图3中画出与点D的“幸福值”为6的所有符合条件的点E组成的图形，并直接写出点C与点E的“美好值”的最小值及相应的点E和点C的坐标． 解：（1）①∵点B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（0，y）， ∵|﹣2﹣0|＝2≠3， ∴|0﹣y|＝3， ∴y＝±3， ∴点B的坐标为（0，3），（0，﹣3）． ②设点B的坐标为（0，y）， 根据题意得：|﹣2﹣0|≥|0﹣y|， ∴|y﹣0|≤2 ∴点A与点B的“美好值”的最小值为2． （2）①∵点C是直线yx+3上的一个动点， ∴设点C（m，m+3），且点D的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴当|m+2|＝|m+3+1|＝|m+4|时，点C与点D的“美好值”有最小值， 当m＜﹣2时，﹣m﹣2＝4m，m＝﹣12，此时美好值为10； 当﹣2小于等于m＜8时，m+2＝4m，m，此时美好值为； 当m大于等于8时，m+2m+4，m＝4（舍去）； 综上，美好值的最小值当m时取得，所以C（，），点C与点D的“美好值”的最小值为． ∴点C与点D的“美好值”的最小值为． ②设E（x，y）． ∵点E，点D的“幸福值“为6， ∴2|x+2|+3|y+1|＝6， 当x≥﹣2，y≥﹣1时，可得2x+4+3y+3＝6，即yx， 当x≥﹣2，y＜﹣1时，可得2x+4﹣3y﹣3＝6，即yx， 当x＜﹣2，y≥﹣1时，可得﹣2x﹣4+3y+3＝6，即yx 当x＜﹣2，y＜﹣1时，可得﹣2x﹣4﹣3y﹣3＝6，即yx， 点E组成的图象如图3所示（图中菱形）： 观察图象可知，当E（﹣2，1），C（0，3）时，点C与点E的“美好值”的最小值为2． 【题型3 一次函数中的动点问题】 9．（2023•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义： M[P，Q]（x1+x2﹣|x1﹣x2|）（y1+y2﹣|y1﹣y2|）． （1）已知点P（1，0）． ①若点Q与点P重合，则M[P，Q]＝　1　； ②若点Q（3，﹣1），则M[P，Q]＝　0　； （2）正方形OABC四个顶点的坐标分别是O（0，0），A（t，0），B（t，t），C（0，t），其中t＞0，在正方形OABC内部有一点P（a，b），动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动．若M[P，Q]＝a+b，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； （3）若点P（1，2），Q（k，5﹣k），M[P，Q]＞0，且M[P，Q]为奇数，直接写出k的取值范围． 解：（1）①由题意得：M[P，Q]1， 故答案为：1． ②由题意得：M[P，Q]0， 故答案为：0． （2）设点Q的坐标为（x，y）， ∴M[P，Q]， ∴当x≥a，y≥b时，M[P，Q]a+b， 当x≥a，y＜b时，M[P，Q]， 当x＜a，y≥b时，M[P，Q]， 当x＜a，y＜b时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＝a+b， ∴x≥a，y≥b， ∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，面积为 （t﹣a）（t﹣b）， （3）由题意得，M[P，Q]， 当k＜1时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＞0， ∴k+2＞0， ∴﹣2＜k＜1， ∵M[P，Q]为奇数，即k为奇数， ∴k＝﹣1； 当1≤k≤3时，M[P，Q]， 此时满足M[P，Q]＞0且M[P，Q]为奇数， ∴1≤k≤3， 当k＞3时，M[P，Q]， ∵M[P，Q]＞0， ∴6﹣k＞0， ∴3＜k＜6， ∵M[P，Q]为奇数，即k为奇数， ∴k＝5； 综上，1≤k≤3或k＝﹣1或k＝5． 10．（2023•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3． （1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点． ①若d（A，B）＝3，求点B的坐标； ②d（A，B）的最小值为 　1　； ③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值． （2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围． 解：（1）设B（x，0）， ①∵|0﹣1|＝1≠3， ∴|x﹣0|＝3， ∴x＝±3， ∴B点的坐标为（﹣3，0）或（3，0）． ②当x＜﹣1或x＞1时， |x﹣0|＞|0﹣1|， ∴d（A，B）＝|x|＞1； 当﹣1≤x≤1时， |x﹣0|≤|0﹣1|＝1， ∴d（A，B）＝1， 综上所述，d（A，B）的最小值为1． 故答案为：1． ③r＝4． 由题意知， 点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上， ∵正方形面积为64， ∴正方形的边长为8， 即2r＝8， ∴r＝4． （2）由题意知， 当M点在矩形DFEG内（含边）内运动时，d（D，M）+d（E，M）＝5． ∴﹣2≤m≤3． 11．（2023•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为（﹣2，3）． ①在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中，为点A的垂距等点的是 　M，T　； ②若点B在y轴的负半轴上．且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 　（0，﹣5）　； （2）直线l：y＝x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D． ①当E为线段CD上一点时，若在直线x＝n上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围； ②已知正方形ABKL的边长为2，（t，0）是对角线AK、BL的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E，G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 解：（1）①∵点A的坐标为（﹣2，3）， ∴3＝5， 在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中， 1+4＝5，79，0＝5， ∴M、T为点A的垂距等点， 故答案为：M，T； ②∵点B在y轴负半轴上， ∴点B的横坐标为0， 设B（0，y）（y＜0）， ∴﹣y+0＝5， ∴y＝﹣5， ∴B（0，﹣5）； 故答案为：（0，﹣5）； （2）①由题意，直线y＝x﹣4与x轴交于C（4，0），与y轴交于D（0，﹣4）， 点E在线段CD上，设E点的坐标为（x，x﹣4）， 0≤x≤4，x﹣4≤0， ∴点E到坐标轴的距离之和为： x+4﹣x＝4， ∵E、F两点为垂距等点， ∴点F满足横、纵坐标的绝对值之和等于4， ∴点F在如图所示的正方形CDRS上， ∵R点的坐标为（﹣4，0），F点在直线x＝n上， ∴﹣4≤n≤4； 即：n的取值范围﹣4≤n≤4； ②∵（t，0）是对角线AK、BL的交点， ∴不妨设A（t﹣1，1），L（t+1，1）， 由①可知，点E到两坐标轴的距离之和的最小值为4， ∴当t≥1时，由t+1+1≥4，得： t≥2； 当t＜1时，由1﹣t+1≥4，得： t≤﹣2； ∴t的取值范围是t≤﹣2或t≥2． 