专题05 坐标方法的应用【五大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 坐标方法的应用【五大题型】 【题型1 用坐标表示平移】 1．（2023•海淀区校级期末）在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣2，﹣1） C．（4，﹣1） D．（﹣2，3） 2．（2023•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（5，2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣2） 3．（2022•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，若将点A向左平移可得到点B（1，2）；若将点A向上平移可得到点C（3，4），则点A的坐标是 　 　． 4．（2022•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是 　 　． 5．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点A（1，0），B（2，4），C（3，1）各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 　 　时，三个点的步数和最小，为 　 　． 6．（2022•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（0，2），C（﹣3，0），D（﹣1，﹣1），E（5，﹣3），F（4，0）．将线段AB，CD，EF沿x轴或y轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点B与点C平移后的对应点均为点O，则线段EF需先向左平移 　 　个单位长度，再向上平移 　 　个单位长度． 【题型2 坐标与图形性质】 7．（2023•西城区校级期末）已知点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴，点P的坐标是（　　） A．（2，2） B．（16，5） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5） 8．（2022•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2） 9．（2023•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）、B（b，0）、C（4﹣b，0），其中点B在点C左侧．连接AB，AC，若在AB、AC、BC所围成的区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为6，则b的取值范围是（　　） A．﹣1＜b≤0 B．﹣1≤b＜0 C．0≤b＜1 D．0＜b≤1 10．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（m，n）两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是　 　． 11．（2023•东城区校级期末）已知点A（﹣5，0），点B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12，则点C的坐标为 　 　． 12．（2023•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 　 　． 【题型3 坐标系中的面积问题】 13．（2023•海淀区校级期末）如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　 　． 14．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 　 　． 15．（2023•怀柔区校级期末）在下面的平面直角坐标系中标出点A（1，4）和点B（﹣4，﹣2），并回答下列问题： （1）点A关于y轴的对称点的坐标是C（　 　）； （2）点B关于y轴的对称点的坐标是D（　 　）； （3）四边形ACBD的面积是　 　； （4）求直线AD与两坐标轴围成的图形的面积． 16．（2023•海淀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）求△ABC的面积； （2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 【题型4 坐标系中的新定义问题】 17．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′，那么称点Q为点P的“关联点”．如果点P的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣5） C．（﹣2，1）或（﹣2，4） D．（﹣2，1）或（﹣2，﹣5） 18．（2023•海淀区校级期末）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为 　 　． 19．（2023•东城区校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为　 　； （2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，2），则点P的坐标　 　； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 20．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于不共线的三个点给出如下定义：若这三个点都落在同一个正方形的边上，且这个正方形的边分别与两条坐标轴平行（或垂直），则这个正方形边长的最小值称为这三个点的外方距． 已知点A（1，2），B（2，1），C（3，1），D（0，4）． （1）点A，B，C的外方距为 　 　； （2）以下三个点中存在外方距的是 　 　；（只填序号） ①A，B，D②A，C，D③B，C，D （3）P（m，n），若点A，B，P的外方距为3，直接写出m，n需要满足的条件． 21．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1）， ①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是　 　； ②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　； （2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 22．（2022•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P到图形W上每一个点的距离的最小值称为图形W关于点P的“密距”，记作d（P，W）．特别地，若点P与图形W有公共点，则规定d（P，W）＝0． （1）如图，A（0，2），B（﹣1，0），C（3，0）． ①直接写出线段BC关于点A的密距，即d（A，BC）＝　 　； ②点D是x轴上的一个动点，当d（D，三角形ABC）＝4时，求点D的坐标； （2）已知点Q（3，2），E（m，0），F（m+2，0）．若d（Q，EF）＝2，直接写出m的取值范围． 