17.2023年沂源县学业水平第二次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 97 — — 98 — — 99 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. - 1 2 的倒数是 (　 　 ) A. -2 B. 2 C. - 1 2 D. 1 2 2. 下面几何体中,其主视图与左视图不相同的是 (　 　 ) A. 圆柱 B. 棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 3. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. (x+1) 2 = x2 B. 3a3 ÷(2a3)= a3 C. ( -x3) 2 = x6 D. 2a3 +3a2 = 5a5 4. 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 为了解我国中学生的体能情况,应采用普查的方式 B. 若甲队成绩的方差是 2,乙队成绩的方差是 3,说明甲队成绩比乙队成绩稳定 C. 明天下雨的概率是 99% ,说明明天一定会下雨 D. 一组数据 4,6,7,6,7,8,9 的中位数和众数都是 6 5. 如图,直线 l1∥l2,将等边三角形如图放置。 若∠α= 25°,则∠β 等于 (　 　 ) A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型。 在某高峰时段,单位时间进出路口 A,B,C 的机动车辆数如 图所示。 图中 x1,x2,x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB,BC,AC 的机动车辆数(假设:单位时 间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 x1,x2,x3 的大小关系(用“ >” “ <”或 “ = ”连接)是 (　 　 ) A. x1 >x2 >x3 B. x1 >x3 >x2 C. x3 >x1 >x2 D. x3 >x2 >x1 7. 若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入: ( -) 4 x2 - 5 ab / c 6 = 。 表示的计算式正确 的是 (　 　 ) A. -42 - 5 6 B. ( -4) 2 - 5 6 C. -42 - 6 5 D. ( -4) 2 -5×6 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB= 5,BC= 4。 P 是边 AC 上一动点,过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q, D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为 (　 　 ) A. 8 13 B. 15 13 C. 25 13 D. 32 13 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,点 Q 表示蜜蜂,它从点 P 出发,按照箭头所示的方向沿 P→A→B→P→C→D→P 的路径匀速飞 行,此飞行路径是一个以直线 l 为对称轴的轴对称图形,在直线 l 上的点 O 处(点 O 与点 P 不重合)利 用仪器测量了∠POQ 的大小。 设蜜蜂飞行时间为 x,∠POQ 的大小为 y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 (　 　 ) A B C D 10. 如图,E,F 分别为正方形 ABCD 的边 BC,CD 上一点,AC,BD 交于点 O,且∠EAF= 45°,AE,AF 分别交 对角线 BD 于点 M,N,则有以下结论:①△AOM∽△ADF;②EF=BE+DF;③∠AEB= ∠AEF= ∠ANM; ④S△AEF = 2S△AMN。 以上结论中正确的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 因式分解:x2 +2x-8 = 　 　 　 　 　 　 。 12. 已知 α,β 是一元二次方程 x2 -4x-1 = 0 的两实数根,则代数式(α-2)(β-2)= 　 　 　 　 。 13. 如图,已知菱形 ABCD 的边长是 10,O 是对角线的交点,过点 O 的三条直线将菱形分成阴影和空白 部分。 若菱形一条对角线长为 12,则图中阴影部分的面积为　 　 　 　 。 第 13 题图 　 　 　 　 图 1 　 　 图 2 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 14. 