12．（2022•大兴区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）． （1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 　C1，C2　； （2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围． 解：（1）C1（0，﹣2），则AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形， 故C1是线段AB的“从属点”； C2（2，2），则AC22＝AB，且△ABC为直角三角形， 故C2是线段AB的“从属点”； C3（1，0），则AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”； C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”； 故答案为：C1，C2． （2）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3 ）， ∵点P为线段AB的“从属点”， ①当∠ABP＝90°时， 由题意可知：OA＝OB＝1， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴∠OBP＝45°， 过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E， 可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形， ∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a， ∴OF＝1﹣a， 则1﹣a＝2a+3， 解得：a， ∴点P的坐标为（，）， 此时AP＞AB； ②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H， 同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG， ∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形， ∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3， ∴OG＝2a+4， 则﹣2a﹣4＝a， 解得：a， ∴点P的坐标为（，）， 此时AP＝AH+HP＞AB； 综上，点P的坐标为：（，）或（，）． （3）如图，AC＝AE＝AB， 由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE1、BD上， 当b＞0时， 当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上， 此时点C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5， 从而当b＞5时，总能找到点B，满足条件， 故b＞5； 当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”， 如图，当点E和M重合时， ∵AB＝AE， ∴△ABE为等腰直角三角形， 可得：AO＝EO＝1，即E （1，0），代入y＝4x+b， 得：b＝﹣4， 而当b＞﹣4时，四条射线CC1、DD1、EE1、FF1无法与线段MN产生两个交点， 当b＜﹣4时，总能找到点B，满足条件， 此时b＜﹣4， 综上，b的取值范围是：b＞4或b＜﹣4． 【题型4 一次函数中的存在性问题】 13．（2023•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若在图形M上存在一点P，且点P的纵坐标是横坐标的n（n为正整数）倍，则称点P为图形M的“n倍点”． 例如，点（1，4）是直线y＝﹣x+5的“4倍点”． （1）在点P1（1，2），P2（2，0），P3（2，4），P4（，）中，　P1（1，2）　是直线y＝﹣2x+4的“2倍点”； （2）已知点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（m+2，0），以线段AB为矩形的一边向上作矩形ABCD． ①若m＝1，AD＝4，判断是否存在矩形ABCD的“3倍点”，若存在，求出矩形ABCD的“3倍点”的坐标，若不存在，请说明理由； ②若AD＝nAB，且存在矩形ABCD的“n倍点”，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵P2（2，0），P4（，）不满足纵坐标是横坐标的2倍， ∴P2（2，0），P4（，）不是直线y＝﹣2x+4的“2倍点”； 而P3（2，4）不在直线y＝﹣2x+4上， ∴P3（2，4）不是直线y＝﹣2x+4的“2倍点”； 根据“2倍点“定义，P1（1，2）在直线y＝﹣2x+4上，纵坐标是横坐标的2倍， ∴P1（1，2）是直线y＝﹣2x+4的“2倍点”； 故答案为：P1（1，2）； （2）①当m＝1，AD＝4时，存在矩形ABCD的“3倍点”，理由如下： 如图： 此时A（1，0），B（3，0），C（3，4），D（1，4）， 若矩形ABCD的“3倍点”在AD上，则矩形ABCD的“3倍点”为（1，3）满足条件； 若矩形ABCD的“3倍点”在CD上，则矩形ABCD的“3倍点”为（，4）满足条件； 根据定义，AB，BC上不存在矩形ABCD的“3倍点”， ∴矩形ABCD的“3倍点”的坐标为（1，3）或（，4）； ②如图： ∵A（m，0），B（m+2，0）， ∴AB＝2， ∵AD＝nAB， ∴AD＝2n＝BC， ∴A（m，0），B（m+2，0），C（m+2，2n），D（m，2n）， 若矩形ABCD的“n倍点”在AD上，则矩形ABCD的“n倍点”坐标为（m，mn）， ∴0≤mn≤2n， ∵n为正整数， ∴0≤m≤2； 若矩形ABCD的“n倍点”在CD上，则矩形ABCD的“n倍点”坐标为（2，2n）， ∴m≤2≤m+2， 解得：0≤m≤2； 若矩形ABCD的“n倍点”在BC上，则矩形ABCD的“n倍点”坐标为（m+2，mn+2n）， ∴0≤mn+2n≤2n，即﹣2n≤mn≤0， ∵n为正整数， ∴﹣2≤m≤0； 根据定义，AB上不可能存在矩形ABCD的“n倍点”， 综上所述，存在矩形ABCD的“n倍点”，m的范围是0≤m≤2或﹣2≤m≤0． 