6.2023年周村区学业水平第一次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 31 — — 32 — — 33 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列实数中,无理数是 (　 　 ) A. 16 B. 3 1 9 C. (π+5) 0 D. 3 7 2. 下列图案,是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 3. 上网搜索“淄博烧烤”,网页显示找到相关结果约 31 600 000 个。 数据 31 600 000 用科学记数法表示 为 (　 　 ) A. 3. 167 B. 3. 16×106 C. 3. 16×107 D. 31. 6×106 4. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. ( -2a3) 2 = 4a6 B. a2·a3 =a6 C. 3a+a2 = 3a3 D. (a-b) 2 =a2 -b2 5. 化简 4 x2 -4 + 1 x+2 的结果是 (　 　 ) A. x-2 B. 1 x+2 C. 1 x-2 D. 2 x+2 6. 如图,线段 AB 是☉O 的直径,C,D 为☉O 上两点。 如果 AB= 6,AC= 3,那么∠ADC 的度数是 (　 　 ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 7. 有一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置,它的左视图是 (　 　 ) A B C D 8. 每年的 4 月 23 日为“世界读书日”,某学校为了鼓励学生多读书,开展了“书香校园”的活动。 如图是 初三某班班长统计的全班 50 名学生一学期课外图书的阅读量(单位:本),则这 50 名学生图书阅读 数量的中位数、众数和平均数分别是 (　 　 ) A. 18,12,12 B. 12,12,12 C. 15,12,14. 8 D. 15,10,14. 5 9. 如图,在矩形 ABCD 中,过点 D 作对角线 AC 的垂线,垂足为 E,过点 E 作 BE 的垂线交 AD 于点 F。 如 果 AB= 3,BC= 4,那么 DF 的长是 (　 　 ) A. 3 B. 8 3 C. 12 5 D. 9 4 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 都在反比例函数 y= k x (x<0)的图象上,且△OAB 是等边三角形。 若 AB= 6,则 k 的值为 (　 　 ) A. -8 B. -9 C. -6 3 D. -12 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 计算:-1-2 = 　 　 　 　 。 12. 某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次,结果都是正面朝上,则他第 11 次抛掷这枚硬币,正面朝上 的概率是　 　 　 　 。 13. 如图,在▱ABCD 中,∠D= 100°,∠DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E,连接 BE。 若 AE = AB,则∠EBC 的度数为　 　 　 　 。 14. 魏晋时期,数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理,其中四边形 ABCD、四边形 EFGD 和四边形 EAIH 都是正方形。 如果图中△EMH 与△DMI 的面积比为16 9 ,那么 tan∠CDG 的值 为　 　 　 　 。 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,O 为坐标原点,点 A1,A2,A3,…,An 在 y 轴的正半轴上,点 B1,B2,B3,…,Bn 在函数 y= 1 3 x2 位于 第一象限的图象上。 若△OA1B1, △A1A2B2, △A2A3B3, …, △AnAn+1Bn+1 都是等边三角形,则线段 OA100 的长是　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)已知 x= 3 +1,y= 3 -1,求下列各式的值: (1)x2 +2xy+y2; (2)x2 -y2。 