第13讲 函数的应用（一）-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第13讲 函数的应用（一） 【人教A版2019】 ·模块一 一次函数、二次函数模型的应用 ·模块二 幂函数模型的应用 ·模块三 分段函数模型的应用 ·模块四 “对勾”函数模型的应用 ·模块五 课后作业 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【考点1 一次函数模型的应用】 【例1.1】（2024高二下·福建·学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ） A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元 【例1.2】（23-24高一上·山东济宁·期中）等腰三角形的周长是20，底边长是一腰长的函数，则等于 A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高三下·四川巴中·期末）从盛满20L纯酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填满，这样继续下去，若倒第k次时共倒出纯酒精xL，倒第次时共倒出纯酒精L，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2） C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2） 【考点2 二次函数模型的应用】 【例2.1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 【变式2.1】（2024高一·全国·课后作业）某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为吨（）．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【变式2.2】（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【考点1 幂函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一·全国·课后作业）在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（    ） A．60安 B．240安 C．75安 D．135安 【变式1.1】（23-24高一·全国·课后作业）上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为，设2014年新建经济住房面积为，则关于的函数是（ ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【考点1 分段函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，生产（百辆）新能源汽车，还需另投入成本万元，且.由市场调研，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年该企业生产新能源汽车的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量-成本） (2)2022年产量为多少百辆时，该企业生产新能源汽车所获利润最大？并求出最大利润. 【例1.2】（23-24高一上·山东临沂·期中）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x千件时，需另投入成本（万元）．每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力我市“运河五号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)根据上表中的数据研究发现，函数模型适合描述日销售量与时间x的变化关系，求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），函数在（1）的情况下，求的最小值和最大值. 【变式1.2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义； (2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1 “对勾”函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高一上·云南昭通·期中）某品牌电动汽车在某路段以每小时千米的速度匀速行驶千米.该路段限速，（单位：千米/时）.充电费为元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮䏩磨损费为元/千米，道路通行费为元/千米. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当行车速度为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用为多少? 【例1.2】（2024高一上·全国·专题练习）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成：可变成本是速度（）的平方的倍，固定成本为元． (1)将全程运输成本（元）表示为速度（）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？并求出全程运输成本的最小值． 【变式1.1】（23-24高一上·安徽安庆·期中）长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有 亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为 亩/天，采摘要求在 天内（包括7天和10天）完成，人工成本为 千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为 千元/天. （提示：采摘成本 人工成本 固定成本） (1)将头茬草莓采摘成本 （千元）表示为采摘的平均速度 （亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域； (2)为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本. 【变式1.2】（23-24高一上·上海·阶段练习）某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式现对小白鼠时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． (1)写出4小时内，该小白鼠血液中药物浓度与时间满足的函数关系式； (2)求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值． 【考点2 函数模型的综合应用】 【例2.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. (1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ (2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【例2.2】（23-24高一上·河南·期中）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件. (1)求的解析式； (2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小. 【变式2.1】（23-24高一上·江西南昌·期中）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元 (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【变式2.2】（23-24高一上·山东济宁·期中）2023年10月13日，中国花卉人的盛会—CFIC2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花·惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游.某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵. (1)据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？ (2)为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入（）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为元，预估单棵种植成本为元，其销售量的函数关系近似为万棵，另每年需额外支出固定成本万元，试问：该企业投入多少万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润多少万元（利润=销售额-成本-技改费和宣传费）. 模块五 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（    ） A．15 B．16 C．23 D．28 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（    ） A．793200元 B．745800元 C．739200元 D．758400元 5．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下: 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ 超过18m3的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（　　） A．11 B．21 C．22.5 D．33 6．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知一台擀面机共有对减薄率均在的轧辊（如图），所有轧辊周长均为，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（    ） （减薄率） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 8．（23-24高三上·四川成都·期中）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（    ） A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 二、多选题 9．