14．（2023•西城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标； （2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分） （2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x， 根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得： 此时，AD，（2分） 设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分） 解得： ∴直线CD解析式为（1分） （3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0） ②当点P在第一象限时，如图， 由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB， 则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q， 在Rt△ADP中， AD，PD＝BD，AP＝BC＝2 由AD×PQ＝DP×AP得： ∴ ∴，把代入得 此时 （也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标） ③当点P在第二象限时，如图 同理可求得： ∴ 此时 综合得，满足条件的点P有三个， 分别为：P1（0，0）；；． 15．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为（x，ny）（n＞0），则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点P（3，3），点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为 　（3，1）　； ②当P是直线y＝x+1与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为 　（﹣1，0）　． （2）已知点A（2.3），B（6，3），C（8，5），D（4，5）； ①若对于直线AD上任意一点Q，在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线y＝kx+2k（k＞0）上任意一点，若在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k，直接写出k的取值范围． 解：（1）①根据“倍点”的定义，点P（3，3）的“倍点”为（3，3），即（3，1）， 故答案为：（3，1）； ②在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1， ∴P（﹣1，0）， ∵n×0＝0， ∴点P的“n倍点”的坐标为（﹣1，0）； 故答案为：（﹣1，0）； （2）①由A（2，3），D（4，5）得直线AD解析式为y＝x+1， 设Q（p，p+1）， ∵在直线y＝2x+2上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”， ∴P（p，）， 把P（p，）代入y＝2x+2得： 2p+2， ∴p+1＝2pn+2n，即（1﹣2n）（p+1）＝0对任意的p都成立， ∴1﹣2n＝0， 解得：n； ②设P（m，km+2k）， 若点P的“k倍点”为A（2，3），则， 解得k＝±， ∵k＞0， ∴k； 同理若点P的“k倍点”为B（6，3），可得k；若点P的“k倍点”为C（8，5），可得k；若点P的“k倍点”为D（4，5），可得k， ∴当k时，P的“k倍点”在边AB上； 当k时，P的“k倍点”在边AD上； 当k时，P的“k倍点”在边BC上； 当k时，P的“k倍点”在边CD上； ∵在四边形ABCD的边上存在点P的“n倍点”，且n＝k， ∴k的取值范围是k． 16．（2023•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　①④　；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6　． 解：（1）m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2） ①P1（﹣1，6）：∵﹣1﹣1＝1﹣3，6﹣2＝2﹣（﹣2）， ∴P1（﹣1，6）是等差点； ②P2（2，0）：∵2﹣1≠1﹣3，且2﹣3≠3﹣1， ∴P2（2，0）不是等差点； ③P3（4，﹣4）：∵4﹣1≠1﹣3，且4﹣3≠3﹣1， ∴P3（4，﹣4）不是等差点； ④P4（5，﹣6）：∵5﹣3＝3﹣1，且﹣6﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣2， ∴P4（5，﹣6）是等差点． 故答案为：①④． （2）①∵点A直线y＝﹣x上，横坐标为﹣2， ∴A（﹣2，2）， 当t＝﹣1 时，M（﹣1，0），N（0，1）， 设直线MN解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线MN解析式为y＝x+1， 联立， 解得， ∴交点即等差点坐标为（﹣0.5，0.5）； 设点B（a，﹣a）， 则﹣0.5﹣a＝a﹣（﹣2）或﹣0.5﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣a， 解得a＝﹣1.25或a＝﹣1.75， ∴B（﹣1.25，1.25）或（﹣3.5，3.5）； ②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD， 可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且M（t，0），N（t+1，1）分别在x轴、直线y＝1上， 根据等差点定义知，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.5）的一个等差点为（﹣6，1）， ∴点N（t+1，1）位于 N1（﹣6，1）时，t取最小值， ∴t+1＝﹣6， 即t＝﹣7； 正方形上两点 （﹣2，2），（2，1）的一个等差点为（6，0）， ∴点M（t，0）位于 M4（6，0）时，t取最大值， 即t＝6； ∵正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部， ∴t≤﹣2或t+1≥2， 即t≤﹣2或t≥1， 综上，﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 答案：﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$