专题11 一次函数与方程、不等式7种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题11 一次函数与方程、不等式 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·云南临沧·期末）函数、为常数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南·期末）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是(    )    A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·云南文山·期末）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，那么不等式kx＋b≤0的解是（    ）． A． B． C． D． 5．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，函数和的图象相交于点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 根掘两条直线的交点求不等式的解集 6．（21-22八年级下·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．    9．（20-21八年级下·云南玉溪·期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是 ．        10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象经过点，． (1)结合函数图象，直接写出的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求面积． 11．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知直线经过点，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 两直线的交点与二元次方程组的解 12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·云南文山·期末）若关于 的二元一次方程组 的解是 ，则直线与 的交点坐标是 ． 15．（22-23八年级下·云南保山·期末）如图，已知直线与直线．    (1)求两直线与轴的交点的坐标； (2)求的面积． 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，直线与相交于点P，直线分别交x轴、y轴于点C、D；直线分别交x轴、y轴于点A、B． (1)求两直线交点P的坐标； (2)连接BC，求△BCD的面积． 分配方案问题(一次函数的实际应用) 17．（22-23八年级下·云南临沧·期末）某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练，每个篮球的单价比每个足球的单价多30元，用900元购买足球的数量是用720元购买篮球数量的2倍． (1)求篮球和足球的单价各是多少？ (2)根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，最少费用为多少元？ 18．（22-23八年级下·云南·期末）学校为奖励在全县联合考试中成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品6件和乙种奖品5件需花费390元，购买甲种奖品3件和乙种奖品7件需花费330元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共180件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最少？ 19．（22-23八年级下·云南德宏·期末）为保证学生每天一小时体育运动，某班计划购买一批体育用品，用于开展“阳光体育动起来”为主题的课外运动．经调查，了解到甲、乙两个体育用品店的优惠活动如下，甲店：所有体育用品按原价8折出售；乙店：一次购买体育用品总额不超过元的按原价出售，超过元的部分打6折． (1)以（单位：元）表示体育用品原价，（单位：元）表示购买总额，分别就两家体育用品店的优惠方式写出关于的函数解析式； (2)如何选择这两家体育用品店去购买体育用品更省钱？ 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）某市A、B两个仓库分别有救灾物资200吨和300吨，2021年5月18日起，云南大理州漾濞县已连续发生多次地震，最高震级为5月21日发生的6.4级地震，为援助灾区，现需将这些物资全部运往甲，乙两个受灾村．已知甲村需救灾物资240吨，乙村需救灾物资260吨，从A仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨15元和24元．设A仓库运往甲村救灾物资吨，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 仓库 甲村（吨） 乙村（吨） A ① B ② ③ ①＝______；②＝______；③＝______． （2）设总运费为（元），求出（元）与（吨）的函数关系式． （3）求怎么调运可使总运费最少？最少运费为多少元？ 最大利润问题(一次函数的实际应用) 21．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）红星超市销售每台进价分别是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机，下表是近两周的销售情况． 销售时间 销售型号 收入 Ⅰ型 Ⅱ型 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 (1)求Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机的销售单价． (2)若红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台，请设计出能取得最大利润的购进方案，最大利润W是多少？ 23．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元． (1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ (2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？ 24．（22-23八年级下·云南大理·期末）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等． (1)求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？ (2)已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？最大利润为多少元？ 25．（22-23八年级下·云南红河·期末）为了做好校园消毒杀菌，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面积进行消毒杀菌，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面积进行消毒杀菌．设购买了A种消毒液x桶，在现有资金不超过5200元的情况下，如何购买消毒液，才能使消毒杀菌的面积S（单位：平方米）最大，并求出最大的消毒杀菌面积． 几何问题(一次函数的实际应用) 26．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 27．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，一次函数的图象和正比例函数的图象平行，直线过点，且分别与x轴和y轴交于点A和点B．    (1)求一次函数的解析式． (2)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (3)在正比例函数的图象上是否存在一点P，使得以A，B，O，P四点构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 29．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点的坐标； (2)是轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)是轴上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 30．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为．    (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 其他问题(一次函数的实际应用) 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数在次含和，选择哪种卡消费方式比较合算？ 32．（22-23八年级下·云南昆明·期末）年月日，云南人桂海潮乘坐神舟号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想！云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共个两种模型均需购买，要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的倍．通过市场调研，已知火箭模型每个元，空间站模型每个元．设购买火箭模型个，购买总费用为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用． 33．（22-23八年级下·云南红河·期末）某水果销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 下图中的射线分别表示该水果销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月水果销售量（单位：千克）的函数关系． (1)分别求与的函数解析式（解析式也称表达式）． (2)请根据函数图象帮助该公司销售人员小张选择哪个方案每月能得到更高的工资？ 34．（22-23八年级下·云南红河·期末）2023年4月23日是第二十八个“世界读书日”，某市甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价的7折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设x（单位：元）表示标价的总额，y（单位：元）表示应支付金额 (1)根据两家书店的优惠方式，写出，关于x的函数解析式； (2)“世界读书日”这一天，当购书费用超过100元时，去哪一家书店购书更省钱？ 35．（22-23八年级下·云南保山·期末）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图像为折线，如图．    (1)当时，求与之间的函数解析式； (2)在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等? 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（  ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数值随自变量的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象的交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，已知直线经过点和点，直线经过点，则关于的不等式的解集是（　　）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·云南昆明·期末）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100km外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．甲出发2h后两人第一次相遇 B．甲的速度是20km/h C．甲、乙同时到达B地 D．乙出发或时，甲、乙两人相距20km 6．（22-23八年级下·云南红河·期末）泸西县某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，其完成的绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示，试问绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是（    ）      A．降低 B．提高 C．不变 D．不确定 7．（20-21八年级下·云南丽江·期末）一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 8．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 9．（19-20八年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴交于点．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 10．（21-22八年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点B（m，2），直线与轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 11．（20-21八年级下·云南大理·期末）已知直线经过点， （1）求直线的解析式 （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 12．（21-22八年级下·云南西双版纳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 13．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元． (1)求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润； (2)该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包个，本次购进的200个书包全部出售的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息： 书本类别 A类 B类 进价（单位：元） 18 12 备注 用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本． (1)陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价； (2)为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变．此时书店应如何进货才能获得最大利润？ 15．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．    (1)求点B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若点在的内部，直接写出m的取值范围． 16．（22-23八年级下·云南昆明·期末）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息： A B 进价（元/件） 500 100 售价（元/件） 650 150 设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数与方程、不等式 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据平移的规律得到一次函数的图象与轴的交点，利用数形结合得出结论． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位得到， 一次函数的图象交轴于点， 函数的图象交轴于点， 由函数图象可知，当时函数的图象在轴的上方， 关于的不等式的解集是． 故选：B． 2．（22-23八年级下·云南临沧·期末）函数、为常数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象与x轴的位置关系，即可求解不等式． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，直线在轴上方包含轴， 不等式的解集为． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 3．（22-23八年级下·云南·期末）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数与不等式的关系，将转化为，再通过图象判断其所对应的x的取值范围，得出答案． 【详解】解：∵且， ∴， 当时，由图象判断函数位于x轴的上方，此时应满足， ∴， 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系，正确判断关系合理运用图象是解题的关键． 4．（21-22八年级下·云南文山·期末）一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，那么不等式kx＋b≤0的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图象可以得到该函数与x轴的交点和y随x的增大如何变换，然后就可以写出不等式kx+b≤0的解集． 