17. (10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,sin∠ABC= 3 5 。 (1)求 BC 的长; (2)BE 是 AC 边上的高,请你补全图形,并求 BE 的长。 18. (10 分)如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延 长线于点 F,且 AF=DC,连接 CF。 (1)求证:D 是 BC 的中点; (2)如果 AB=AC,试猜测四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论。 6 2023 年周村区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 34 — — 35 — — 36 — 19. (10 分)某校组织学生开展课外社会实践活动,现有甲、乙两种大客车可租,已知 1 辆甲种客车和 3 辆乙种客车共需租金 1 240 元,3 辆甲种客车和 2 辆乙种客车共需租金 1 760 元。 (1)求 1 辆甲种客车和 1 辆乙种客车的租金分别是多少元; (2)学校计划租用甲、乙两种客车共 8 辆,甲种客车每辆载客量 45 人,乙种客车每辆载客量 30 人,共 有师生 330 人,求最节省的租车费用是多少元。 20. (12 分)如图,AB 是☉O 的弦,C 为☉O 上一点,过点 C 作 AB 的垂线与 AB 的延长线交于点 D,连接 BO 并延长,与☉O 交于点 E,连接 CE,∠ABE= 2∠E。 (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2)若 tan E= 1 3 ,BD= 1,求 AB 的长。 21. (12 分)如图,双曲线 y= k x 上的一点 A(m,n),其中 n>m>0,过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连接 OA。 (1)已知△AOB 的面积是 3,求 k 的值; (2)将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACD,且点 O 的对应点 C 恰好落在该双曲线上,求m n 的值。 22. (13 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 BC 上的一点,过点 E 作 BD 的垂线交 BD 于点 P,交 AB 于 点 F,连接 AP 并延长交 BC 于点 G。 (1)求证:PE=PF; (2)若 BG=CE,求∠EPG 的度数; (3)若 AB= 6,EG= 1,求△PGE 的面积。 23. (13 分)抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B,C 的坐标分别为 (4,0)和(0,4),抛物线的对称轴为直线 x= 1,直线 AD 交抛物线于点 D(2,m)。 (1)求抛物线和直线 AD 的表达式; (2)如图 1,Q 是线段 AB 上一动点,过点 Q 作 QE∥AD,交 BD 于点 E,连接 DQ,求△QED 面积的最 大值; (3)如图 2,直线 AD 交 y 轴于点 F,M,N 分别是抛物线对称轴和抛物线上的点,若以点 C,F,M,N 为 顶点的四边形是平行四边形,求点 M 的坐标。 图 1 　 　 图 2 23.解:(1)把点 B(3,0)代入 y=-x2+(m2+3)x-(6m+9), 整理,得 m2 -2m-3 = 0。 解得 m1 = 3,m2 = -1。 当 m= 3 时,抛物线为 y= -x2 +12x-27, 此时与 x 轴的交点坐标为点 A(3,0),B(9,0),不 符合题意,舍去; 当 m= -1 时,抛物线为 y= -x2 +4x-3, 此时与 x 轴的交点坐标为点 A(1,0),B(3,0),符 合题意。 ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 +4x-3,抛物线的 对称轴是直线 x= 2。 (2)∵ 点 A 与点 B 是抛物线上的对称点,关于直 线 x= 2 对称, ∴ 连接 BC,则 BC 与对称轴的交点即为点 P。 ∵ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 +4x-3, ∴ 令 x= 0,得 y= -3。 ∴ 点 C(0,-3)。 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b。 把点 B(3,0),C(0,-3)代入,得 3k+b= 0, b= -3。{ 解得 k= 1, b= -3。{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= x-3。 把 x= 2 代入,得 y= -1。 ∴ 点 P 的坐标为(2,-1)。 (3)如图,在抛物线上取点 Q,连接 CQ,过点 A 作 AD⊥CQ 于点 D,过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,过点 C 作 CE⊥DF 于点 E。 ∵ ∠ACQ= 45°, ∴ AD=CD。 又∵ ∠ADC= 90°, ∴ ∠ADF+∠CDE= 90°。 ∵ ∠CDE+∠DCE= 90°, ∴ ∠DCE= ∠ADF。 又∵ ∠E= ∠AFD= 90°, ∴ △CDE≌△DAF(AAS)。 ∴ DE=AF,CE=DF。 设 DE=AF=a。 ∵ 点 A(1,0),∴ OA= 1。 ∵ OF=CE,CE=DF=a+1,OC= 3, ∴ DF= 3-a。 ∴ a+1 = 3-a。 ∴ a= 1。 ∴ 点 D(2,-2)。 又∵ 点 C(0,-3),由待定系数法可得直线 CD 的 表达式为 y= 1 2 x-3。 设点 Q m, 1 2 m-3( ) ,代入 y= -x2 +4x-3,得 12 m-3 = -m2 +4m-3。 解得 m= 7 2 ,m= 0(舍去)。 ∴ 点 Q 的坐标为 7 2 ,- 5 4( ) 。 6 2023 年周村区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A C B C C D B 1. B　 【解析】A. 16 = 4,4 是整数,属于有理数,故本 选项不符合题意;B. 3 1 9 是无理数,故本选项符合 题意;C. (π+5) 0 = 1,1 是整数,属于有理数,故本选 项不符合题意;D. 3 7 是分数,属于有理数,故本选 项不符合题意。 故选 B。 2. D　 【解析】A. 不是中心对称图形,故本选项不符合 题意;B. 不是中心对称图形,故本选项不符合题意; C. 不是中心对称图形,故本选项不符合题意;D. 是 中心对称图形,故本选项符合题意。 故选 D。 3. C　 【解析】31 600 000 = 3. 16×107。 故选 C。 4. A　 【解析】A. (-2a3) 2 = 4a6,故本选项正确; B. a2·a3 =a5,故本选项错误; C. 3a 与 a2 不能合并,故本选项错误; D. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2,故本选项错误。 故选 A。 5. C　 【解析】原式= 4 (x+2)(x-2) + x-2 (x+2)(x-2) = 2+x (x+2)(x-2) = 1 x-2 。 故选 C。 6. B　 【解析】如图,连接 BC。 ∵ 线段 AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ AB= 6,AC= 3, ∴ sin∠ABC=AC AB = 1 2 。 ∴ ∠ABC= 30°。 ∴ ∠ADC= ∠ABC= 30°。 故选 B。 7. C　 【解析】从左边看去是一个正方形,因中间有一 个圆柱形孔,圆柱的左视图是矩形,所以左视图的 正方形里面还有两条虚线。 故选 C。 8. C　 【解析】由折线统计图,得这组数据的中位数为 (12+ 18) ÷ 2 = 15,众数为 12,平均数为(7× 8+ 12× 17+18×15+21×10)÷50 = 14. 8。 故选 C。 9. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,AB= 3,BC= 4, ∴ AC= 5,CD= 3,AD= 4。 ∵ DE⊥AC, ∴ 1 2 AD·CD= 1 2 AC·DE,即 1 2 ×4×3 = 1 2 ×5×DE。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 解得 DE= 12 5 。 在 Rt△CED 中,由勾股定理,得 CE = CD2 -DE2 = 32 - 12 5( ) 2 = 9 5 , ∴ AE=AC-CE= 5- 9 5 = 16 5 。 ∵ DE⊥AC,BE⊥EF, ∴ ∠FED+∠FEA= 90°,∠FEA+∠BEA= 90°。 ∴ ∠BEA= ∠FED。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥DC。 ∴ ∠BAC= ∠DCA。 ∵ DE⊥AC,∴ ∠DCA+∠CDE= 90°。 ∴ ∠BAE+∠CDE= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC= 90°。 ∴ ∠FDE+∠CDE= 90°。 ∴ ∠BAE= ∠FDE。 ∴ △AEB∽△DEF。 ∴ AB DF = AE DE ,即 3 DF = 16 5 12 5 。 解得 DF= 9 4 。 故选 D。 10. B　 【解析】∵ 点 A,B 都在反比例函数 y = k x ( x< 0)的图象上, ∴ 设点 A a, k a( ) ,B b, k b( ) 。 ∵ △OAB 是等边三角形, ∴ AB=AO=BO= 6。 ∴ a2 + k a( ) 2 = b2 + k b( ) 2 = 36。 整理,得 a2 -b2 + k 2 a2 - k 2 b2 = 0。 ∴ (a2 -b2) 1- k2 a2b2( ) = 0。 ∴ 1- k 2 a2b2 = 0。 解得 k= -ab。 ∵ AB2 = b-a( ) 2 + k b - k a( ) 2 = 36, ∴ b2 +a2 -2ab+ k b( ) 2 + k a( ) 2 -2k 2 ab = 36, b2 + k b( ) 2 +a2 + k a( ) 2 -2ab-2k 2 ab = 36。 ∴ -2ab-2k 2 ab = -36,即 2k+2k 2 k = -36。 解得 k = -9。 故选 B。 11. -3　 【解析】-1-2 = -3。 12. 1 2 　 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第 11 次,有两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结 果都可能出现,故所求概率是 1 2 。 13. 30°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥DC,∠ABC= ∠D。 ∴ ∠DAB+∠D= 180°。 ∵ ∠D= 100°,∴ ∠DAB= 80°,∠ABC= 100°。 又∵ AE 是∠DAB 的平分线, ∴ ∠EAD= ∠EAB= 40°。 ∵ AE=AB,∴ ∠ABE= 1 2 ×(180°-40°)= 70°。 ∴ ∠EBC= ∠ABC-∠ABE= 100°-70° = 30°。 14. 4 7 　 【解析】∵ ∠EMH= ∠DMI,∠EHM= ∠DIM, ∴ △EMH∽△DMI。 ∵ △EMH 面积 ∶ △DMI 面积= 16 9 ,∴ EH DI = 4 3 。 ∵ 四边形 EAIH 是正方形, ∴ EH=AI,即AI DI = 4 3 。 令 AI= 4x,则 DI= 3x,∴ AD=AI+DI= 7x。 在△ADE 中,根据勾股定理,得 DE= AD2 +AE2 = (7x) 2 +(4x) 2 = 65 x。 ∵ 四边形 EFGD、四边形 ABCD 都是正方形, ∴ DG=DE= 65 x,CD=AD= 7x。 根据勾股定理,得 CG= DG2 -CD2 = 4x。 ∴ tan∠CDG=CG CD = 4 7 。 15. 10 100　 【解析】如图,分别过点 B1,B2,B3 作 y 轴 的垂线,垂足分别为 A,B,C。 设 OA1 =a,A1A2 = b,A2A3 = c。 