4.2023年张店区学业水平第一次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 19 — — 20 — — 21 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 2 的平方根是 (　 　 ) A. ±2 B. 2 C. ± 2 D. 2 2. 如图是由 5 个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的俯视图是 (　 　 ) A B C D 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 3. 2023 年春节假期,山东省文化和旅游系统积极出台政策措施,丰富文旅产品供给,大力提振文旅消 费,文旅市场强劲复苏,迎来“开门红”。 据山东省文旅厅消息,春节期间,全省接待游客 3 916. 3 万人 次,实现旅游收入 260. 3 亿元。 数据“3 916. 3 万”可以用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 3 916. 3×104 B. 0. 391 63×108 C. 3. 916 3×106 D. 3. 916 3×107 4. 如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具,经测量∠2 = 105°,要使木条 a 与 b 平行,则 ∠1 的度数应为 (　 　 ) A. 45° B. 75° C. 105° D. 135° 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的数据信息。 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 /环 9. 2 9. 3 9. 3 9. 2 方差 0. 035 0. 015 0. 035 0. 015 请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是 (　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图,点 F 是△ABC 的内心,连接 BF,CF。 若∠BFC= 112°,则∠A 等于 (　 　 ) A. 44° B. 45° C. 50° D. 55° 7. 某市为“加快推进污水管网建设,着力提升居民生活品质”,需要铺设一段全长为 3 000 米的污水排放 管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加 25% ,结果 提前 30 天完成这一任务。 设原计划每天铺设 x 米管道,则根据题意,下列方程中正确的是 (　 　 ) A. 3 000 x +30 = 3 000 x(1+25% ) B. 3 000 x +30 = 3 000 x(1-25% ) C. 3 000 x = 3 000 x(1+25% ) +30 D. 3 000 x = 3 000 x(1-25% ) +30 8. 如图,△ABC 内接于☉O,∠ABC= 120°,AC= 2 3 ,则劣弧 AC 的长为 (　 　 ) A. 2 3 3 π B. 4 3 π C. 4 3 3 π D. 8 3 π 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 已知点 M(x1,y1),N(x2,y2)在函数 y= | 2x+b |的图象上,当 x1 +x2 >3 且 x1 <x2 时,都有 y1 <y2,则 b 的取 值范围为 (　 　 ) A. b>-3 B. -3<b≤0 C. b<3 D. 0≤b<3 10. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,且点 A( -6,0),S矩形OABC = 24。 反比例函数 y = k x 的 图象与 AB,BC 交于点 D,E,连接 DE,CD,则当△CDE 的面积最大时,k 的值为 (　 　 ) A. -24 B. -12 C. -6 D. -4 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 因式分解:a3 -a= 　 　 　 　 　 　 。 12. 在平面直角坐标系中,点 A( -3,2)关于原点的对称点为 B,则点 B 的坐标为　 　 　 　 　 　 。 13. 化简m -n m ÷ (m-2mn -n2 m )的结果为　 　 　 　 　 　 。 14. 如图,在△ABC 中,AC= 6,BC= 8,AB= 10,点 P,Q 分别在 AC,BC 上,且 AP = 1,BQ= 3,分别取 AB,PQ 的中点 E,F,连接 EF,则线段 EF 的长为　 　 　 　 。 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在平面直角坐标系中,点 C( 3 ,1),以点 C 为圆心,1 为半径作☉C,P 为☉C 上一动点,过点 P 分 别作 PA 垂直直线 y= 3x 于点 A,PB 垂直 x 轴于点 B。 