【详解】解：由图象可得， 一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为（﹣2，0）， 直线从左往右上升，即y随x的增大而增大， ∴不等式kx+b≤0的解集是x≤﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合观察图象进行解答是解题的关键． 5．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，函数和的图象相交于点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数图象，找出直线不在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当x≥2时，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 根掘两条直线的交点求不等式的解集 6．（21-22八年级下·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：由图可得：不等式的解集为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 7．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．    【答案】/ 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：直线与直线的交点为， 由图象可得：关于的不等式的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，采用数形结合的方法是解此题的关键． 9．（20-21八年级下·云南玉溪·期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是 ．        【答案】 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式． 10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象经过点，． (1)结合函数图象，直接写出的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）观察图象写出函数值大于时自变量的取值范围即可； （2）将点，的坐标分别代入，利用待定系数法即可解决问题； （3）设一次函数的图象与轴交点为，由一次函数的解析式求得的坐标，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：观察图象可知：关于的不等式的解集为； （2）将点，的坐标分别代入中， 得， 解得， 故一次函数的解析式； （3）设一次函数的图象与轴交点为， 令，则，解得， ， ． 11．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知直线经过点，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点 (3)不等式的解集为 【分析】（1）把点，代入，再建立方程组解题即可； （2）联立，再解方程组即可； （3）把不等式化为，再结合图象可得答案． 【详解】（1）把点，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为： （2）∵直线与直线相交于点C， ∴， 解得， ∴点； （3）关于x的不等式可化为， 根据图象可得不等式的解集为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解两直线的交点坐标，利用图象法求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 两直线的交点与二元次方程组的解 12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：把代入得，解得， 所以点坐标为， 所以关于，的二元一次方程组的解是， 故选：． 13．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数的交点求解二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点是对应二元一次方程组的解，据此求解即可. 【详解】解：由图像可得，函数和的图象交于点P的坐标为， 则二元一次方程组的解为， 故选：B 14．（23-24八年级上·云南文山·期末）若关于 的二元一次方程组 的解是 ，则直线与 的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点的横纵坐标即为两直线对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵二元一次方程组 的解是 ， ∴直线与 的交点坐标是， 故答案为：． 15．（22-23八年级下·云南保山·期末）如图，已知直线与直线．    (1)求两直线与轴的交点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）把分别代入直线与直线，即可求解； （2）联立，求出点C的坐标，再根据，求出的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）当时，，， ∴； （2）联立，解得， 即， ∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一次函数图象与y轴的交点问题，直线的交点问题，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，直线与相交于点P，直线分别交x轴、y轴于点C、D；直线分别交x轴、y轴于点A、B． (1)求两直线交点P的坐标； (2)连接BC，求△BCD的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接联立两条直线解析式即可求解； （2）分别得出点B、C、D的坐标，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， ∴； （2）解：把x=0代入直线得：， 即， 把x=0代入直线得：， 即， 把y=0代入直线得：， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 分配方案问题(一次函数的实际应用) 17．（22-23八年级下·云南临沧·期末）某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练，每个篮球的单价比每个足球的单价多30元，用900元购买足球的数量是用720元购买篮球数量的2倍． (1)求篮球和足球的单价各是多少？ (2)根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，最少费用为多少元？ 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是50元 (2)费用最少为5800元 【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，根据用900元购买足球的数量是用720元购买篮球数量的2倍列出方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买个足球，购买费用为w元，根据总费用＝购买篮球和足球费用的和列出函数解析式，再根据购买足球数量不超过篮球数量的，求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是50元； （2）解：设学校购买m个篮球，则购买足球个，购买总费用为w元， 则， ∵购买足球数量不超过篮球数量的， ∴， 解得， ∵， ∴当时，w有最小值为 此时， 答：社团购买60个篮球，20个足球费用最少，最少费用为5800元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式． 18．