精品解析：吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 考试时间:120分 分值:150分 命题人：高二数学备课组 审题人：谢宏霞 一、单选题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 2. 某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 3. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在处得到极大值 B. 在处得到极大值 C. 在处得到极小值 D. 在处得到极小值 7. 随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ） A. 10 B. 117 C. 38 D. 35 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 10. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、多选题:本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 13. 经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A. 的可能取值为1，2，3，4，5 B. C. 的概率最大 D. 服从超几何分布 14. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 15. 曲线在处的切线与直线平行，则___________. 16. 为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有______种． 17. 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________． 18. 已知，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. （1）求的值及展开式中项的系数 （2）求展开式中的常数项 20. 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 21. 甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局，谁先获得分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是. （1）求比赛结束时恰好打了局的概率； （2）若现在是甲以的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望. 22. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）设函数有两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 考试时间:120分 分值:150分 命题人：高二数学备课组 审题人：谢宏霞 一、单选题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 2. 某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法， 数学不排在第一节课，将数学插空有种， 由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种， 故选：A. 3. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查导数的计算及几何意义． 【详解】由题意知， 因为与曲线相切， 所以，整理得， 同理， 则，是方程的两个实数根， 所以， 所以． 故选：. 4. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A. 5. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据候车人数为2和3的概率相等求出参数，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案. 【详解】由题意可知，即解得， 所以， 从而， 故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为. 故选：D 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在处得到极大值 B. 在处得到极大值 C. 在处得到极小值 D. 在处得到极小值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求函数极值即可. 【详解】由，且， 所以时，递减，时，递增， 所以在处得到极小值. 故选：C 7. 随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ） A. 10 B. 117 C. 38 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列性质求出，再计算随机变量的期望方差，利用方差性质计算. 【详解】，k＝1，2，3， ，解得， ， ， . 故选：C 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解. 【详解】因为， 观察的式子结构，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即， 所以，即，即； 又，所以，即； 综上，. 故选：B. 9. 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【答案】A 【解析】 【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解． 【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3， ，，， ∴，； 当时，η可取1，2，3，4， ，， ，， ∴， ； ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题. 10. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 二、多选题:本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数四则运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D正确． 故选：CD． 12. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 【答案】AD 【解析】 【分析】四个球放四个盒子，全排列可得A正确；每个盒子有4种方法，相乘可得B错误；由分步乘法和简单排列可得C错误，D正确. 【详解】A：没有空盒子的方法为4个球放入4个盒子，共有种，故A正确； B：可以有空盒子的方法共有种，故B错误； C：恰有1个盒子不放球，选出一个空盒子，有4种， 再将四个球中的一个球与其他另一个球绑定，有种， 其余全排，有种， 所以共有种，故C错误； D：恰有一个小球放入自己编号的盒子，有4种， 另外三球三盒子不能对应，共有2种， 所以一共有8种，故D正确； 故选：AD. 13. 经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A. 的可能取值为1，2，3，4，5 B. C. 的概率最大 D. 服从超几何分布 【答案】C 【解析】 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 14. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可判定A正确；求得，得到函数的单调区间，结合极值点的概念，可判定B错误； 作出函数的图象，转化为和的图象有4个交点，可判定C正确；由函数的图象，得到的取值范围，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由函数，可得其定义域为， 且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值，所以B错误； 对于C中，由B项知，函数的最小值为， 当时，；当时，， 把的图象关于轴对称翻折到的左侧，即可得到的图象，如图所示， 方程有4个根等价于函数和的图象有4个交点， 可得，即实数的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由， 若，由图象可知，，或， 所以，所以D正确. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 15. 曲线在处的切线与直线平行，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 可得，， 因为曲线在处的切线与直线平行， 可得，所以. 故答案为： 16. 为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】先分组后排列计算即可得. 【详解】若这6名教师的分组为3，1，1，1，则甲、乙必在三人组中，丙、丁分开， 不同的安排方法有种； 若这6名教师的分组为2，2，1，1，则甲、乙必在二人组中，丙、丁分开， 不同的安排方法有种． 故不同的安排方法共有种． 故答案为：. 17. 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析离散型随机变量的所有取值，求出概率分布列计算期望即可． 【详解】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中， ， 张卡片上的数字之和分别为：， 所以． 故答案为： 18. 已知，，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】，， ，，， 即，所以， 令，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取得. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. （1）求的值及展开式中项的系数 （2）求展开式中的常数项 【答案】（1），项的系数为；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据二项式系数之和得到，再利用通项求解即可； （2）根据题意得到或，从而得到或，再利用通项求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 因为 令， 所以项的系数为. （2）求展开式中的常数项， 即或， 所以或， 故常数项为. 20. 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域； （2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可. 【小问1详解】 塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 【小问2详解】 设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 21. 甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局，谁先获得分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是. （1）求比赛结束时恰好打了局的概率； （2）若现在是甲以的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）比赛打了6局结束的情况有两种，甲胜或乙胜，即可解出. （2）分析可知，可能的取值为2,3,4,5，分别求出对应的概率即可. 【小问1详解】 记比赛结束时恰好打了6局为事件A 若甲胜，则 , 若乙胜，则. 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为 ； 【小问2详解】 所有可能的取值为2,3,4,5 . 2 3 4 5 . 22. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）设函数有两个极值点，求证：. 【答案】（1）当时，极大值为，无极小值； 当时，极大值为，极小值为； 当时，无极值； 当时，极大值为，极小值为. （2）由（1）知函数有两个极值点时，. ， ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，，，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况； （2）由（1）得，并得到，，作差法得到，结合的范围得到结论. 【小问1详解】 的定义域为， ①若，则，时，时， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， ②若，则，在上单调递增，无极值. ③若，由得或， 时，时，时， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. ④若，由得或， 时，时，时， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. 综上，当时，极大值为，无极小值； 当时，极大值为，极小值为； 当时，无极值； 当时，极大值为，极小值为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $