预习第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行 1.掌握利用空间向量证明线线平行； 2.掌握利用空间向量证明线面平行； 3.掌握利用空间向量证明面面平行. 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【题型一】 向量法证明线线平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 【典题1】 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是(    ) A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 变式练习 1.已知向量，，若，则(    ) A． B． C．4 D．2 2.已知空间中三点，若，则(    ) A． B．4 C．3 D． 【题型二】 向量法证明线面平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 【例】设是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与的位置关系是　　 A． B． C． D．或 【典题1】如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【典题2】直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    变式练习 1. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则(    ) A．l与斜交 B． C． D． 2.如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则(    )    A． B． C． D． 3.如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则(    ) A． B． C． D．1 4.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证： 平面.    5.如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 6.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 【题型三】 向量法证明面面平行 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【例】若两个不同平面，的法向量分别为，则( ) A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正确 【典题1】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 变式练习 1. 平面的法向量为，平面的法向量为，，则(    ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 3.如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【A组---基础题】 1.已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是(   ) A． B． C．与相交但不垂直 D．或 2.两个不重合的平面，，平面的法向量为，△ABC是平面内的三角形且，，则( ) A．平面平面 B．平面平面 C．平面，平面相交但不垂直 D．以上均有可能 3.如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则(    )    A． B． C． D． 4.如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，动点在正方形(包括边界)内运动，若面，则线段长度的最小值是(    ) A． B．3 C． D． 5.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 6.如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为 .    7.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点(含边界)，若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 8.如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 9.在正方体中，若为中点，为中点.    求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面． 【B组---提高题】 1.在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为(    )    A． B．9 C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行 1.掌握利用空间向量证明线线平行； 2.掌握利用空间向量证明线面平行； 3.掌握利用空间向量证明面面平行. 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【题型一】 向量法证明线线平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 【典题1】 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是(    ) A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 变式练习 1.已知向量，，若，则(    ) A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由，知，使得， 即，所以， 解得，所以. 故选：B 2.已知空间中三点，若，则(    ) A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意结合空间向量平行的坐标表示分析求解即可. 【详解】由题意可得：， 若，则，解得， 所以. 故选：B. 【题型二】 向量法证明线面平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 【例】设是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与的位置关系是　　 A． B． C． D．或 解 ，．或．故选：． 【典题1】如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的坐标运算，根据平行、垂直关系的坐标表示，和空间距离的坐标表示求解. 【详解】如图，由已知，，两两互相垂直， 以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设，，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，， 因为平面，所以, , 又， ，可得， ，， ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为: . 【典题2】直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【答案】(1) (2)存在点在靠近点的三等分点处 【分析】(1)以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案； (2)利用向量法求解即可. 【详解】(1)如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ， 故 ， 所以， 当时，取得最小值， 所以线段长的最小值为； (2)假设存在，设， ， 故， ， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为面，所以， 则，解得， 所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.    变式练习 1. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则(    ) A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 2.如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可. 【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，    则， 可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由∥平面，可得，解得. 故选：C. 3.如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ,， 则, 所以， 设平面EFC的法向量为， 则，解得， 令，则， 所以平面EFC的一个法向量为. 因为平面EFC，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故选：C 4.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点. 求证： 平面.    【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得 平面 【详解】由题意， 在矩形中，，，， ，分别是，的中点， ∴，， 在四棱锥中，面平面， 面面，，平面， ∴面， 面，∴， 取中点，连接， ∵， ∴，所以四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∵面，面， ∴面，∵平面， ∴ 以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， ∴，面的一个法向量为， ∵，平面， ∴平面.    5.如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【答案】(1)； (2)不存在，证明见解析. 【分析】(1)设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； (2)过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】(1)解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； (2)不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由(1)可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 6.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为的中点.在上是否存在一点，使得平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 【答案】存在，E为BC1的中点 【分析】根据长度关系以及面面垂直可得线线垂直，进而根据空间直角坐标系，由向量法即可求解 【详解】连接，因为，且为的中点，所以， 又平面平面，交线为，且平面， 所以平面. 连接，由，得， 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，，，，所以， 所以、、、、， 则，， 设平面的法向量为,则有即， 令，得，所以. 设，， 由得，所以， 所以，所以, 由平面，得，即得. 所以存在这样的点，且为的中点. 【题型三】 向量法证明面面平行 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【例】若两个不同平面，的法向量分别为，则( ) A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正确 解：，．故．故选：． 【典题1】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 变式练习 1. 平面的法向量为，平面的法向量为，，则(    ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C 2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC． 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 3.如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 (1)建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； (2)证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】(1)证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． (2)证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【A组---基础题】 1.已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是(   ) A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】由于，得到，从而确定与的位置关系. 【详解】因为，， 则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或， 故选：D. 2.两个不重合的平面，，平面的法向量为，△ABC是平面内的三角形且，，则( ) A．平面平面 B．平面平面 C．平面，平面相交但不垂直 D．以上均有可能 【答案】A 【分析】由平面α的法向量与平面的法向量的关系，判断两个平面的位置关系. 【详解】设平面的法向量为, 则，设，则，，即， 由，得平面平面． 故选：A 3.如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可. 【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，    则， 可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由∥平面，可得，解得. 故选：C. 4.如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，动点在正方形(包括边界)内运动，若面，则线段长度的最小值是(    ) A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可得出，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故选：C. 5.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 【答案】6 【分析】根据空间向量的平行列式求值即可得解. 【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行. ∴，∴. 故答案为：6. 6.如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为 .    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，.，M，N分别是棱，，的中点， 所以    ， 因为点P是平面内的动点 所以设， 设平面的法向量为， ，， 所以有， 因为平面， 所以，即 于是， 当时，线段长度有最小值， 故答案为：      【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式. 7.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点(含边界)，若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点(含边界)，平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 8.如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 9.在正方体中，若为中点，为中点.    求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； (2)求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； (3)可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】(1)以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. (2)设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． (3)证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由(2)知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由(2)知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 【B组---提高题】 1.在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为(    )    A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】首先合理建立空间直角坐标系，然后设，利用已知条件确定变量与变量之间的关系，利用坐标表示出，并利用、的关系将其转换成二次函数，进而求解最小值即可. 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系    可得：，，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，得， 解得：，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：. ，， ， ， 可知：由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 10 学科网（北京）股份有限公司 $$