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 10．（23-24高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可 C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加0.7元 三、填空题 11．（2024高一上·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 12．（23-24高一上·上海徐汇·期末）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策． （1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠； （2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠； （3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠． 该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3600元和5200元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元． 四、解答题 13．（23-24高一·全国·课堂例题）比较和在上增长的快慢． 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 15．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 16．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的应用（一） 【人教A版2019】 ·模块一 一次函数、二次函数模型的应用 ·模块二 幂函数模型的应用 ·模块三 分段函数模型的应用 ·模块四 “对勾”函数模型的应用 ·模块五 课后作业 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【考点1 一次函数模型的应用】 【例1.1】（2024高二下·福建·学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ） A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元 【解题思路】利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入． 【解答过程】设一次函数为：，将和代入得：， 解得， 故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为， 令，可得元， 故选：C. 【例1.2】（23-24高一上·山东济宁·期中）等腰三角形的周长是20，底边长是一腰长的函数，则等于 A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【解答过程】解：∵2x+y=20， ∴y=20-2x，即x＜10， ∵两边之和大于第三边， ∴x＞5， 故选C． 【变式1.1】（23-24高三下·四川巴中·期末）从盛满20L纯酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填满，这样继续下去，若倒第k次时共倒出纯酒精xL，倒第次时共倒出纯酒精L，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度，根据题意可建立x与的关系式，进而得解． 【解答过程】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度， 第次倒时，容器里还剩L纯酒精，所以酒精的浓度为， 而又倒出1L混合溶液，故倒出的纯酒精为L， 则，则． 故选：B． 【变式1.2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2） C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2） 【解题思路】根据收支差额的计算公式可得正确的判断. 【解答过程】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）； 对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）. 故选：B. 【考点2 二次函数模型的应用】 【例2.1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可． 【解答过程】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是， 面积， 墙长，所以， 解得， 对称轴方程， 抛物线开口向下，，函数在上递减， 当时，最大为（）， 故选：C． 【例2.2】（23-24高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 【解题思路】设BC长为x米，利用面积公式求出菜园面积，将二次函数的解析式化成顶点式，结合图像开口方向以及x的取值范围即可确定面积的最大值． 【解答过程】   设BC长为x米，∴， ∴由矩形的面积公式得：， ∴y与x的函数关系式为； ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为平方米． 故选：A. 【变式2.1】（2024高一·全国·课后作业）某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为吨（）．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【解题思路】设蓄水池中的水量为，由题可得，，设，，得出，令，解出的范围，再得出的范围，即可得出答案． 【解答过程】设蓄水池中的水量为，则，， 设，， 则， 令，解得， 所以， 所以出现供水紧张的时长约为小时， 故选：C． 【变式2.2】（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【解题思路】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【解答过程】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【考点1 幂函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解. 【解答过程】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元， 因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍， 所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为， 故选：A. 【例1.2】（23-24高一·全国·课后作业）在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（    ） A．60安 B．240安 C．75安 D．135安 【解题思路】根据题意，设出函数解析式，待定系数求得解析式，再代值计算即可. 【解答过程】设比例系数为k，则电流强度I=kr3， 由已知可得当r=4时，I=320， 故有320=43k，解得k==5， 所以I=5r3， 则当r=3时，I=5×33=135(安). 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一·全国·课后作业）上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为，设2014年新建经济住房面积为，则关于的函数是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案． 【解答过程】由题意知 2012年为 2013年为 2014年为 故选B. 【变式1.2】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【考点1 分段函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，生产（百辆）新能源汽车，还需另投入成本万元，且.由市场调研，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年该企业生产新能源汽车的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量-成本） (2)2022年产量为多少百辆时，该企业生产新能源汽车所获利润最大？并求出最大利润. 【解题思路】（1）根据利润与产量、成本之间的关系，写出分段函数的解析式即可； （2）分别根据二次函数、均值不等式求函数在每一段的最值，比较大小即可得解. 【解答过程】（1）当时， 当时， （2）当时， 取得最大值，最大值为1250 当时， 当且仅当等号成立， 所以当时，有最大值1600. 综上所述：，取得最大值，最大值为1600，即2022年生产量为50百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为1600万元. 【例1.2】（23-24高一上·山东临沂·期中）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x千件时，需另投入成本（万元）．每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【解题思路】(1)分段求出年利润即可求解； (2)对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【解答过程】（1）解：（1）当时，； 当时，． 所以 （2）（2）当时，． 当时，L取得最大值，且最大值为950． 当时， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元． 【变式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力我市“运河五号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)根据上表中的数据研究发现，函数模型适合描述日销售量与时间x的变化关系，求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），函数在（1）的情况下，求的最小值和最大值. 【解题思路】（1）利用表格提供数据求得，由此求得. （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最值. 