将一盒足量的牛奶按如图 1 所示倒入一个水平放置的长方体容器中,当容器中的牛奶刚好接触到点 P 时停止倒入,图 2 是它的平面示意图,请根据图中的信息求容器中牛奶的高度 CF 为　 　 　 　 cm。 15. 如图,∠AOB= 45°,过 OA 上到点 O 的距离分别为 1,3,5,7,9,11,…的点作 OA 的垂线与 OB 相交,得 到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为 S1,S2,S3,S4,…,观察图中的规律,第 n(n 为正整数)个 黑色梯形的面积 Sn = 　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)(1)计算:75× ( - 15 ) 2 -48÷24 -( -2) 0; (2)化简:(2+a)(2-a) +a(a-5b) +3a5b3 ÷( -a2b)。 17. (10 分)如图,已知△ABC,∠BAC= 90°。 (1)尺规作图:作△ABC 的高 AD(保留作图痕迹,不写作法); (2)若 AD= 4,tan∠BAD= 4 3 ,求 CD 的长。 18. (10 分)某校九年级两个班,各选派 10 名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛,各参赛选手的 成绩如下: 九(1)班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100; 九(2)班:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99。 通过整理,得到数据分析表如下: 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 九(1)班 100 m 93 93 12 九(2)班 99 95 n 93 8. 4 (1)直接写出表中 m,n 的值; (2)若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛,另外两个名 额在四个“98 分”的学生中任选两个,试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率。 17 2023 年沂源县学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 100 — — 101 — — 102 — 19. (10 分)准备一张矩形纸片,按如图操作:将△ABE 沿 BE 翻折,使点 A 落在对角线 BD 上的点 M,将 △CDF 沿 DF 翻折,使点 C 落在对角线 BD 上的点 N。 (1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形; (2)若四边形 BFDE 是菱形,AB= 2,求菱形 BFDE 的面积。 　 　 20. (12 分)小明午休时从单位出发,到距离单位 2 000 米的书店去买书,他先步行 800 米后,换骑公共自 行车(自行车投放点固定)到达书店,全程用时 15 分钟。 已知小明骑自行车的平均速度是步行速度 的 3 倍(转换出行方式时,所需时间忽略不计)。 (1)求小明步行的平均速度; (2)买完书后,小明原路返回,采取先骑公共自行车后步行。 此时离上班时间只剩 10 分钟,为按时 上班,他的骑行速度提升到原来的 1. 5 倍。 问:小明按原来的步行速度能按时到单位吗? 若不能,他 的步行速度至少提升到多少米每分? 21. (12 分)如图,直线 AC 与函数 y= - 6 x 的图象相交于点 A( -1,m),与 x 轴交于点 C(5,0)。 (1)求 m 的值及直线 AC 的表达式; (2)直线 AE 在直线 AC 的上方,满足∠CAE= ∠CAO,求直线 AE 的表达式; (3)若 D 是线段 AC 上一点,将 OD 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 OD′,点 D′恰好落在函数 y = - 6 x 的图 象上,求点 D 的坐标。 22. (13 分)如图,☉O 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在△ABC 内),分别与 AB,CB 的延长线 交于点 D,E,连接 DE,BF⊥EC 交 AE 于点 F。 (1)求证:BD=BE; (2)当 AF ∶ EF= 4 ∶ 3,AC= 8 时,求 AE 的长; (3)设AF EF =m,tan∠DAE=n。 求 n 关于 m 的函数表达式。 　 　 