若 PA+2PB=m,则 m 的取值范围为 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)解不等式组 4x-2>3(x-1), x-1 2 ≤7-x, ì î í ï ï ïï 并把解集在下面的数轴上表示出来。 17. (10 分)如图,在等边三角形 ABC 中,点 E,F 分别在 AC,BC 边上,AE=CF,连接 AF,BE,相交于点 P。 (1)求∠BPF 的度数; (2)求证:BP·BE=BF·BC。 18. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,4)在反比例函数 y = k1 x 第一象限的图象上,将点 A 先向 左平移 5 个单位长度,再向下平移 m 个单位长度后得到点 C,点 C 恰好落在反比例函数 y= k1 x 第三象 限的图象上,经过 O,C 两点的直线 y= k2x 交反比例函数第一象限的图象于点 B。 (1)求反比例函数 y= k1 x 和直线 y= k2x 的表达式; (2)连接 AC,AB,求△ABC 的面积; (3)请根据函数图象,直接写出关于 x 的不等式 k1 x >k2x 的解集。 19. (10 分)为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于 1 小时。 某校为了解学生参加户外活动的情况,对某班学生参加户外活动的时间进行调查,并将调查结果绘 制成了如下两幅不完整的统计图。 　 　 　 　 　 请根据图中提供的信息解答下列问题: (1)该班共有　 　 　 　 人;户外活动时间的众数是　 　 　 　 小时,中位数是　 　 　 　 小时;将条形统 计图补充完整; (2)若该校共有学生 1 200 人,请根据上述调查结果,估计该校学生中户外活动的时间不少于 1 小时 的学生总人数; 4 2023 年张店区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 22 — — 23 — — 24 — (3)某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解,决定对该班 5 位 同学小明(用 A 表示)、小刚(用 B 表示)、小敏(用 C 表示)、小颖(用 D 表示)、小亮(用 E 表示)中的 两个进行采访,则恰好采访到小明和小敏的概率是多少(请用列表法或画树状图的方法说明理由)? 20. (12 分)某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出,1 月销售 400 个,2,3 月这种台灯销售量持续 增加,在售价不变的基础上,3 月的销售量达到 576 个,设 2,3 两个月的销售量月平均增长率不变。 (1)求 2,3 两个月的销售量月平均增长率; (2)从 4 月起,在 3 月销售量的基础上,商场决定降价促销。 经调查发现,售价在 35 元至 40 元范围 内,这种台灯的售价每降价 0. 5 元,其销售量增加 6 个。 这种台灯售价定为多少时,商场 4 月销售这 种台灯获利 4 800 元? 21. (12 分)如图,大楼 AB 的高度为 37 m,小可为了测量大楼顶部旗杆 AC 的高度,他从大楼底部 B 处出 发,沿水平地面前行 32 m 到达 D 处,再沿着斜坡 DE 走 20 m 到达 E 处,测得旗杆顶端 C 的仰角为 30°。 已知斜坡 DE 与水平面的夹角∠EDG= 37°,图中点 A,B,C,D,E,G 在同一平面内。 (结果精确 到 0. 1 m,参考数据:sin 37°≈0. 60,cos 37°≈0. 80,tan 37°≈0. 75, 3 ≈1. 73) (1)求斜坡 DE 的铅直高度 EG 和水平宽度 DG; (2)求旗杆 AC 的高度。 22. (13 分)如图 1,边长为 2 2的正方形 ABCD 中,P 为 BC 上的一个动点,连接 AP,作 MN⊥AP 于点 E, 交 AB 于点 M,CD 于点 N。 (1)证明:MN=AP; (2)如图 2,连接 BD,线段 MN 交 BD 于点 F,E 为 AP 的中点。 ①当 BP= 1 时,求 EF 的长; ②线段 EF 是否存在最小值和最大值,若存在,请直接写出线段 EF 的最小值和最大值;若不存在,请 说明理由。 图 1 　 　 图 2 23. (13 分)如图 1,拋物线 y=ax2 +bx+c 交 x 轴于点 A( -1,0),B(3,0),交 y 轴于点 C(0,3),连接 BC。 (1)求抛物线的表达式; (2)如图 2,作 AD∥BC,交抛物线于点 D,P 为直线 BC 上方抛物线上的任意一点,连接 DP,与 BC 交 于点 E,连接 AE,AP,当△APE 面积最大时,求点 P 的坐标及△APE 面积的最大值; (3)如图 3,过点 B 作直线 l,M,N 分别是线段 AB 和直线 l 上的动点,连接 CM,CN,MN,∠CNM = 45°。 ①连接 AC,当△ABC 与△CMN 相似,且 S△CMN 最小时,求点 N 的坐标; ②在①的条件下,直线 l 上是否存在一动点 Q,使得∠MQN = 45°,若存在,请直接写出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由。 