【解答过程】（1）根据表格数据可知，， ，解得， 所以，. （2）， 即，，     当时，， 当且仅当时等号成立， 且当时，，由对勾函数的单调性可知， 当，单调递减，当时，单调递增， 其中； 当时，单调递减， 最小值为， 最大值为， ，所以的最小值为元， ，所以的最大值为元. 【变式1.2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一.在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义； (2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 【解题思路】（1）根据题意求得，从而说明其实际意义； （2）根据题意，分类讨论的取值范围，利用基本不等式与反比例函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以， 实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35. （2）因为， 所以当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值38； 当时，，该函数在区间上单调递减， 则当时，取得最大值28.4； 综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元. 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1 “对勾”函数模型的应用】 【例1.1】（23-24高一上·云南昭通·期中）某品牌电动汽车在某路段以每小时千米的速度匀速行驶千米.该路段限速，（单位：千米/时）.充电费为元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮䏩磨损费为元/千米，道路通行费为元/千米. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当行车速度为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用为多少? 【解题思路】（1）根据各种费用求法可得总费用； （2）根据函数的单调性可得最值. 【解答过程】（1）由已知得 ， 所以这次行车总费用关于的表达式为； （2）由函数在时单调递减， 所以当时，取最小值， 当行车速度时，这次行车的总费用最低，为元. 【例1.2】（2024高一上·全国·专题练习）甲、乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成：可变成本是速度（）的平方的倍，固定成本为元． (1)将全程运输成本（元）表示为速度（）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？并求出全程运输成本的最小值． 【解题思路】（1）直接根据题干信息列出表达式即可； （2）利用基本不等式以及对勾函数的性质可求最小值. 【解答过程】（1）由题意得可变成本为，固定成本为a元，所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得， 当且仅，即时取等号， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小． 【变式1.1】（23-24高一上·安徽安庆·期中）长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有 亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为 亩/天，采摘要求在 天内（包括7天和10天）完成，人工成本为 千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为 千元/天. （提示：采摘成本 人工成本 固定成本） (1)将头茬草莓采摘成本 （千元）表示为采摘的平均速度 （亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域； (2)为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本. 【解题思路】（1）由题知，求得函数的解析式为， 结合，求得函数的定义域； （2）由（1），结合基本不等式，根据等号成立的的条件，得到函数单调区间，因为，分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）解：由题知，所求函数为 ， 又由，可得，即该函数的定义域为 . （2）解：由（1）得 当且仅当，即时取等号， 所以函数 在上单调递减，在 )递增， 又由， 所以，当，即 时，头在草莓采摘的平均速度约为50亩/天， 采摘成本最低，最低成本为 （千元）； 当，即，头茬草莓采摘的平均速度约为 /天， 采摘成本最低，最低成本为 （千元）， 当时，即时，头草莓采摘的平均速度约为 /天，采摘成本最低，最低成本为 （千元）. 【变式1.2】（23-24高一上·上海·阶段练习）某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式现对小白鼠时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． (1)写出4小时内，该小白鼠血液中药物浓度与时间满足的函数关系式； (2)求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值． 【解题思路】（1）根据小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和求解； （2）利用分段函数的性质求解. 【解答过程】（1）由题意得：； （2）当时，令，则，则； 当时，令，由对勾函数的性质得：n在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，则取得最大值6， 故在2小时时，小白鼠血液中药物的浓度最高，最大值为6. 【考点2 函数模型的综合应用】 【例2.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. (1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ (2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【解题思路】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可. （2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值. 【解答过程】（1）因为一次投放4个单位的净化剂， 所以水中释放的浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天. （2）设从第一次投放起，经过天后浓度为． 因为，则，， 所以，即，令，， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2. 【例2.2】（23-24高一上·河南·期中）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件. (1)求的解析式； (2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小. 【解题思路】（1）由题可知，求出即可得解； （2）先求出每件该产品的销售利润，再根据日销售利润即可求出的解析式，再根据基本不等式和函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）由题可知，解得， 所以（，）； （2）由题可得每件该产品的销售利润为， 所以第天的日销售利润， 即， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上为减函数， 所以此时， 综上所述，当时，取得最小值714， 即开幕式后的第30天的日销售利润最小. 【变式2.1】（23-24高一上·江西南昌·期中）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元 (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【解题思路】（1）由已知，分段代入后整理得答案； （2）分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论． 【解答过程】（1）由已知， 又， 所以， 整理得. （2）当时，， 当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为 综上，所以的最大值为390 故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元． 【变式2.2】（23-24高一上·山东济宁·期中）2023年10月13日，中国花卉人的盛会—CFIC2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花·惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游.某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵. (1)据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？ (2)为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入（）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为元，预估单棵种植成本为元，其销售量的函数关系近似为万棵，另每年需额外支出固定成本万元，试问：该企业投入多少万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润多少万元（利润=销售额-成本-技改费和宣传费）. 【解题思路】（1）根据条件得到售价提高后的总收入，再建立不等式求解即可； （2）先根据利润公式得到等式，再根据均值不等式取到最大值，最后验证能否取到即可. 【解答过程】（1）依题意，设单棵花卉售价为（）元， 则销售量为万棵， 从而有，即，解得， 所以单棵花卉的售价最多为（元）. （2）依题意，设企业的年利润为万元， 则， 即 ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即（万元）， 所以当时，年利润有最大值112.2万元. 即当该企业投入3万元技改费和宣传费时，可获得最高利润112.2万元. 