备用图 23. (13 分)在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 -5ax+4a 与 x 轴交于 A,B(点 A 在点 B 的左侧)两点,与 y 轴交于点 C。 (1)如图 1,连接 AC,BC,若△ABC 的面积为 3,求抛物线的表达式; (2)如图 2,P 为第四象限抛物线上一点且在直线 BC 的下方,连接 PC。 若∠BCP = 2∠ABC,求点 P 的横坐标; (3)如图 3,在(2)的条件下,点 F 在 AP 上,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,点 K 在 PH 的延长线上,AK = KF,∠KAH= ∠FKH,PF= -4 2 a,连接 KB 并延长交抛物线于点 Q,求 PQ 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 得 a+b+c= 0, 16a+4b+c= 0, c= 2。 { 解得 a= 1 2 , b= - 5 2 , c= 2。 ì î í ï ïï ï ïï ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 - 5 2 x+2。 (2)设直线 BC 的表达式为 y= kx+d。 把点 B(4,0),C(0,2)分别代入,得 4k+d= 0, d= 2。{ 解得 k= - 1 2 , d= 2。 { ∴ 直线 BC 的表达式为 y= - 1 2 x+2。 设点 D( t,0),且 0<t<4,则点 M ( t,- 12 t+2 ) , N ( t, 12 t 2 - 5 2 t+2 ) , ∴ MN = - 1 2 t+ 2 - ( 12 t 2 - 5 2 t+ 2 ) = - 12 t 2 + 2t = - 1 2 ( t-2) 2 +2。 ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 t= 2 时,线段MN 最大,最大值为 2,此时点M 的坐标为(2,1)。 (3)设点 D(n,0),且 0<n<4, 则点 N ( n, 12 n 2 - 5 2 n+2 ) 。 又∵ 点 B(4,0),C(0,2), ∴ BD= 4-n,DN= 1 2 n2 - 5 2 n+2 ,OB= 4,OC= 2。 当△BDN∽△BOC 时, ∴ DN OC =BD BO ,即 1 2 n2 - 5 2 n+2 2 = 4-n 4 。 解得 n= 0 或 n= 4 或 n= 2。 ∵ 0<n<4, ∴ n= 0 或 n= 4 均不符合题意。 ∴ 当 n= 2 时,△BDN∽△BOC 成立, 此时点 N(2,-1)。 当△BDN∽△COB 时, ∴ DN OB =BD CO ,即 1 2 n2 - 5 2 n+2 4 = 4-n 2 。 解得 n= 4 或 n= -3 或 n= 5。 ∵ 0<n<4, ∴ n= 4 或 n= -3 或 n= 5 均不符合题意, 即△BDN∽△COB 不成立。 综上所述,以 B,D,N 为顶点的三角形能与△OBC 相似,此时点 N 的坐标是(2,-1)。 17 2023 年沂源县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B A C A B D D 1. A　 【解析】根据乘积等于 1 的两数互为倒数,可直 接得到- 1 2 的倒数是-2。 故选 A。 2. B　 【解析】A. 左视图与主视图是全等的矩形,高相 等,底边都是圆柱的底面圆的直径,故此选项不符 合题意;B. 主视图是一个矩形中间加一条竖的实 线,左视图是一个矩形,故此选项符合题意;C. 左视 图与主视图都是边长相等的两个正方形,故此选项 不符合题意;D. 左视图与主视图都是等腰三角形, 底边都是底面圆的直径,腰都是圆锥的母线,故此 选项不符合题意。 故选 B。 3. C　 【解析】A. (x+1) 2 = x2 +2x+1,原式计算错误,不 符合题意;B. 3a3 ÷(2a3)= 3 2 ,原式计算错误,不符 合题意;C. (-x3) 2 = x6,原式计算正确,符合题意; D. 2a3 与 3a2 不是同类项,不能合并,原式计算错 误,不符合题意。 故选 C。 4. B　 【解析】A. 由于被调查的人数较多,不适合普查 的方法进行调查,故此选项错误;B. 甲队的方差小 于乙队的方差,故甲队成绩比乙队成绩稳定,故此 选项正确;C. 明天下雨的概率是 99% ,属于随机事 件,故此选项错误;D. 将这组数据从小到大排列,中 间的数是 7,故中位数是 7,这组数据中 6 和 7 都出 现了 2 次,故众数是 6 和 7,故此选项错误。 故选 B。 5. A　 【解析】如图,过点 B 作 BD∥l1,则∠CBD= ∠β。 ∵ l1∥l2,∴ BD∥l2。 ∴ ∠DBA= ∠α= 25°。 ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠ABC= 60°。 ∴ ∠β = ∠CBD = ∠ABC- ∠DBA = 60°-25° = 35°。 故选 A。 6. C　 【解析】∵ x1 = 30+(x3 -35)= x3 -5,∴ x3 >x1。 ∵ x2 = 50+(x1 -55)= x1 -5,∴ x1 >x2。 ∴ x3 >x1 >x2。 故选 C。 7. A　 【解析】依题意,得表示的计算式为-42 - 5 6 。 故 选 A。 8. B　 【解析】∵ ∠C= 90°,AB= 5,BC= 4, ∴ AC= AB2 -BC2 = 3。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— ∵ PQ∥AB,∴ ∠ABD= ∠BDQ。 ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠QBD。 ∴ ∠QBD= ∠BDQ。 ∴ QB=QD。 ∵ D 为线段 PQ 的中点,∴ QP= 2QD= 2QB。 ∵ PQ∥AB,∴ CP CA =CQ CB =PQ AB ,即CP 3 = 4-QB 4 = 2QB 5 。 解得 QB= 20 13 ,CP= 24 13 。 ∴ AP=CA-CP= 15 13 。 故选 B。 9. D　 【解析】∵ 蜜蜂按照箭头所示的方向沿 P→A→ B→P→C→D→P 的路径匀速飞行, ∴ ∠POQ 由 0°先增大再减小到 0°,再增大再减小 到 0°。 当直线 OQ 与圆相切时∠POQ 最大,角度增大的过 程中蜜蜂所经过的路程是圆的优弧大于角度减小 过程中蜜蜂所经过的路程, ∵ 蜜蜂按照箭头所示的方向沿 P→A→B→P→C→ D→P 的路径匀速飞行, ∴ ∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小 的过程用的时间。 故选 D。 10. D　 【解析】如图,把△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到△ABH。 由旋 转 的 性 质, 得 BH = DF, AH = AF, ∠BAH = ∠DAF。 ∵ ∠EAF= 45°, ∴ ∠EAH=∠BAH+∠BAE = ∠DAF + ∠BAE = 90° - ∠EAF= 45°。 ∴ ∠EAH= ∠EAF= 45°。 在△AEH 和△AEF 中, AH=AF, ∠EAH= ∠EAF, AE=AE, { ∴ △AEH≌△AEF(SAS)。 ∴ EH=EF,∠AEB= ∠AEF。 ∴ EF=BE+BH=BE+DF。 故②正确; ∵ ∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN, ∠AEB = 90° - ∠BAE = 90°- ( ∠HAE - ∠BAH) = 90°-(45°-∠BAH)= 45°+∠BAH, ∴ ∠ANM= ∠AEB。 ∴ ∠AEB= ∠AEF= ∠ANM。 故③正确; ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠AOM= ∠ADF= 90°。 ∵ ∠MAO= 45°-∠NAO,∠DAF= 45°-∠NAO, ∴ ∠MAO=∠DAF。 ∴ △AOM∽△ADF。 故①正确; 连接 NE。 ∵ ∠MAN= ∠MBE= 45°,∠AMN= ∠BME, ∴ △AMN∽△BME。 ∴ AM BM =MN ME 。 ∴ AM MN =BM ME 。 ∵ ∠AMB= ∠EMN,∴ △AMB∽△NME。 ∴ ∠AEN= ∠ABD= 45°。 ∵ ∠EAN= 45°,∴ ∠NAE= ∠NEA= 45°。 ∴ △AEN 是等腰直角三角形。 ∴ AE= 2AN。 ∵ ∠AEF= ∠BEM,∠FAE= ∠MBE= 45°, ∴ △AFE∽△BME。 ∵ △AMN∽△BME,∴ △AMN∽△AFE。 ∴ MN EF =AN AE = 1 2 。 ∴ EF= 2MN。 ∴ S△AMN S△AEF =MN 2 EF2 = 1 ( 2) 2 = 1 2 。 ∴ S△AEF = 2S△AMN。 故④正确。 故选 D。 11. (x+4)(x-2)　 【解析】原式=(x+4)(x-2)。 12. -5　 【解析】根据题意,得 α+β = 4,αβ = -1。 ∴ 原 式=αβ-2(α+β)+4 = -1-2×4+4 = -1-8+4 = -5。 13. 48　 【解析】如图,∵ O 是菱形两条对角线的交点, 菱形 ABCD 是中心对称图形, ∴ △OEG≌ △OFH,四边形 OMAH≌四边形 ON- CG,四边形 OEDM≌四边形 OFBN。 ∵ 菱形 ABCD 的边长是 10,菱形一条对角线长 为 12, ∴ 可得菱形的另一条对角线长为 16。 ∴ 阴影部分的面积 = 1 2 S菱形ABCD = 1 2 × 1 2 × 12 × 16 = 48。 14. ( 12- 5 32 ) 　 【解析】在 Rt△ABP 中,∵ ∠APB = 90°,∠ABP= 30°,AB= 10 cm, ∴ AP= 1 2 AB= 5 cm,∠BAP= 60°。 ∴ ∠EAP= 30°。 ∴ EP= 1 2 AP= 5 2 cm。 ∵ EF=AB= 10 cm,∴ PF=EF-EP= 15 2 cm。 ∵ EF∥AB,∴ ∠BPF= ∠ABP= 30°。 ∵ ∠BFP= 90°,∴ tan 30° =BF PF 。 ∴ BF= 15 2 × 3 3 = 5 3 2 (cm)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— ∴ CF=BC-BF= ( 12-5 32 ) cm。 15. 8n-4　 【解析】∵ ∠AOB = 45°,过 OA 上到点 O 的 距离分别为 1,3,5,7,9,11,…的点作 OA 的垂线 与 OB 相交,所有梯形的高为 3- 1 = 7- 5 = 11- 9 = 2, ∴ 第 1 个直角梯形的上底、下底分别为 1,3; 第 2 个直角梯形的上底、下底分别为 5,7; 第 3 个直角梯形的上底、下底分别为 9,11。 ∴ 第 n 个直角梯形的上底、下底分别为 4n-3,4n-1。 ∴ 第 n ( n 为正整数) 个黑色梯形的面积 Sn = 1 2 (4n-3+4n-1)×2 = 8n-4。 16.解:(1)原式= 75× 1 25 -48÷16-1 = 3-3-1 = -1。 (2)原式= 4-a2 +a2 -5ab-3a3b2 = 4-5ab-3a3b2 。 17.解:(1)如图,线段 AD 即为所求。 (2)在 Rt△ADB 中,tan∠BAD= 4 3 ,AD= 4, ∴ BD= 16 3 。 ∵ ∠BAC= ∠ADB= ∠ADC= 90°, ∴ ∠BAD+∠CAD= 90°,∠CAD+∠C= 90°。 ∴ ∠BAD= ∠C。 ∴ △ADB∽△CDA。 ∴ AD2 =BD·CD。 ∴ CD= 3。 18.解:(1)m = 1 10 ×(88+ 91+ 92+ 93+ 93+ 93+ 94+ 98+ 98+100)= 94。 中位数 n= 1 2 ×(95+96)= 95. 5。 (2)用 A,B 表示九(1) 班两名 98 分的同学,a,b 表示九(2)班两名 98 分的同学。 画树状图如下: 共有 12 种等可能的情况,其中另外两个决赛名额 落在同一个班的情况有 4 种,所以另外两个决赛 名额落在同一个班的概率= 4 12 = 1 3 。 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD,AD∥BC。 ∴ ∠ABD= ∠CDB。 由折叠知∠EBD= 1 2 ∠ABD,∠FDB= 1 2 ∠CDB, ∴ ∠EBD= ∠FDB。 ∴ BE∥DF。 ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形。 (2)解:∵ 四边形 BFDE 是菱形,∴ BE=DE。 由折叠知∠EMB= ∠A= 90°,BM=AB= 2。 ∴ DM=BM= 2。 ∴ BD= 4。 由勾股定理,得 AD= 2 3 。 设 DE= x,则 AE= 2 3 -x,BE= x。 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 AE2 +AB2 =BE2 , 即(2 3 -x) 2 +22 = x2 。 解得 x= 4 3 3 。 ∴ 菱形 BFDE 的面积为4 3 3 ×2 = 8 3 3 。 20.解:(1)设小明步行的平均速度为 x 米 /分,则小明 骑自行车的平均速度为 3x 米 /分。 根据题意,得800 x +2 000-800 3x = 15。 解得 x= 80。 经检验,x= 80 是原方程的解,且符合题意。 ∴ 3x= 240。 答:小明步行的平均速度为 80 米 /分。 (2)由(1)得小明原来的骑行速度为 240 米 /分。 ∵ 2 000-800 240×1. 5 +800 80 = 13 1 3 (分),13 1 3 >10, ∴ 小明按原来的步行速度不能按时到单位。 设他的步行速度应提升到 y 米 /分。 根据题意,得 2 000- 800+ ( 10- 2 000-800 240×1. 5 ) y≥ 2 000。 解得 y≥120。 答:小明按原来的步行速度不能按时到单位,他的 步行速度至少提升到 120 米 /分。 21.解:(1)将点 A(-1,m)代入函数 y= - 6 x 中, 得 m= - 6-1 。 ∴ 点 A(-1,6)。 设直线 AC 的表达式为 y= kx+b(k≠0)。 