（22-23八年级下·云南·期末）学校为奖励在全县联合考试中成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品6件和乙种奖品5件需花费390元，购买甲种奖品3件和乙种奖品7件需花费330元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共180件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲奖品的单价为40元，乙奖品的单价为30元 (2)当学校购买60件甲奖品，120件乙奖品时，总花费最少，最小费用为6000元 【分析】（1）设甲奖品的单价为x元，乙奖品的单价为y元，根据题意，列出方程组求解即可； （2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为w元，先根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再求出总费用关于m的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：设甲奖品的单价为x元，乙奖品的单价为y元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲奖品的单价为40元，乙奖品的单价为30元； （2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为w元，依题意可得： ， 解得：， ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，， （元）， 答：当学校购买60件甲奖品，120件乙奖品时，总花费最少，最小费用为6000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于m的一次函数关系式． 19．（22-23八年级下·云南德宏·期末）为保证学生每天一小时体育运动，某班计划购买一批体育用品，用于开展“阳光体育动起来”为主题的课外运动．经调查，了解到甲、乙两个体育用品店的优惠活动如下，甲店：所有体育用品按原价8折出售；乙店：一次购买体育用品总额不超过元的按原价出售，超过元的部分打6折． (1)以（单位：元）表示体育用品原价，（单位：元）表示购买总额，分别就两家体育用品店的优惠方式写出关于的函数解析式； (2)如何选择这两家体育用品店去购买体育用品更省钱？ 【答案】(1) (2)当0≤x＜400时，选择甲店更省钱；当x＝400时，甲、乙两店所需费用相同；当x＞400，选择乙店更省钱 【分析】（1）对于甲店，由购买总额=原价折扣数，列式即可；对于乙店，分两种情况：不超过元的情况；超过元情况； （2）求出当时x值，画出图形，结合图形就知道选择这哪家体育用品店去购买体育用品更省钱． 【详解】（1）解：由题意可得，； 乙店：当时，； 当时，， ∴ （2）当，有：，即 画出图形如下，由图可知： ①当时，到甲店购买体育用品更省钱； ②当时，甲、乙两店所需费用相同； ③当时，到乙店购买体育用品更省钱. 综上所述：当时，选择甲店更省钱；当时，甲、乙两店所需费用相同；当，选择乙店更省钱． 【点睛】本题是函数的实际应用问题，考查了列函数关系式、画函数图象，结合函数图象确定购买方案，关键是列出正确的函数关系式，注意分类讨论． 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）某市A、B两个仓库分别有救灾物资200吨和300吨，2021年5月18日起，云南大理州漾濞县已连续发生多次地震，最高震级为5月21日发生的6.4级地震，为援助灾区，现需将这些物资全部运往甲，乙两个受灾村．已知甲村需救灾物资240吨，乙村需救灾物资260吨，从A仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨15元和24元．设A仓库运往甲村救灾物资吨，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 仓库 甲村（吨） 乙村（吨） A ① B ② ③ ①＝______；②＝______；③＝______． （2）设总运费为（元），求出（元）与（吨）的函数关系式． （3）求怎么调运可使总运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】（1）①；②；③；（2）（）；（3）从A仓库运往甲村0吨，运往乙村200吨；从B仓库往甲村240吨，运往乙村60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示即可； （2）根据题意直接列代数式：，再化简即可； （3）由（2）中的一次函数可知，W随的增大而增大，要使总运费最低，x必须取最小值，计算各个运货数量设计方案比较即可． 【详解】解：（1）∵A、B两个仓库分别有救灾物资200吨和300吨，甲村需救灾物资240吨，乙村需救灾物资260吨， ∴设A仓库运往甲村救灾物资吨，则A仓库运往甲村救灾物资（200-x）吨，B仓库运往甲村救灾物资（240-x）吨，B仓库运往乙村救灾物资300-（240-x），即（60＋x）吨， 故答案为：①；②；③； （2） 化简，得， ∵ ∴ ∴（） （3）∵， ∴， ∴W随的增大而增大 ∴当时，W最小 ∴从A仓库运往甲村0吨，运往乙村200吨；从B仓库往甲村240吨，运往乙村60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，先根据题意列出函数关系式，再代数求值，解题的关键是根据实际意义准确列出解析式． 最大利润问题(一次函数的实际应用) 21．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 【答案】(1) (2)当购进甲种卷蹄千克，乙种卷蹄千克时，才能使经销商付款总金额最少 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，通过函数图象活动所需信息是解题的关键． （1）由图可分段运用用待定系数法求得函数解析式即可； （2）设购进甲种卷蹄千克，则购进乙种卷蹄千克，根据题意分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入，可得：，解得 所以当时，， 当时， 设，将，代入，得， 解得， 所以当时，， 所以与之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得：， 当时，． ， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为． 当时，． ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． ， 当时，付款总金额最少，最少金额为元， 此时购进乙种卷蹄千克． 答：当购进甲种卷蹄千克，乙种卷蹄千克时，才能使经销商付款总金额最少． 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）红星超市销售每台进价分别是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机，下表是近两周的销售情况． 销售时间 销售型号 收入 Ⅰ型 Ⅱ型 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 (1)求Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机的销售单价． (2)若红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台，请设计出能取得最大利润的购进方案，最大利润W是多少？ 【答案】(1)200元，150元 (2)购进Ⅰ型吹风机37台，Ⅱ型吹风机13台可是利润最大为1870元 【分析】（1）设Ⅰ型吹风机的销售单价是元，Ⅱ型吹风机的销售单价是元．根据“第一周，第二周的收入”再建立方程组即可； （2）设红星超市再购进Ⅰ型吹风机台，根据“红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台”求解的范围，再由总利润等于两种型号的吹风机的利润之和建立函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设Ⅰ型吹风机的销售单价是元，Ⅱ型吹风机的销售单价是元． 依题意，得， 解得． 答：设Ⅰ型吹风机的销售单价是200元，Ⅱ型吹风机的销售单价是150元． （2）设总利润为元，则 ， 由可得随的增大而增大， 设红星超市再购进Ⅰ型吹风机台， ， 解得． 只能取正整数， 当时，能获得最大利润， 最大利润元． 此时购买方案为：购进Ⅰ型吹风机37台，Ⅱ型吹风机13台． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系建立方程，不等式，函数关系式是解本题的关键． 23．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元． (1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ (2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？ 【答案】(1)租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元 (2)共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少 【分析】（1）设租用甲、乙两种客车每辆各需元，根据题意可以列出相应的方程组，即可求解； （2）设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，进而列出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲、乙两种客车每辆各需元， 则， 解得：， 答：租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元； （2）解：设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，由题意得： ． 