模块五 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（    ） 每户每年用气量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分段讨论列方程求解. 【解答过程】该户居民去年的用气量为 ，缴纳的燃气费为元， 当时，，令，解得，不合题意； 当时，， 令，解得，符合题意； 当时，， 令，解得，不合题意， 综上，. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的纵截距表示成本，倾斜角与门票价格的关系判断. 【解答过程】对于A，当时，虚线值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误； 对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误； 对于C，当时， 值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误； 对于D，当时，虚线值变大，说明成本见减小，又因为虚线的倾斜角变大， 说明提高了门票的价格，符合题意，D正确， 故选:D. 3．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（    ） A．15 B．16 C．23 D．28 【解题思路】依题意得到，解二次不等式即可得解. 【解答过程】依题意，分流前每年创造的产值为（万元）， 分流人后，每年创造的产值为， 则，解得， 又，所以的最大值为，即最多能分流的人数是. 故选：C. 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（    ） A．793200元 B．745800元 C．739200元 D．758400元 【解题思路】根据已知条件列式，再应用基本不等式求解即可. 【解答过程】设蓄水池底面长为米，宽为米，总造价为元，则，得. 根据题意可得. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元. 故选：D. 5．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下: 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ 超过18m3的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（　　） A．11 B．21 C．22.5 D．33 【解题思路】判断用水量超过18m3 ，列方程解得答案. 【解答过程】若用水量不超过12m3 ，交纳的水费最多为，不成立； 若用水量不超过18m3 ，交纳的水费最多为，不成立； 故用水量超过18m3 ，设用水量为，， 则，解得. 故选：B. 6．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知一台擀面机共有对减薄率均在的轧辊（如图），所有轧辊周长均为，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（    ） （减薄率） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，第对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，宽度不变，利用除以可得结果. 【解答过程】由图可知，第对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等， 因宽度不变，在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为， 故选：C. 7．（23-24高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 8．（23-24高三上·四川成都·期中）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（    ） A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 【解题思路】设仓库到车站的距离为x km，由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0，根据x=10的费用，求出k1、k2，再利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设仓库到车站的距离为x km， 由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0． 由当x=10时，两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1=20，k2=， 故y1+y2=x≥2=8， 当且仅当x，即x=5时取等号， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 【解题思路】确定得到A错误，根据二次函数性质计算最值得到B正确，考虑利润为0时得到，解得C正确，D错误，得到答案. 【解答过程】对选项A： ，错误； 对选项B：， 故当时，有最大值为，正确； 对选项C：当时，销售收入最多为， 设最大产量为，取，解得，正确； 对选项D：当产量在为4800台时，利润为0，错误； 故选：BC. 10．（23-24高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可 C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加0.7元 【解题思路】根据函数图象可知当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱；打车距离为时，甲､乙方案费用相等；由图象可知打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多，且甲方案行程大于每增加1公里费用增加1元. 【解答过程】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方， 即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误； 对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲､乙方案均可，即B正确； 对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元）， 乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确； 对于D，由图可知，甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 11．（2024高一上·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 9.6 元. 【解题思路】首先根据题中的关系建立模型，然后根据已知数据求解模型中的参数，再得结论. 【解答过程】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 故答案为：9.6. 12．（23-24高一上·上海徐汇·期末）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策． （1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠； （2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠； （3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠． 该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3600元和5200元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元． 【解题思路】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱. 【解答过程】解：因为且，所以实际付款元对应的原价为元， 实际付款元对应的原价大于元， 设实际付款元对应的原价为元， 所以，解得， 所以实际付款元对应的原价为元， 所以两次付款的原价之和为元， 若按方案二付款，则实际付款为：元， 所以节省的钱为元， 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一·全国·课堂例题）比较和在上增长的快慢． 【解题思路】作出两个函数值的商，取大于1的正数并取定x的范围，再利用指数运算及不等式性质比较大小即可. 【解答过程】当时，有，因而有， 于是对任意正数，当时， 有， 这表明无论多大，当大到一定程度，就会比的倍还大， 所以当大到一定程度，在上比在上增长快． 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【解题思路】（1）当时，求得，由题意中变量之间的关系列出函数即可. （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【解答过程】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此 ， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 15．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【解题思路】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式. （2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可. 【解答过程】（1）依题意，，又， 所以. （2）当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， 所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 16．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【解题思路】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【解答过程】（1）①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. （2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$