【题型5 坐标系中的动点问题】 23．（2023•朝阳区校级期末）平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（3，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，﹣1） 24．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D四点的坐标分别是A（﹣2，3），B（4，3），C（0，1），D（1，2），动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动．射线PC，PD与x轴分别交于点M，点N，设点P运动的时间为t秒，若以点C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则t的取值范围是　 　． 25．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（0，﹣2），B（1，4）， ①μ（A，B）的值是 　 　； ②点K在x轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　 　． （2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点M的坐标为（﹣5，0）． ①当点Q的坐标为（0，1）时，求μ（M，PQ）的值； ②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标． 26．（2023•西城区校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点． （1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 　 　； （2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标； （3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 坐标方法的应用【五大题型】 【题型1 用坐标表示平移】 1．（2023•海淀区校级期末）在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣2，﹣1） C．（4，﹣1） D．（﹣2，3） 解：点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后点的横坐标为2﹣4＝﹣2；纵坐标为1﹣2＝﹣1；即新点的坐标为（﹣2，﹣1），故选B． 2．（2023•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（5，2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣2） 解：平移后的线段A′B′如图所示，B′（﹣1，﹣2）， 答案：A． 3．（2022•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，若将点A向左平移可得到点B（1，2）；若将点A向上平移可得到点C（3，4），则点A的坐标是 　（3，2）　． 解：∵将点A向左平移可得到点B（1，2）；若将点A向上平移可得到点C（3，4）， ∴A（3，2）， 答案：（3，2）． 4．（2022•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是 　（2，﹣1）　． 解：将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，得到（2，2）， 再向下平移3个单位长度，得到A（2，﹣1）． 答案：（2，﹣1）． 5．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点A（1，0），B（2，4），C（3，1）各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 　（2，1）　时，三个点的步数和最小，为 　6　． 解：如图，点A走了2步，点B走了3步，点C走了1步，都到达点P（2，1）此时走得步数最小，为2+3+1＝6， 答案：（2，1），6． 6．（2022•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（0，2），C（﹣3，0），D（﹣1，﹣1），E（5，﹣3），F（4，0）．将线段AB，CD，EF沿x轴或y轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点B与点C平移后的对应点均为点O，则线段EF需先向左平移 　3　个单位长度，再向上平移 　2　个单位长度． 解：如图：设EF平移后的线段为E'F'， ， ∵点B与点C平移后的对应点均为点O， ∴线段AB沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为（1，2）， 线段CD沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为（2，﹣1）， ∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，E（5，﹣3），F（4，0）， ∴点E需平移到（2，﹣1），点F需平移到（1，2），5﹣3＝2，4﹣3＝1，﹣3+2＝﹣1，0+2＝2， 即线段EF需先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度． 答案：3；2． 【题型2 坐标与图形性质】 7．（2023•西城区校级期末）已知点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴，点P的坐标是（　　） A．（2，2） B．（16，5） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5） 解：∵点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴， ∴2m+4＝2，且m﹣1≠5， ∴m＝﹣1， ∴P（2，﹣2）， 答案：C． 8．（2022•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2） 解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限， ∴点C在第三象限， ∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6， ∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2）， 答案：C． 9．（2023•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）、B（b，0）、C（4﹣b，0），其中点B在点C左侧．连接AB，AC，若在AB、AC、BC所围成的区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为6，则b的取值范围是（　　） A．﹣1＜b≤0 B．﹣1≤b＜0 C．0≤b＜1 D．