由题意得：，解得：， 的取值范围是：，且为整数． ∴一共有3种租车方案． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少 答：共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 24．（22-23八年级下·云南大理·期末）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等． (1)求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？ (2)已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？最大利润为多少元？ 【答案】(1)20元，16元 (2)购进洗发水38件，电池62件，最大利润476元 【分析】（1）设每件洗发水的进价是元，根据用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等列方程并检验，可得答案； （2）设该商店获得的利润为元，可得，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设每件洗发水的进价是元，则每件电池的进价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的解， ， 每件洗发水的进价是20元，每件电池的进价是16元； （2）设该商店获得的利润为元， 根据题意得， ，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为（元， （件， 购进洗发水38件，电池62件，该商店获得最大利润476元． 【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 25．（22-23八年级下·云南红河·期末）为了做好校园消毒杀菌，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面积进行消毒杀菌，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面积进行消毒杀菌．设购买了A种消毒液x桶，在现有资金不超过5200元的情况下，如何购买消毒液，才能使消毒杀菌的面积S（单位：平方米）最大，并求出最大的消毒杀菌面积． 【答案】购买A种消毒液12桶，种消毒液8桶，可消毒杀菌的面积最大，最大的消毒杀菌面积是32000平方米 【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出消毒面积与购买A种消毒液桶数的函数关系，再根据现有资金不超过5200元，可以得到A种消毒液桶数的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以得到消毒面积的最大值． 【详解】解：现有资金不超过5200元， ∴，且为整数． 解得：，且为整数． 根据题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值，此时． 此时，即购买种消毒液8桶． 答：购买A种消毒液12桶，种消毒液8桶，可消毒杀菌的面积最大，最大的消毒杀菌面积是32000平方米． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质求最值． 几何问题(一次函数的实际应用) 26．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标、和 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、等面积法和完全平方公式，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案； （2）根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，利用勾股定理和等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 设直线：，将、代入得 ，解得， 直线 的解析式； （2）解：存在， 根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，如图所示： 点的坐标是； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 综上所述，点的坐标、和． 27．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，一次函数的图象和正比例函数的图象平行，直线过点，且分别与x轴和y轴交于点A和点B．    (1)求一次函数的解析式． (2)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (3)在正比例函数的图象上是否存在一点P，使得以A，B，O，P四点构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在， 【分析】（1）根据平移的特点得出，代入求出，得出答案即可； （2）根据函数解析式求出；即可； （3）分为边和对角线两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象和正比例函数的图象平行， ， 直线过点， ，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：把代入得， 则点B的坐标为， 把代入得， 解得：， ∴点A的坐标为． （3）解：存在； 如图，当为边时，，， 则点的横坐标为， 把代入得：， ∴点； 当为对角线时，设，根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴； 综上分析可知，．    【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，平行线的性质，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 28．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）先求出点P坐标，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）首先求出点A的坐标，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质得出答案． 【详解】（1）解：直线与直线相交于点， 把代入得：， 解得：， 直线过． ， 解得：， ∴直线的函数解析式为：； （2）直线交y轴于点A， ∴， 设点， ①当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点A向右平移4个单位向上平移1个单位得到点B， ∴点P向右平移4个单位向上平移1个单位得到， ，即； ②当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点B向左平移4个单位向下平移1个单位得到点A， ∴点P向左平移4个单位向下平移1个单位得到， ，即； ③当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点P向右平移个单位向下平移2个单位得到点B， ∴点A向右平移个单位向下平移2个单位得到点， ，即； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，正确分类讨论是解答本题的关键． 29．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点的坐标； (2)是轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)是轴上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)的坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（）令，求出的值，即求出点坐标，令，求出的值，即求出点坐标； （）设点，再根据求三角形面积公式即可求解； （）进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）在中，令，则， ∴点的坐标是， 在中，令，则， ∴点的坐标是， （2）设的坐标为， 的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴的坐标为或； （3）设点的坐标为． ∵点的坐标为，点的坐标为， 下面分三种情况说明． 当时，即． ∴． 