在 Rt△OAB1 中,OB1 =OA1 =a,∠AOB1 = 60°, ∴ AB1 =OB1·sin 60° = 3 2 a, 同理 BB2 = 3 2 b,CB3 = 3 2 c, ∴ 点 B1 3 2 a, a 2( ) , B2 3 2 b,a+ b 2( ) , B3 3 2 c,a+b+ c 2( ) 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 把点 B1 3 2 a, a 2( ) 代入 y= 1 3 x2 中, 得 a 2 = 1 3 × 3 4 a2,解得 a= 2,即 OA1 = 2。 把点 B2 3 2 b,2+ b 2( ) 代入 y= 1 3 x2 中, 得 2+ b 2 = 1 3 × 3 4 b2,解得 b= 4,即 A1A2 = 4。 把点 B3 3 2 c,6+ c 2( ) 代入 y= 1 3 x2 中, 得 6+ c 2 = 1 3 × 3 4 c2,解得 c= 6,即 A2A3 = 6。 …… 依此类推可得 AnAn+1 = 2(n+1)。 ∴ OAn = 2+4+ 6+ 8+…+ 2n = 2×(1+ 2+ 3+…+n)= 2×n n +1( ) 2 =n n+1( ) 。 ∴ OA100 = 100×101 = 10 100。 16.解:x+y= 3 +1( ) + 3 -1( ) = 2 3 ,x-y = 3 +1( ) - 3 -1( ) = 2。 (1)原式= x+y( ) 2 = 2 3( ) 2 = 12。 (2)原式= x+y( ) x-y( ) = 2 3 ×2 = 4 3 。 17.解:(1)如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 AD=AB·sin∠ABC= 5× 3 5 = 3。 由勾股定理,得 BD= 52 -32 = 4。 ∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ BC= 2BD= 8。 (2)补全图形如图所示。 ∵ AB=AC,∴ ∠ACB= ∠ABC。 ∴ sin∠ACB= sin∠ABC= 3 5 。 ∵ BE⊥AC,sin∠ECB=BE BC , ∴ BE=BC·sin∠ECB= 8× 3 5 = 24 5 。 18. (1)证明:∵ E 是 AD 的中点,∴ AE=DE。 ∵ AF∥BC,∴ ∠FAE= ∠BDE,∠AFE= ∠DBE。 在△AFE 和△DBE 中, ∠FAE= ∠BDE, ∠AFE= ∠DBE, AE=DE, { ∴ △AFE≌△DBE(AAS)。 ∴ AF=DB。 ∵ AF=DC, ∴ DB=DC,即 D 是 BC 的中点。 (2)解:四边形 ADCF 是矩形。 证明:∵ AF=DC,AF∥CD, ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形。 ∵ AB=AC,BD=CD, ∴ AD⊥BC,即∠ADC= 90°。 ∴ 四边形 ADCF 是矩形。 19.解:(1)设 1 辆甲种客车的租金是 x 元,1 辆乙种 客车的租金是 y 元。 根据题意,得 x+3y= 1 240, 3x+2y= 1 760。{ 解得 x= 400, y= 280。{ 答:1 辆甲种客车的租金是 400 元,1 辆乙种客车 的租金是 280 元。 (2)设租甲种客车 a 辆,则租乙种客车(8-a)辆, 租车费用为 w 元。 根据题意,得 w= 400a+280(8-a)= 2 240+120a。 ∵ 45a+30(8-a)≥330,∴ a≥6。 ∵ w 的值随 a 值的增大而增大, ∴ 当 a = 6 时,w 最小,最小值为 2 240+ 120× 6 = 2 960。 答:最节省的租车费用是 2 960 元。 20. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ OE=OC,∴ ∠E= ∠OCE。 ∵ ∠BOC= ∠E+∠OCE,∴ ∠BOC= 2∠E。 ∵ ∠ABE= 2∠E,∴ ∠ABE= ∠BOC。 ∴ AB∥OC。 ∵ AB⊥CD,∴ OC⊥CD。 ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CD 是☉O 的切线。 (2)解:如图,连接 AC,BC。 ∵ BE 是☉O 的直径, ∴ ∠BCE= 90°。 ∴ ∠OCE+∠OCB= 90°。 ∵ ∠BCD+∠OCB= 90°,∴ ∠BCD= ∠OCE。 ∵ ∠OCE= ∠E, ∴ ∠BCD= ∠E,即 tan∠BCD= 1 3 =BD CD 。 ∵ BD= 1,∴ CD= 3。 ∵ ∠E= ∠DAC,∴ tan∠DAC= 1 3 =CD AD 。 ∴ AD= 9。 ∴ AB= 8。 21.解:(1)∵ 双曲线 y= k x 上的一点 A(m,n),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B, ∴ AB=n,OB=m。 又∵ △AOB 的面积是 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— ∴ 1 2 mn= 3。 ∴ mn= 6。 ∵ 点 A 在双曲线 y= k x 上,∴ k=mn= 6。 (2)如图,延长 DC 交 x 轴于点 E。 由旋转可得△AOB≌△ACD,∠BAD= 90°, ∴ AD=AB=n,CD=OB=m,∠ADC= 90°。 ∵ AB⊥x 轴, ∴ ∠ABE= 90°。 ∴ 四边形 ABED 是矩形。 ∴ ∠DEB= 90°。 ∴ DE=AB=n,CE=n-m, OE=m+n。 ∴ 点 C(m+n,n-m)。 ∵ 点 A,C 都在双曲线上, ∴ mn= (m+n)(n-m),即 m2 +mn-n2 = 0。 方程两边同时除以 n2 ,得 ( mn ) 2 + m n -1 = 0。 解得 m n = -1± 5 2 。 ∵ n>m>0,∴ m n = -1+ 5 2 。 22. (1)证明:∵ EF⊥BD,∴ ∠EPB= ∠FPB= 90°。 在正方形 ABCD 中,∠ABD= ∠CBD= 45°, ∴ ∠PFB= ∠PBF= 45°,∠PEB= ∠PBE= 45°。 ∴ PF=PB,PE=PB。 ∴ PE=PF。 (2)解:如图 1,过点 P 作 PM⊥AG 交 AB 于点 M。 ∴ ∠MPG= ∠EPB= 90°。 ∴ ∠EPG= ∠BPM。 ∵ ∠PEG= 45°,∠PBM= 45°, ∴ ∠PEG= ∠PBM。 在△EPG 和△BPM 中, ∠PEG= ∠PBM, EP=BP, ∠EPG= ∠BPM, { ∴ △EPG≌△BPM(ASA)。 ∴ EG=BM。 ∵ ∠BFP= ∠BEP= 45°,∴ BF=BE。 ∴ AB-BF=BC-BE,BF-BM=BE-GE。 ∴ AF=CE,FM=BG。 ∵ BG=CE,∴ AF=FM。 ∵ ∠APM= 90°, ∴ PF= 1 2 AM=AF。 ∴ ∠FPA= ∠FAP= 1 2 ∠PFB= 22. 5°。 ∴ ∠EPG= 22. 5°。 图 1 　 　 图 2 (3)解:如图 2,过点 F 作 FH∥BC 交 AG 于点 H,过 点 P 作 PN⊥BC 于点 N, ∴ ∠HFP= ∠GEP,∠HPF= ∠GPE。 在△FHP 和△EGP 中, ∠HFP= ∠GEP, PF=PE, ∠HPF= ∠GPE, { ∴ △FHP≌△EGP(ASA)。 ∴ FH=EG= 1。 ∵ FH∥BC,∴ △AFH∽△ABG。 ∴ FH BG =AF AB 。 设 CE= x,则 BG= 5-x,AF=CE= x, 则 1 5-x = x 6 ,解得 x1 = 2,x2 = 3。 ∴ BE= 4 或 3。 ∵ PE=PB,PN⊥BC,∴ N 为 BE 的中点。 ∴ PN= 1 2 BE。 ∴ PN= 2 或 3 2 。 ∴ S△PGE = 1 或 3 4 。 23.解:(1)根据题意,得 16a+4b+c= 0, c= 4, - b 2a = 1。 ì î í ï ï ï ï 解得 a= - 1 2 , b= 1, c= 4。 ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +x+4。 ∵ 点 B(4,0),对称轴为 x= 1,∴ 点 A(-2,0)。 ∵ 点 D(2,m)在抛物线 y= - 1 2 x2 +x+4 上, ∴ 点 D 的坐标是(2,4)。 设直线 AD 的表达式为 y= kx+b。 将 A(-2,0),D(2,4)代入,得 -2k+b= 0, 2k+b= 4。{ 解得 k= 1, b= 2。{ ∴ 直线 AD 的表达式为 y= x+2。 (2)如图 1,过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G。 设点 Q (m,0)。