经过 A(-1,6),C(5,0)两点, ∴ -k+b= 6, 5k+b= 0。{ 解得 k= -1, b= 5。{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= -x+5。 (2)如图 1,在 AE 上截取 AF,使得 AF=AO。 在△ACO 和△ACF 中, AO=AF, ∠CAO= ∠CAF, AC=AC, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— ∴ △ACO≌△ACF(SAS)。 ∴ CO=CF,AF=AO= (-1) 2 +62 = 37 。 在 y= -x+5 中,令 y= 0,则 x= 5, ∴ CO=CF= 5。 设点 F(a,b)。 ∴ AF= (-1-a) 2 +(6-b) 2 , CF= (5-a) 2 +(0-b) 2 。 ∴ (a+1) 2 +(6-b) 2 = 37, (5-a) 2 +b2 = 25。{ 解得 a= 5, b= 5{ 或 a= 0, b= 0{ (舍去)。 ∴ 点 F 的坐标为(5,5)。 设直线 AE 的表达式为 y= k′x+b′(k′≠0)。 经过点 F(5,5),点 A(-1,6), ∴ 5 = 5k′+b′, 6 = -k′+b′。{ 解得 k′= - 1 6 , b′= 35 6 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AE 的表达式为 y= - 1 6 x+35 6 。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,设 OD 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到 OD′,则∠DOD′= 90°,过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N, 过点 D′作 D′M⊥x 轴于点 M。 ∵ ∠D′OM+∠DON= 90°,∠D′OM+∠OD′M= 90°, ∴ ∠DON= ∠OD′M。 在△D′OM 和△ODN 中, ∠OD′M= ∠DON, ∠D′MO= ∠OND, OD′=OD, { ∴ △D′OM≌△ODN(AAS)。 ∴ OM=DN,D′M=ON。 设点 D(d,-d+ 5),则 DN = OM = -d+ 5,ON = D′M =d。 ∵ 点 D′在第二象限, ∴ D′(d-5,d)在 y= - 6 x 上。 ∴ d= - 6 d-5 。 解得 d1 = 2,d2 = 3。 ∴ 点 D 的坐标为(2,3)或(3,2)。 22. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠BAC= ∠C= 60°。 ∵ ∠DEB= ∠BAC= 60°, ∠D= ∠C= 60°, ∴ ∠DEB= ∠D。 ∴ BD=BE。 (2)解:如图,过点 A 作 AG ⊥BC 于点 G。 ∵ △ABC 是等边三角形, AC= 8, ∴ BG=CG = 1 2 BC = 1 2 AC = 4, ∠BAG= ∠CAG= 30°。 ∴ AG= 3BG= 4 3 。 ∵ BF⊥EC,∴ BF∥AG。 ∴ AF EF =BG BE 。 ∵ AF ∶ EF= 4 ∶ 3,∴ BE= 3 4 BG= 3。 ∴ EG=BE+BG= 3+4 = 7。 在 Rt△AEG 中,AE= AG2 +EG2 = 48+49 = 97。 (3)解:如图,过点 E 作 EH⊥AD 于点 H。 ∵ ∠EBD= ∠ABC= 60°,∴ sin∠EBD=EH BE = 3 2 。 ∴ EH= 3 2 BE,BH= 1 2 BE。 ∵ BG BE = AF EF =m,∴ BG=mBE。 ∴ AB=BC= 2BG= 2mBE。 ∴ AH=AB+BH= 2mBE+ 1 2 BE = ( 2m+ 12 )BE。 在 Rt△AHE 中, tan∠EAD=EH AH = 3 2 BE ( 2m+ 12 )BE = 3 4m+1 。 ∴ n= 3 4m+1 。 23.解:(1)当 y= 0 时,ax2 -5ax+4a= 0, 解得 x1 = 1,x2 = 4,则点 A(1,0),B(4,0)。 ∴ AB= 3。 ∵ △ABC 的面积为 3, ∴ 1 2 ×3×OC= 3。 解得 OC= 2,则点 C(0,-2)。 把点 C(0,-2)代入 y=ax2 -5ax+4a,得 4a= -2。 解得 a= - 1 2 。 ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x-2。 (2)如图 1,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,过点 C 作 CD⊥PH 于点 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 设点 P(x,ax2 - 5ax+ 4a),则 PD = 4a-(ax2 - 5ax+ 4a) = -ax2 +5ax。 ∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠BCD。 ∵ ∠BCP= 2∠ABC,∴ ∠PCD= ∠ABC。 ∴ Rt△PCD∽Rt△CBO。 ∴ PD ∶ CO=CD ∶ BO, 即(-ax2 +5ax) ∶ (-4a)= x ∶ 4。 解得 x1 = 0,x2 = 6。 ∴ 点 P 的横坐标为 6。 图 1 　 图 2 (3)如图 2,过点 F 作 FG⊥PK 于点 G。 ∵ AK=KF,∴ ∠KAF= ∠KFA。 ∵ ∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA= ∠FKH+∠KPA, ∠KAH= ∠FKH, ∴ ∠PAH= ∠KPA。 ∴ HA=HP。 ∴ △AHP 为等腰直角三角形。 ∵ 点 P(6,10a), ∴ -10a= 6-1,解得 a= - 1 2 。 在 Rt△PFG 中,∵ PF= -4 2a= 2 2 ,∠FPG= 45°, ∴ FG=PG= 2 2 PF= 2。 在△AKH 和△KFG 中, ∠AHK= ∠KGF, ∠KAH= ∠FKG, KA=FK, { ∴ △AKH≌△KFG(AAS)。 ∴ KH=FG= 2。 ∴ 点 K(6,2)。 设直线 KB 的表达式为 y=mx+n。 把点 K(6,2),B(4,0)代入, 得 6k+b= 2, 4k+b= 0。{ 解得 k= 1, b= -4。{ ∴ 直线 KB 的表达式为 y= x-4。 当 a= - 1 2 时, 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x-2。 解方程组 y= x-4, y= - 1 2 x2 + 5 2 x-2,{ 得 x= -1,y= -5{ 或 x= 4,y= 0。{ ∴ 点 Q(-1,-5)。 ∵ 点 P(6,-5), ∴ PQ∥x 轴。 ∴ PQ= 7。 18 2023 年博山区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C D C A B A B D 1. B　 【解析】选项 A,C,D 都不能找到一个点,使图 形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合,所以不 是中心对称图形;选项 B 能找到一个点,使图形绕 该点旋转 180°后与原来的图形重合,所以是中心对 称图形。 故选 B。 2. B　 【解析】A. 3 和 | - 3 | = 3 不互为相反数,故此选 项不符合题意;B. - | -3 | = -3 和-(-3)= 3 互为相 反数,故此选项符合题意;C. -3 和 3 -27 = -3 不互 为相反数,故此选项不符合题意;D. - 3 和 1 3 不互 为相反数,故此选项不符合题意。 故选 B。 3. C　 【解析】根据按键顺序可知算式为3 3。 故选 C。 4. D　 【解析】A. x3 与-x 不能合并,故此选项不符合 题意;B. ( - 2x2 ) 3 = - 8x6,故此选项不符合题意; C. (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4, 故此选项不符合题 意; D. (2x2y)÷(2xy)= x,故此选项符合题意。 故选 D。 5. C　 【解析】由电路图可知,当同时闭合开关 S1 和 S2 或 S1 和 S3 或 S1 和 S4 时,灯泡能发光,画树状图 如下: 共有 12 种等可能的结果,其中随机闭合两个开关 灯泡能发光的结果有 6 种, ∴ 灯泡能发光的概率为 6 12 = 1 2 。 故选 C。 6. A　 【解析】△ACD 的周长为 AC+CD+AD,△BCD 的 周长为 BC+CD+BD。 ∵ AC= 9 cm,BC = 3 cm,要使△ACD 和△BCD 的周 长差是 6 cm, ∴ AC+CD+AD-(BC+CD+BD)= 6,即 9+CD+AD- (3+CD+BD)= 6。 ∴ AD-BD = 0。 ∴ AD =BD。 故 CD 是边 AB 上的中 线。 故选 A。 7. B　 【解析】∵ 平均数为 23, ∴ 30 ×2+25x+20y+15 10 = 23。 ∴ 25x+20y= 155,即 5x+4y= 31。 ∵ x+y= 10-2-1,∴ x= 3,y= 4。 ∴ 中位数 b= 20 +25 2 = 22. 5,众数 a= 20。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26—