解得（舍去，此时与重合）或． ∴的坐标是． 当时，即． ∴． ∴ ∴． 解得或． ∴的坐标是或． 当时，即． ∴． ∴． 解得． ∴的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数与几何图形的联系及其应用． 30．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为．    (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据面积为，可计算出长，可推出点的坐标，待定系数法就出直线解析式即可； （2）分两种情况求点坐标，当在点上方时，当在点下方时，利用全等求出含有的点坐标，代入直线的解析式求出即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， ， 直线的解析式为； （2）解：是的中点，，， ， 设的坐标为， 当点G在点F的上方，即时，如图，若点落在上时，过作轴的平行线，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、．则，    ∴， 四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ， 点在直线上， ， ， ， 当点G在点F的下方，即时，如图，若点落在上时，过作轴的平行线，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、．则，    ∴， 四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， 同上可得：， 点在直线上， ， ． ， 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化． 其他问题(一次函数的实际应用) 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数在次含和，选择哪种卡消费方式比较合算？ 【答案】(1)， (2)当入园次数包含次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数包含次时，选择乙消费卡比较合算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型． （1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式； （2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可． 【详解】（1）解：设，根据题意得， 解得， ； 设， 根据题意得：， 解得， ； （2）解：，即，解得，当入园次数包含次时，选择甲消费卡比较合算； ，即，解得，当入园次数等于次时，选择两种消费卡费用一样； ，即，解得，当入园次数包含次时，选择乙消费卡比较合算． 32．（22-23八年级下·云南昆明·期末）年月日，云南人桂海潮乘坐神舟号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想！云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共个两种模型均需购买，要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的倍．通过市场调研，已知火箭模型每个元，空间站模型每个元．设购买火箭模型个，购买总费用为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)且为整数； (2)购买火箭模型个，空间站模型个可以使总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）设购买火箭模型个，则购买空间站模型个，然后根据两种模型的费用之和即为总费用列得关系式，再结合已知条件求得自变量的取值范围即可； （2）根据一次函数的增减性即可求得答案． 【详解】（1）解：设购买火箭模型个，则购买空间站模型个， 由题意得，， ，且为整数， 且为整数， ∴且为整数； （2）解：， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为：， 此时， ∴购买火箭模型个，空间站模型个可以使总费用最低，最低费用为元． 33．（22-23八年级下·云南红河·期末）某水果销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 下图中的射线分别表示该水果销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月水果销售量（单位：千克）的函数关系． (1)分别求与的函数解析式（解析式也称表达式）． (2)请根据函数图象帮助该公司销售人员小张选择哪个方案每月能得到更高的工资？ 【答案】(1)， (2)具体见解析 【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式； （2）利用函数图像求解即可． 【详解】（1）解：（1）设直线的解析式为． 把点代入中，得，解得， ． 设直线的解析式为， 把点和分别代中，得，解得， ． （2）根据函数图象可得：①当时，选择方案二能得到更高的工资； ②当时，选择方案一或方案二工资相同，没有区别； ③当时，选择方案一能得到更高的工资． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键． 34．（22-23八年级下·云南红河·期末）2023年4月23日是第二十八个“世界读书日”，某市甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价的7折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设x（单位：元）表示标价的总额，y（单位：元）表示应支付金额 (1)根据两家书店的优惠方式，写出，关于x的函数解析式； (2)“世界读书日”这一天，当购书费用超过100元时，去哪一家书店购书更省钱？ 【答案】(1)； (2)当购书费用超过100元，但不足400元的时候，选择去甲书店更省钱；当购书费用为400元的时候，选择甲乙两家书店购书应付金额相同；当购书费用超过400元的时候，选择去乙书店更省钱 【分析】（1）根据公式：应支付的金额=标价总额×折扣，即可得函数关系式； （2）求出两书店所需费用相同时的书本标价，从而可以判断哪家书店省钱． 【详解】（1）解：甲书店应支付金额为：； 乙书店应支付金额：时，； 时，， ； （2）解：当购书费用超过100元时，，， 令，解得， ∴当时，去甲书店省钱； 时，去甲乙两家书店购书应付金额相同金额； 当时，去乙书店省钱． 综上所述： 当购书费用超过100元，但不足400元的时候，选择去甲书店更省钱； 当购书费用为400元的时候，选择甲乙两家书店购书应付金额相同； 当购书费用超过400元的时候，选择去乙书店更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在实际生活中的应用，关键是正确找出题中的等量关系，分情况讨论即可． 35．（22-23八年级下·云南保山·期末）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图像为折线，如图．    (1)当时，求与之间的函数解析式； (2)在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等? 【答案】(1) (2)甲加工或时， 甲与乙加工的零件个数相等 【分析】（1）设当时，y与x之间的函数关系是为，运用待定系数法求解即可； （2）设甲加工小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当时，； ②当时，；②③当时，． 【详解】（1）设当时, 与之间的函数关系是为， 把, 代入解析式, 得 ，解得 ∴ （2）甲机器每小时加工零件：(个) 乙机器排除故障后每小时加工零件：(个) 设甲加工小时时，甲乙加工的零件个数相等 ①当时，, 不存在加工数量相同； ②当时，，解得：； ③当时，,解得 答：甲加工或时， 甲与乙加工的零件个数相等. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键. 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 2 4 6 8 下列说法中，错误的是（  ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数值随自变量的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】B 【分析】根据表格数据代入两组即可求出一次函数解析式，根据一次函数解析式可判断选项． 