0＜b≤1 解：∵点B（b，0）在点C（4﹣b，0）的左边， ∴b＜4﹣b，解得：b＜2， 记边AB，AC、BC所围成的区域（含边界）为区域M，则落在区域M的横纵坐标都为整数的点个数为6个， ∵点A，B，C的坐标分别是点A（2，1）、B（b，0）、C（4﹣b，0）， ∴区域M的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点， ∴已知的6个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上， ∵点A（2，1）的横纵坐标都为整数且在区域M的边界上， ∴其他的5个都在线段BC上， 如图 ∴4≤4﹣b＜5， 解得：﹣1＜b≤0． 答案：A． 10．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（m，n）两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是　（3，1）或（﹣3，1）　． 解：∵A（﹣2，1），B（m，n）两点在平行x轴的同一直线上， ∴A和B点的纵坐标相等，n＝1， 又B到y轴的距离为3， ∴|m|＝3， 解得：m＝3或﹣3． ∴点B的坐标是（3，1）或（﹣3，1）． 答案：（3，1）或（﹣3，1）． 11．（2023•东城区校级期末）已知点A（﹣5，0），点B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12，则点C的坐标为 　（0，﹣3）或（0，3）　． 解：设点C的坐标为（0，a）， ∵点A（﹣5，0），点B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12， ∴， 解得，a＝±3， 即点C的坐标为（0，﹣3）或（0，3）， 答案：（0，﹣3）或（0，3）． 12．（2023•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 　（4，0）　． 解：如图，过A点作AD于垂直于x轴， ∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△OAD中， OA＝2OD＝2×1＝2， 在Rt△OAB中， OB＝2OA＝2×2＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 答案：（4，0）． 【题型3 坐标系中的面积问题】 13．（2023•海淀区校级期末）如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　（3，0）或（9，0）　． 解：如图，设P点坐标为（x，0）， 根据题意得•4•|6﹣x|＝6， 解得x＝3或9， 所以P点坐标为（3，0）或（9，0）． 答案：（3，0）或（9，0）． 14．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 　3　． 解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3， 答案：3． 15．（2023•怀柔区校级期末）在下面的平面直角坐标系中标出点A（1，4）和点B（﹣4，﹣2），并回答下列问题： （1）点A关于y轴的对称点的坐标是C（　（﹣1，4）　）； （2）点B关于y轴的对称点的坐标是D（　4，﹣2　）； （3）四边形ACBD的面积是　30　； （4）求直线AD与两坐标轴围成的图形的面积． 解：（1）点A关于y轴的对称点的坐标是C（﹣1，4）； （2）点B关于y轴的对称点的坐标是D（4，﹣2）； （3）四边形ACBD的面积是（AC+BD）×（4+2）＝3×（2+8）＝30； （4）设AD与x轴交于点F，延长DA交y轴于点E，那么S△OEF3×6＝9． 16．（2023•海淀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）求△ABC的面积； （2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E． S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD ＝3×42×41×22×3 ＝12﹣4﹣1﹣3 ＝4． （2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|． ∵△ABP与△ABC的面积相等， ∴1×|x﹣2|＝4． 解得：x＝10或x＝﹣6． 所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）． 【题型4 坐标系中的新定义问题】 17．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′，那么称点Q为点P的“关联点”．如果点P的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣5） C．（﹣2，1）或（﹣2，4） D．（﹣2，1）或（﹣2，﹣5） 解：∵﹣2＜3，根据关联点的定义， ∴y′＝3﹣（﹣2）＝5， 点（﹣2，3）的“关联点”的坐标（﹣2，5）； ∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3）， ∴y′＝y﹣x＝3或x﹣y＝3， 即y﹣（﹣2）＝3或（﹣2）﹣y＝3， 解得y＝1或y＝﹣5， ∴点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）． 答案：D． 18．（2023•海淀区校级期末）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，例如图①中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．如图②，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，则t的值为 　﹣1或7　． 解：∵M（﹣2，3），N（1，﹣1）， ∴点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的折线距离为 d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7， ∵P（3，﹣4），Q（t，2），且d（P，Q）＝10， ∴|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10， 解得：t＝﹣1或7． 答案：﹣1或7． 19．（2023•东城区校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为　（11，4）　； （2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，2），则点P的坐标　（0，2）　； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 解：（1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣1+6×2，﹣1×2+6），即（11，4）， 答案：（11，4）； （2）设点P的坐标为（x、y）， 由题意知， 解得：， 即点P的坐标为（0，2）， 答案：（0，2）； （3）∵点P在x轴的正半轴上， ∴b＝0，a＞0． ∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka） ∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|． ∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a， ∴|ka|＝2a，即|k|＝2， ∴k＝±2． 