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 2 ∴ ∠OBG= ∠BEH。 ∴ tan ∠OBG = tan ∠BEH = BH EH = 1 2 。 ∴ m -t - 1 2 t2 + m-1 2 t+ m 2 = 1 2 。 解得 t= 3 或 m(舍去)。 ∴ 点 E 的坐标为(3,2m-6)。 由平移性质可知点 B 的横坐标向左平移(m+2)个 单位得到点 G 的横坐标, ∵ EF∥BG 且 EF=BG, ∴ 点 E 的横坐标向左平移(m+ 2) 个单位得到点 F 的横坐标,为 3-(m+2)= -m+1。 ∴ m -1 2 = -m+1。 解得 m = 1。 ∴ E(3,- 4),F ( 0,- 112 ) ,此时实际 点 E 不在 x 轴上方,而在 x 轴下方。 ②当 BG 为对角线时,设 BG 的中点为 M。 由中点坐标公式,得 xM = xB+xG 2 ,yM = yB+yG 2 。 ∴ 点 M 的坐标为 (m-22 ,- 1 4 m- 1 2 ) 。 ∵ 矩形对角线 BG,EF 互相平分, ∴ M 也是 EF 的中点。 ∴ 点 E 的横坐标为m -3 2 。 ∴ 点 E 的坐标为 (m-32 , m2 +2m-3 8 ) 。 ∵ ∠BEG= 90°,∴ EM= 1 2 BG。 ∴ m -3 2 -m -2 2( ) 2 + m 2 +2m-3 8 + m 4 + 1 2( ) 2 = 1 2 (m+2) 2 + ( 12 m+1 ) 2 。 整理,得 16+(m2 +4m+1) 2 = 20(m+2) 2 。 变形,得 16+[(m+2) 2 -3] 2 = 20(m+2) 2 。 换元,令 t= (m+2) 2 ,得 t2 -26t+25 = 0。 解得 t= 1 或 25。 ∴ (m+2) 2 = 1 或 25。 ∵ m>0,∴ m= 3,即点 E 的坐标为 ( 0, 32 ) 。 ∴ 点 F 的坐标为(1,-4)。 综上所述,点 E 的坐标为 ( 0, 32 ) ,点 F 的坐标为 (1,-4)或点 E 的坐标为(3,- 4),点 F 的坐标为 ( 0,-112 ) 。 4 2023 年张店区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B B A C B A B 1. C　 【解析】2 的平方根是± 2。 故选 C。 2. C　 【解析】从上面看第一列居下是一个小正方形, 第二列是两个小正方形,第三列居上是一个小正方 形。 故选 C。 3. D　 【解析】数据“3 916. 3 万”可以用科学记数法表 示为 3. 916 3×107。 故选 D。 4. B　 【解析】如图。 ∵ ∠2 = 105°, ∴ ∠3 = ∠2 = 105°。 ∴ 要使 b 与 a 平行, 则∠1+∠3 = 180°。 ∴ ∠1 = 180°-105° = 75°。 故选 B。 5. B　 【解析】∵ 甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均 数最大且相等,而乙的方差最小, ∴ 乙的成绩既高又最稳定。 ∴ 最合适的人选是乙。 故选 B。 6. A　 【解析】∵ 点 F 是△ABC 的内心, ∴ BF,CF 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线。 ∴ ∠FBC= 1 2 ∠ABC,∠FCB= 1 2 ∠ACB。 ∵ ∠BFC= 112°, ∴ ∠FBC+∠FCB= 180°-∠BFC= 180°-112° = 68°。 ∴ 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 68°。 ∴ ∠ABC+∠ACB= 136°。 ∴ ∠A= 180°-(∠ABC+∠ACB)= 44°。 故选 A。 7. C　 【解析】设原计划每天铺设 x 米管道,则实际每 天铺设 x(1 + 25% ) 米管道。 根据题意,列方程为 3 000 x = 3 000 x(1+25% ) +30。 故选 C。 8. B　 【解析】如图,作☉O 的直径 AD,连接 OC,CD。 ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ACD= 90°。 ∵ 四边形 DABC 内接于☉O, ∠ABC= 120°, ∴ ∠D= 180°-∠ABC= 60°。 ∴ ∠OAC= 30°,∠AOC= 120°。 ∴ AD= 2CD,AD2 =CD2 +AC2。 ∵ AC= 2 3,∴ AD2 = 1 2 AD( ) 2 +(2 3) 2。 ∴ AD= 4。 ∴ OA=OC= 1 2 AD= 2。 ∴ 劣弧 AC 的长为120π ×2 180 = 4 3 π。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— 9. A　 【解析】当 2x+b>0 时,y= 2x+b; 当 2x+b<0 时,y= -2x-b。 