【详解】由表格可知，一次函数过点(-1，0)，(0，2)，则： 解得：， ∴一次函数解析式为：， ∴，故函数经过第一、二、三象限，故A正确； ，故函数值y随x增大而增大，故B错误； 令，得x=-1，故C正确； 令，得，故D正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据表格求出一次函数解析式是解题的关键． 2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象的交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数图象，写出直线在直线相等所对应的的值即可． 【详解】一次函数与的图象的交点坐标为， 当时， 即关于x的方程的解为 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：从函数图象的角度看，就是确定直线在直线相等所对应的的值． 3．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，已知直线经过点和点，直线经过点，则关于的不等式的解集是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标及函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线下方， 关于的不等式的解集是， 故选：． 【点睛】本题考查了根据一次函数与一元一次不等式交点求不等式的解集，理解图象是解答本题的关键． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由点是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式；即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于，的二元一次方程组解即可求出． 【详解】解：∵函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解， ∴方程组的解是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 5．（21-22八年级下·云南昆明·期末）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100km外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．甲出发2h后两人第一次相遇 B．甲的速度是20km/h C．甲、乙同时到达B地 D．乙出发或时，甲、乙两人相距20km 【答案】D 【分析】根据图象可知，乙出发2小时后两人第一次相遇，即可判断A选项；根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度即可判断B选项；求出已到达B地所用时间即可判断C选项；分别求出甲和乙图像的函数关系式，利用甲、乙两人相距20km列方程并解方程即可判断． 【详解】解：根据图象可知，乙出发2小时后两人第一次相遇， 故A选项错误，不符合题意； ∵（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h）， ∴甲的速度是60km/h， 故B选项错误，不符合题意； 根据图象可知，乙的速度为60÷3＝20（km/h），100÷20＝5（h），即5小时后到达B地，甲在乙出发3小时后，到达B地， 故C选项错误，不符合题意； 设甲离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系式为：s＝kt＋b，把点（2，40），（3，100）分别代入得：， 解得， ∴s＝60t－80， 设乙离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系式为s＝mt，把点（2，40）代入得： 40＝2m， 解得m＝20， ∴s＝20t， 第一次相距20km时，20t－（60t－80）＝20，解得t＝； 第二次相距20km时， 60t－80－20t＝20，解得t＝； ∴乙出发或h时，甲、乙两人相距20km， 故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义是解题的关键． 6．（22-23八年级下·云南红河·期末）泸西县某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，其完成的绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示，试问绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是（    ）      A．降低 B．提高 C．不变 D．不确定 【答案】B 【分析】根据待定系数法可求小时后直线的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当时，的值，再根据工作效率工作总量工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前和后每小时完成的绿化面积，进行比较即可求解． 【详解】设小时后与的关系式为， 由图象可得：，解得：， ∴小时后与的关系式为为， 则小时后工作效率为每小时绿化， 当时，， ∴小时前工作效率为每小时绿化， ∴绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是提高， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的应用和函数的图象，解题的关键是根据待定系数法求出该绿化组提高工作效率后的函数解析式． 7．（20-21八年级下·云南丽江·期末）一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】方法一：根据图象得到直线与坐标轴的交点坐标，代入一次函数表达式联立关于，的二元一次方程组，求解后代入一元一次方程求解即可； 方法二：根据函数与方程的关系：一次函数与轴的交点横坐标就是一元一次方程的解直接求解即可． 【详解】解：方法一：由图象可知，直线与坐标轴的交点坐标为和， 将和代入一次函数得：，解得， ，解得， 方程的解为， 故答案为x=2； 方法二：根据一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，可知解为， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过两种方法诠释不同方面看待两者的关系，尤其是理解一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解是解决问题的关键． 8．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】直接根据当x≥2时直线l1：y=kx-1不在直线l2：y=-x+5的下方进行解答即可． 【详解】解：∵由函数图象可知，当x≥2时直线l1：y=kx-1不在直线l2：y=-x+5的下方， ∴关于x的不等式kx-1≥-x+5的解集为x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 9．（19-20八年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴交于点．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；（2）6 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得B的坐标，即可得到OB的长，利用三角形的面积公式即可求解； 【详解】解：（1）设直线的解析式为， 因为直线过，， 所以，解得． 所以直线的解析式为． （2）在中，当时，， 所以点的坐标为（6，0），即OB=6， 所以的面积． 【点睛】本题是一次函数的综合题，涉及到三角形面积计算、待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，掌握基本性质是解题的关键． 10．（21-22八年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点B（m，2），直线与轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)4； (3) 【分析】（1）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，再根据待定系数法可求直线的解析式； （2）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的值，由点A、B、C的坐标利用三角形的面积可求出的面积； （3）根据两直线的上下位置关系结合点B的横坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ∵直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为 ； （2）解：在函数中， 当时，， 点A的坐标为； 在函数中， 当时，， 点的坐标为， ， ； （3）解：观察函数图象，可知： 直线与直线相交于点， ∴当时，直线在直线的上方， 不等式 的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（3）由两直线的上下位置关系找出不等式的解集． 