20．（2023•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于不共线的三个点给出如下定义：若这三个点都落在同一个正方形的边上，且这个正方形的边分别与两条坐标轴平行（或垂直），则这个正方形边长的最小值称为这三个点的外方距． 已知点A（1，2），B（2，1），C（3，1），D（0，4）． （1）点A，B，C的外方距为 　2　； （2）以下三个点中存在外方距的是 　③　；（只填序号） ①A，B，D②A，C，D③B，C，D （3）P（m，n），若点A，B，P的外方距为3，直接写出m，n需要满足的条件． 解： （1）如图所示，边长为2的正方形符合题意， 故点A，B，C的外方距为2， 答案：2； （2）如图所示，只有③B，C，D存在外方距，外方距为3， 答案：③； （3）点A，B，P的外方距为3， 当m＝4时，1≤n≤4， 当n＝4时，1≤m≤4， 当m＝﹣1时，﹣1≤n≤2， 当n＝﹣1时，﹣1≤m≤2； 综上可知m，n需要满足的条件是： 当m＝4时，1≤n≤4； 当n＝4时，1≤m≤4； 当m＝﹣1时，﹣1≤n≤2； 当n＝﹣1时，﹣1≤m≤2． 【题型5 坐标系中的动点问题】 23．（2023•朝阳区校级期末）平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（3，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，﹣1） 解：由垂线段最短可知，当BC⊥直线a时，线段BC的长度最短， 如图，过点B作BC⊥直线a于点C， ∵过点A（﹣1，4）的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点， ∴点C的纵坐标为4， ∵BC⊥直线a，直线a∥x轴， ∴点C的横坐标为3， ∴C（3，4）． 答案：C． 24．（2023•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D四点的坐标分别是A（﹣2，3），B（4，3），C（0，1），D（1，2），动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动．射线PC，PD与x轴分别交于点M，点N，设点P运动的时间为t秒，若以点C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则t的取值范围是　0≤t≤6且t≠4　． 解：∵A（﹣2，3），B（4，3）， ∴AB＝4+2＝6， ∴0≤t≤6， ∵点P运动到P′时，点P、C、D共线，点C，D，M，N为顶点不能围成一个四边形， ∴t≠4， ∴t的取值范围为0≤t≤6且t≠4． 答案：0≤t≤6且t≠4． 25．（2023•西城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（0，﹣2），B（1，4）， ①μ（A，B）的值是 　5　； ②点K在x轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　（﹣3，0）或（5，0）　． （2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点M的坐标为（﹣5，0）． ①当点Q的坐标为（0，1）时，求μ（M，PQ）的值； ②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标． 解：（1）∵A（0，﹣2），B（1，4）， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣1|＝1，dy＝|y1﹣y2|＝|﹣2﹣4|＝6， 则μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣6|＝5， 故答案是5． （2）∵B（1，4），点K在x轴上，设K（x，0）， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|1﹣x|，dy＝|y1﹣y2|＝|4﹣0|＝4， ∵μ（B，K）＝0， ∴μ（B，K））＝|dx﹣dy|＝||1﹣x|﹣4|＝0， ∴1﹣x＝4或1﹣x＝﹣4，解得，x＝﹣3或x＝5， ∴K的坐标是 （﹣3，0）或（5，0）． 故答案是（﹣3，0）或（5，0）． （2）①∵点P、Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点Q的坐标为（0，1）， ∴点P的坐标为（0，7）， 设点T（0，t）为线段PQ上任意一点，则1≤t≤7； ∵点M的坐标为（﹣5，0）， ∴dx＝5，dy＝t， ∴μ（M，T）＝|dx﹣dy|＝5﹣t； 由|1≤t≤7，可得﹣2≤5﹣t≤4； ∴0≤μ（M，T）≤4， ∴μ（M，PQ）的最大值是4， ∴μ（M，PQ）＝4． ②∵μ（M，PQ）＝μ（M，P）或μ（M，Q）， 设点Q（0，t），则P（0，t+6）， ∴μ（M，Q）＝|5﹣|t||，μ（M，P）＝|5﹣|t+6||， ∵当μ（M，P）＝μ（M，Q）时，μ（M，PQ）有最小值， 即|5﹣|t||＝|5﹣|t+6||时，μ（M，PQ）有最小值， ∴t＝2或﹣8或﹣3（﹣3舍去），则μ（M，PQ）有最小值为3， ∴点P的坐标为（0，8）或（0，﹣2）， ∴μ（M，PQ）的最小值是3，此时点P的坐标是（0，8）或（0，﹣2）． 26．（2023•西城区校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P（3，﹣2）的一对伴随点． （1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 　（5，﹣3），（﹣3，5）　； （2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重合，求点C的坐标； （3）已知点E（﹣3，n），F（﹣3，n+1），点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围 　﹣3≤n≤2　． 解：（1）由题意得，a＝x+y＝4+1＝5， b＝﹣x+y＝﹣4+1＝﹣3， ∴点A的一对伴随点坐标为：（5，﹣3），（﹣3，5）； （2）由题意得，C′（2m﹣1，m+1）， 此时，a＝2m﹣1+m+1＝3m， b＝﹣2m+1+m+1＝﹣m+2， 则C′点的伴随点为（﹣m+2，3m）和（3m，﹣m+2）， ∴这两个伴随点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴﹣m+2＝3m，解得，， ∴， ∴C点坐标为； （3）∵D为线段EF上的动点， 设D点坐标为（﹣3，t）（n≤t≤n+1）， ∴D点的伴随点为：a＝﹣3+t，b＝3+t，即（﹣3+t，3+t），（3+t，﹣3+t）， ∴G（﹣3+t，3+t），H（3+t，﹣3+t）， ∵线段GH与x轴总有公共点，t+3＞t﹣3， ∴，解得：﹣3≤t≤3， 由n≤t≤n+1， 可得，，解得，﹣3≤n≤2， ∴n的取值范围为：﹣3≤n≤2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$