预习第02讲 空间向量的数量积-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积 1.掌握空间向量的夹角及其表示； 2.掌握空间向量的数量积的概念，并会求解空间向量的数量积及其范围问题； 3.掌握空间向量的数量积的性质及其运算法则。 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 3空间向量数量积的性质 (1) (2) 4 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【题型一】 空间向量数量积的运算 相关知识点讲解 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 角度1 求空间数量积 【典题1】 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知，是相互垂直的单位向量，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后(    ) A． B． C． D． 3.如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为(    ) A．1 B． C． D．2 4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则(    ) A． B．1 C． D．2 5.如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则(   ) A． B． C． D． 角度2 求空间数量积的范围 【典题1】 已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为(    ) A． B． C． D．0 2.已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 空间向量数量积的运用 相关知识点讲解 1空间向量数量积的性质 (1) (2) 2 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： (1) ； (2) 角度1 求线段长度 【典题1】 如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 三棱锥中，，若，则(    ) A．1 B．2 C． D． 2.已知是平行六面体，， ，，则(    ) A． B． C． D． 3.如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则(    ) A． B． C． D． 角度2 求空间夹角 【典题1】 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为(    ) A． B． C． D． 2.已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 角度3 证明垂直关系 【典题1】 如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 变式练习 1. 已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 2.如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长；(2)求证：． 3.已知正方形的边长为2，为等边三角形(如图1所示)．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点(如图2所示)． 求证：． 【A组---基础题】 1.如图，正方体的棱长为1，设，，，则(    )    A．1 B． C．0 D．2 2.在正三棱锥中，是的中心，，则等于( ) A． B． C． D． 3.已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为(    ) A． B． C． D．或 4. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部(含正方体表面)运动，则的最大值为(    ) A．2 B． C． D． 5.已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 6.如图，在三棱锥中，平面，则 7.如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 8.如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 9.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【B组---提高题】 1.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为(    )    A． B． C． D． 2.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的数量积 1.掌握空间向量的夹角及其表示； 2.掌握空间向量的数量积的概念，并会求解空间向量的数量积及其范围问题； 3.掌握空间向量的数量积的性质及其运算法则。 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 3空间向量数量积的性质 (1) (2) 4 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【题型一】 空间向量数量积的运算 相关知识点讲解 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作  则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 解 是正三角形，， ； . 角度1 求空间数量积 【典题1】 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，因为底面，所以底面， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 故D错误. 故选：C. 变式练习 1.已知，是相互垂直的单位向量，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】 是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 2.有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 3.如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解 . 【详解】依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 5.如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 角度2 求空间数量积的范围 【典题1】 已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用体积法求出球半径，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而， 则，正四棱锥的体积， 正四棱锥的表面积， 显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即， 在中，，于是，又EF是球O的一条直径， 因此， 显然，则，， 所以的取值范围为. 故选：A 变式练习 1. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为(    ) A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 2.已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 【题型二】 空间向量数量积的运用 相关知识点讲解 1空间向量数量积的性质 (1) (2) 2 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： (1) ； (2) 解 ； (2)方法1 ； 方法2 . 角度1 求线段长度 【典题1】 如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】过和分别作，， 在矩形，， ， ，则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ， ， ， 则， 即与之间距离为， 故选：B． 变式练习 1. 三棱锥中，，若，则(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算，表示出，根据可得，结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得， 即， 故选：A 2.已知是平行六面体，， ，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法和数量积求解即可. 【详解】由题意可得 ， 所以， 故选：A 3.如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 角度2 求空间夹角 【典题1】 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得 ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 变式练习 1.如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】不妨设， 由于，所以即为直线，所成的角, 故, 又， 所以，因此异面直线，成角余弦值为， 故选：A 2.已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合图象可得，再利用空间向量数量积的运算律可得两平面夹角的余弦值. 【详解】由题可知，、在直线上，，，且，，如下图， 故，，，，，， 因为， 故 ， 故，解得， 所以平面和平面的夹角的余弦值是. 故选：A 角度3 证明垂直关系 【典题1】 如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果. (2)将，分别用表示出来，根据，即可证明. 【详解】(1)设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 (2)证明：因为 ， 所以． 变式练习 1. 已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】要证，只要证，即证，结合空间向量分析运算． 【详解】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 2.如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 (1)，结合向量数量积运算，求模即可. (2)，由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【详解】(1)设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. (2)证明：∵，∴. 故. 3.已知正方形的边长为2，为等边三角形(如图1所示)．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点(如图2所示)． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的条件推出平面，进而可得，再利用空间向量的线性运算结合数量积与向量垂直的关系可得，利用线面垂直的判定定理即可得平面，则. 【详解】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴． 【A组---基础题】 1.如图，正方体的棱长为1，设，，，则(    )    A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 2.在正三棱锥中，是的中心，，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】 在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 3.已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 4. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部(含正方体表面)运动，则的最大值为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以，      点在球的正方体外部(含正方体表面)运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 5.已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 6.如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 7.如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 8.如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； (2)由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】(1)解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. (2)解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 9.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)利用及向量的运算律和数量积求解即可. (2)利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】(1) ， 所以， 即的长为. (2) ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 【B组---提高题】 1.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量的线性运算先算出，连接，作,交延长线于M，可证面,得到,即可证面,故可得与面所成角为，即可得到答案. 【详解】因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形, ,,又,, ,，, 所以 ,即， 连接，作,交延长线于M，易知,, 因为, 所以,又面,面, 所以面，又面,所以, 因为与相交，所以面， 所以与面所成角为， 在中，, 因为,所以, 故选：B.      2.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①10，②证明过程见解析 【分析】 (1)作出辅助线，证明出线面垂直，得到⊥，由三线合一得到，进而得到六条边均相等，证明出结论； (2)①设出边长，由余弦定理得到，设出，表达出，利用列出方程，求出，得到答案； ②取中点，令，则到平面的距离为，表达出，再利用四棱锥内切球半径得到，其中，进而得到不等式，求出答案. 【详解】(1)连接， 因为菱形中，， 所以和为等边三角形， 因为是中点，所以⊥， 因为是与的公垂线，所以⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 由三线合一得， 又，所以三棱锥为正四面体，    (2)不妨设，则，， 由余弦定理得， 设， 所以， 因为， 所以 ， 故， 其中，， ， 即，解得，故；    ②取中点，令，则到平面的距离为， ，      设四面体的表面积为S，则， 其中， 而， ， 所以， 即. 【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$