11．（20-21八年级下·云南大理·期末）已知直线经过点， （1）求直线的解析式 （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据待定系数法把，两点坐标代入直线表达式求解即可； （2）把两条直线表达式联立方程组求出方程组的解，即可求出点C的坐标； （3）根据题意判断出时两条直线的位置关系，然后结合点C的坐标即可求出关于的不等式的解集． 【详解】解：（1）直线经过点，， ，解得 直线的解析式为：． （2）若直线与直线相交于点， ，解得 点． （3）根据图象可得． 【点睛】此题考查了一次函数表达式的求法，两条直线的交点坐标，一次函数不一元一次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数表达式的求法，两条直线的交点坐标，一次函数不一元一次不等式的关系． 12．（21-22八年级下·云南西双版纳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)（12，18）或（-12，-6） 【分析】（1）先求出点A（-b，0），b（0，b），可得OB=b，OA=b，再由的面积为18，可得b的值，即可求解； （2）根据题意可得，然后设点C的横坐标为m，可得，即可求解． 【详解】（1）解：令x=0，则y=b，令y=0则x=-b， ∴点A（-b，0），b（0，b）， ∵b＞0， ∴OB=b，OA=b， ∵的面积为18， ∴， 解得：b=6或-6（舍去）， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点C的横坐标为m， ∴，即， 解得：， ∵点C在直线上， 当时，； 当时，； ∴点C的坐标为（12，18）或（-12，-6）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 13．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元． (1)求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润； (2)该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包个，本次购进的200个书包全部出售的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每个甲品牌书包的销售利润为10元，每个乙品牌书包的销售利润为15元 (2)①；②当购买67个甲品牌书包和133个乙品牌书包时，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元 【分析】（1）设每个甲品牌书包的销售利润为元，每个乙品牌书包的销售利润为元，根据“该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元”列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）①设购进甲品牌书包个，则购进乙品牌书包个，根据总利润=售价数量，再化简即可得出答案；②由乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包的2倍，可得，求解，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设每个甲品牌书包的销售利润为元，每个乙品牌书包的销售利润为元， 根据题意得：， 解得， 答：每个甲品牌书包的销售利润为10元，每个乙品牌书包的销售利润为15元； （2）①设购进甲品牌书包个，则购进乙品牌书包个， 根据题意得：， ∴关于的函数关系式为； ②∵乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包的2倍， ∴， 解得， 又∵且为正整数， ∴（为正整数）， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（个）， ∴当购买67个甲品牌书包和133个乙品牌书包时，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息： 书本类别 A类 B类 进价（单位：元） 18 12 备注 用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本． (1)陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价； (2)为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变．此时书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元 (2)书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润 【分析】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进A类图书t本，总利润为w元，根据题意列出一元一次不等式组求得，然后表示出利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为 1.5x元， 根据题意可得 ， 化简得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则A类图书的标价为：（元）， 答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元； （2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元， 由题意得， 解得， 则总利润， ∴当时，总利润最大， ∴此时书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 15．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．    (1)求点B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若点在的内部，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点A的坐标代入关系式，求出b，可得直线的解析式，然后令，可得答案； 对于（2），由点B的坐标得，再根据，求出，可得点C的坐标，然后设直线的解析式，再将点C的坐标代入，求出答案即可； 对于（3），分别将代入两个函数关系式，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为. 令得，， ∴； （2）∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）将代入得，， 解得：. 将代入得，， 解得：， 如图，    结合图象可知，m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． 16．（22-23八年级下·云南昆明·期末）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息： A B 进价（元/件） 500 100 售价（元/件） 650 150 设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)该经销商购进A商品37件、B商品63件可获利最大，最大利润是8700元 【分析】（1）根据某商品的利润＝数量×（售价-进价），分别计算A、B两商品的利润，再求二者之和即得这两种商品全部销售完后获得的利润，将得到的代数式进行整理即可求得y与x之间的函数解析式．再根据“计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品”求出x的取值范围； （2）根据y与x之间的函数解析式及x的取值范围求出x取何值时，可获利最大，以及最大值是多少． 【详解】（1）解：∵该经销商购进A商品x件， ∴该经销商购进B商品件． ∴， ∵计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件， ∴，解得． ∵x为整数， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：∵随x的增大而增大， ∴当时，y最大，． ∴该经销商购进A商品37件、B商品63件可获利最大，最大利润是8700元． 【点睛】本题考查一元一次函数及一元一次不等式的应用，深刻理解题意是解答这类问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$