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 　 图 1 ∵ QE∥AD, ∴ △BEQ∽△BDA。 ∴ BQ BA =EG 4 ,即4 -m 6 =EG 4 。 解得 EG= 8 -2m 3 。 ∴ S△BEQ = 1 2 × ( 4 - m) × 8-2m 3 。 ∴ S△QED = S△BDQ -S△BEQ = 1 2 ×(4-m) × 4- 1 2 ×( 4- m)×8 -2m 3 = - 1 3 m2 + 2 3 m+ 8 3 = - 1 3 (m-1) 2 +3。 ∴ 当 m= 1 时,△QED 的面积取得最大值,为 3。 (3)∵ 直线 AD 交 y 轴于点 F,∴ 点 F(0,2)。 ∵ 抛物线的表达式是 y= - 1 2 x2 +x+4, ∴ 抛物线的顶点坐标为 ( 1, 92 ) 。 ①如图 2,若 CF 为平行四边形的一边,则点 N 与 抛物线的顶点重合,此时,MN=CF= 2, ∴ 点 M 的坐标为 ( 1, 52 )或 ( 1, 13 2 ) 。 图 2 　 　 图 3 ②如图 3,若 CF 为平行四边形的一条对角线,则 CF 与 M3N 互相平分,过点 M3 ,N 分别向 y 轴作垂 线,垂足分别为 H,K,M3N 与 HK 交于点 P,易得 △M3HP≌△NKP,点 P(0,3)。 ∴ 点 M3 ,N 的横坐标分别是 1,-1。 ∴ 点 N ( -1, 52 ) 。 ∴ PK= 3- 5 2 = 1 2 =HP。 ∴ HO= 3+ 1 2 = 7 2 。 ∴ 点 M3 ( 1, 72 ) 。 综上所述,点 M 的坐标为 ( 1, 52 ) 或 ( 1, 13 2 ) 或 ( 1, 72 ) 。 7 2023 年临淄区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B C A D A A D 1. C　 【解析】从左面看,是一列两个矩形,中间看不 见的线为虚线。 故选 C。 2. B　 【解析】 125 纳米 = 0. 000 000 125 米 = 1. 25 × 10-7 米。 故选 B。 3. B　 【解析】A. 出现次数最多的是 58,故众数是 58, 本选项说法错误,不符合题意;B. 将 8 个数据由小 到大排列为 28,36,42,58,58,70,75,83,中位数是 58+58 2 = 58,故本选项说法正确,符合题意;C. 该班 同学去年 1~ 8 月份课外阅读数量的平均数是 1 8 × (36+70+58+42+58+28+75+83)= 56. 25,故本选项 说法错误,不符合题意;D. 83- 28 = 55,故每月阅读 数量的极差是 55,本选项说法错误,不符合题意。 故选 B。 4. B　 【解析】∵ △ABC 是等腰三角形,AD 为 BC 边上 的高, ∴ DC= 1 2 BC。 ∵ BC= 44 cm,∴ DC= 1 2 BC= 22 cm。 ∵ △ABC 是等腰三角形,∠BAC= 126°, ∴ ∠ACB= ∠ABC= 27°。 ∵ AD 为 BC 边上的高,∠ACB= 27°, ∴ 在 Rt△ADC 中,AD=CD·tan 27°。 ∵ tan 27°≈0. 51,DC= 22 cm, ∴ AD≈0. 51×22 = 11. 22(cm)。 故选 B。 5. C　 【解析】A. a6 ÷a2 =a4,故本选项运算错误; B. (-2ab2) 3 = -8a3b6,故本选项运算错误; C. a2·a3 =a5,故本选项运算正确; D. a2 与 a 不是同类项,不能合并,故本选项运算错 误。 故选 C。 6. A　 【解析】由题意,知 m = - 23 + 9 2 -cos 60° = - 8+ 9 2 - 1 2 = -4,n= 22 - 3 64 = 4-4= 0,∴ m<n。 故选 A。 7. D　 【解析】由题可得直线 DF 是线段 AB 的垂直平 分线,AE 为∠DAC 的平分线, ∴ AD=BD,∠DAE= ∠CAE。 ∴ ∠B= ∠BAD= 30°。 ∴ ∠ADC= ∠B+∠BAD= 60°。 ∵ ∠C= 50°,∴ ∠DAC= 180°-60°-50° = 70°。 ∴ ∠DAE= ∠CAE= 1 2 ∠DAC= 35°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22—