预习第03讲 空间向量基本定理-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理； 2.掌握基底法用不共线的两个向量表示第三个向量； 3.能够应用空间向量基本定理处理一些简单的立体几何问题. 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .若，则点四点共面. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 相关知识点讲解 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例】设命题是三个非零向量；命题为空间的一组基底，则命题是命题的 条件. 【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 变式练习 1. 正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是(    ) A． B． C． D． 2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】基底表示空间向量 【典题1】 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于(   ) A． B． C． D． 【典题2】如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 变式练习 1. 如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于(    )    A． B． C． D． 2.如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于(    ) A． B． C． D． 3.如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则(    )    A． B． C． D． 4.如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则(    ) A． B． C． D． 5.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，则(    ) A． B． C． D． 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 【典题1】 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.如图，平行六面体的各棱长均为，则(    ) A． B． C． D． 2.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(    ) A． B． C． D． 3.已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则(    ) A． B．2 C． D． 角度2 求角度 【典题1】已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 2.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 3.正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： (1)AF与CE所成角的余弦值； (2)CE与底面BCD所成角的正弦值． 【A组---基础题】 1.下列选项中，不正确的命题是(    ) A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 2.如图，在四面体中，，点为的中点，，则(    )    A． B． C． D． 3.在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则(    ) A． B． C． D． 4.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　) A．50 m B． m C．60 m D．70 m 5.在三棱锥中，平面交平面于点，则下列说法中错误的是(   ) A．若，则 B．若，，，则为的垂心 C．若与所成的角为，与平面所成的角为，则 D．若，则与平面所成角的余弦值为 6.已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    8.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 9.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【B组---提高题】 1.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理； 2.掌握基底法用不共线的两个向量表示第三个向量； 3.能够应用空间向量基本定理处理一些简单的立体几何问题. 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .若，则点四点共面. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 相关知识点讲解 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例】设命题是三个非零向量；命题为空间的一组基底，则命题是命题的 条件. 解：是三个非零向量成立，当三个向量共面时，则不为空间的一组基， 即命题推不出命题； 但反之为空间的一组基，则不共面，所以是三个非零向量， 即命题推出命题； 所以命题是命题的充分不必要条件． 【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】 由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案. 【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 变式练习 1. 正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】空间的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判断选项中的三个向量是否共面，只需判断能否找到唯一的实数，使其中一个向量能用另外两个向量线性表出即可. 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 【题型二】基底表示空间向量 【典题1】 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 【典题2】如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点， 以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①. 连接，因为四点共面， 所以存在实数，使得， 即， ②， 由①②以及空间向量的基本定理可知： ， ， 所以. 故选：C 变式练习 1. 如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】为的中点， ，， 故选:A. 2.如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 3.如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 4.如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解. 【详解】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 5.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以 ，所以 ， 所以，所以． 故选：D 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 【典题1】 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据正四棱锥的几何性质选出一组基底，通过线性运算表示出所求向量，根据数量积运算，可得答案. 【详解】由题作图如下: 由，则，由为的中点，则， 则 ， 在正四面体中，易知， . 故选：D. 变式练习 1.如图，平行六面体的各棱长均为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，平方后求出，求出答案. 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 2.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，借助模长公式能求出的长． 【详解】 ， ， ． 故选：A 3.已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则(    ) A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】以为基底表示，利用平方的方法求得. 【详解】依题意可知是的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D    角度2 求角度 【典题1】已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 变式练习 1.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，利用空间向量基本定理转化求解即可 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，， 所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A 2.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则，，分别计算出，，利用计算即可. 【详解】设，，，则，，，从而， ，， ， 所以. 故选：D． 3.正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： (1)AF与CE所成角的余弦值； (2)CE与底面BCD所成角的正弦值． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)设，两两成角，利用空间向量的夹角公式结合向量基本定理进行计算即可； (2)利用几何法，如图先确定线面角为，利用正四面体的性质进行计算即可得解. 【详解】(1)不妨设正四面体的边长为， 设，两两成角， 则， ， 设所成角为， 所以， (2) 连接，由为中点，则， 所以平面，所以平面平面， 作于，则平面， 由对称性为的中心， 由棱长为，所以，， ， 作于，由为中点，， 连接，， CE与底面BCD所成角的正弦值为. 【A组---基础题】 1.下列选项中，不正确的命题是(    ) A．若两条不同直线，的方向向量为，，则 B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】C 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 所以，所以， 设为的中点，所以，所以， 所以点在平面内，且为的重心，所以B正确， 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，所以C错误， 对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使，所以D正确， 故选：C. 2.如图，在四面体中，，点为的中点，，则(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 3.在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱的几何性质，结合空间向量的基本定理，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】如图所示，    ， 故 ， 在直三棱柱，易知，， 在中，由，则， 由，则， 则. 答案：C. 4.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　) A．50 m B． m C．60 m D．70 m 【答案】D 【分析】把向量拆分为,再平方可得|． 【详解】因为, 所以||2==||2+||2+||2+2() =302++402+2(0+0+30·40·cos60°)=4900,于是||=70m, 故甲、乙两人相距70m.选D. 【点睛】线段长度，即向量模常用方法是用平方处理，如本题通过向量分拆再用平方可求得向量模||． 5.在三棱锥中，平面交平面于点，则下列说法中错误的是(   ) A．若，则 B．若，，，则为的垂心 C．若与所成的角为，与平面所成的角为，则 D．若，则与平面所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】对于A：利用向量的几何运算可判断；对于B：通过证明面，得到，进而通过同样的理由可得答案；对于C：通过列举反例来判断；对于D：通过计算可判断. 【详解】对于A：连接并延长交于点， 因为三点共线，则存在实数，使得， 又三点共线，则存在实数，使得， 则 ， 又， 所以，所以，正确； 对于B：因为，且，， 所以面，又面， 所以，同理，， 即为的垂心，正确； 对于C：当时，，当平面时，，此时，错误； 对于D：有已知得 即为与平面所成角， 作于，于，连接， 由明显可得， 则， 又，，，所以面，又面， 所以，同理， 则，又， 所以， 所以，正确. 故选：C. 6.已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    【答案】2 【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可. 【详解】底面为菱形，，， ， 为棱的中点, ， ，解得. 故答案为：. 8.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】(1)利用向量证明，然后可证； (2)以为基底表示出，然后根据求解可得； (3)利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】(1)在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. (2)当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    (3)， ， ， 所以 ，所以的长为 9.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】(1)根据空间向量线性运算法则计算可得； (2)根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； (3)设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】(1)． (2)证明：，， ，共面． (3)当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 【B组---提高题】 1.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】 (1)根据空间向量基本定理进行求解； (2)设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】(1)因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； (2)由(1)知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$