当 M(x1,y1)在 x= - b 2 的左侧时,画出图象如图: 由题意可知当 x1 +x2 2 = - b 2 ,x1 <x2 时,y1 = y2, 要想 x1 <x2 时,都有 y1 <y2 则必有 x1 +x2 2 >- b 2 。 ∵ x1 +x2 >3,∴ - b 2 ≤ 3 2 。 ∴ b≥-3。 当 M(x1,y1)在 x= - b 2 的右侧时,函数为增函数,满 足- b 2 <x1 即可。 ∵ x1 +x2 >3 且 x1 <x2,∴ x1 ≥ 3 2 。 ∴ - b 2 < 3 2 。 ∴ b>-3。 故选 A。 10. B　 【解析】∵ 点 A(-6,0),∴ OA= 6。 ∵ S矩形OABC = 24, ∴ AB= 4。 ∴ 点 B 的坐标为(-6,4)。 ∴ 设点 D ( -6, k-6 ) ,E ( k 4 ,4 ) 。 ∴ BD= 4+ k 6 ,CE= - k 4 。 ∴ S△CDE = 1 2 CE·BD= 1 2 ( - k 4 ) ( 4+ k 6 ) = - 1 48 k2 - 1 2 k= - 1 48 (k+12) 2 +3。 ∴ 当 k= -12 时,△CDE 的面积最大。 故选 B。 11. a(a-1)(a+1)　 【解析】a3 -a=a(a2 -1)= a(a+1)· (a-1)。 12. (3,- 2) 　 【解析】 ∵ 在平面直角坐标系中,点 A(-3,2)与点 B 关于原点对称,∴ 点 B 的坐标为 (3,-2)。 13. 1 m-n 　 【解析】原式=m -n m ÷ m 2 m -2mn -n2 m( ) =m-n m ÷m 2 -2mn+n2 m =m-n m · m (m-n) 2 = 1 m-n 。 14. 10 2 　 【解析】在△ABC 中,AC = 6,BC = 8,AB = 10,∴ AC2 +BC2 =AB2。 ∴ △ABC 是直角三角形,且∠ACB= 90°。 如图,以点 C 为原点,建立平面直角坐标系。 ∴ 点 A(0,6),B(-8,0),P(0,5),Q(-5,0)。 ∵ AB,PQ 的中点为 E,F, ∴ 点 E(-4,3),F - 5 2 , 5 2( ) 。 ∴ EF= - 5 2 +4( ) 2 + 3- 5 2( ) 2 = 10 2 。 15. 3 - 3 ≤m≤3 + 3 　 【解析】如图 1,延长 AP 交 x 轴于点 E,记☉C 与 x 轴相切的切点为 D,过圆心 C 作 FG 垂直直线 y = 3 x 于点 F,交 x 轴于点 G, 连接 OC,CD。 图 1 ∵ 直线 OA 的表达式为 y= 3 x, ∴ 3 = y x = tan∠AOB。 ∴ ∠AOB= 60°。 ∵ PA⊥OA,∴ ∠AEO= 90°-60° = 30°。 在 Rt△PBE 中,2PB=PE, ∴ PA+2PB=PA+PE=AE。 ∵ 点 C( 3,1),∴ 点 D( 3,0)。 ∴ tan∠COD= 1 3 = 3 3 。 ∴ ∠COD= 30°。 ∵ FG⊥OA,∴ ∠FGO= 90°-60° = 30°。 ∴ CG=OC= 2CD= 2。 ∴ FG=CF+CG= 3。 ①如图 2,当 A1E1 与☉C 相切时,AE 有最小值,过 点 E1 作 E1M⊥FG 于点 M, 图 2 ∴ 四边形 A1E1MF 是矩形。 ∴ A1E1 =FM。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— ∵ ∠FGO= 30°,E1M= 1,∴ MG= E1M tan 30° = 3。 ∴ 此时 A1E1 =FM=FG-MG= 3- 3。 ②如图 3,当 A2E2 与☉C 相切时,AE 有最大值,过 点 G 作 GN⊥A2E2 于点 N, 图 3 ∴ 四边形 FGNA2 是矩形。 ∴ A2N=FG。 ∵ ∠A2E2O= 30°,GN= 1,∴ NE2 = GN tan 30° = 3。 ∴ 此时 A2E2 =FG+NE2 = 3+ 3。 综上所述,m 的取值范围为 3- 3 ≤m≤3+ 3。 16.解: 4x-2>3(x-1),① x-1 2 ≤7-x。 ②{ 解不等式①,得 x>-1。 解不等式②,得 x≤5。 ∴ 原不等式组的解集为-1<x≤5。 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示。 17. (1)解:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAE= ∠ACF= 60°。 又∵ AE=CF,∴ △BAE≌△ACF(SAS)。 ∴ ∠ABE= ∠CAF。 ∴ ∠BPF = ∠ABP + ∠BAP = ∠CAF + ∠BAP = ∠BAC= 60°。 (2)证明:∵ ∠BPF= 60°,∠BCE= 60°, ∴ ∠BPF= ∠BCE。 ∵ ∠PBF= ∠CBE,∴ △BPF∽△BCE。 ∴ BP BC =BF BE 。 ∴ BP·BE=BF·BC。 18.解:( 1) ∵ 点 A( 1,4) 在反比例函数 y = k1 x 的图 象上, ∴ 4 = k1 1 。 解得 k1 = 4。 ∴ 反比例函数 y= k1 x 的表达式为 y= 4 x 。 由平移可知,点 C 的坐标为(-4,4-m)。 ∵ 点 C 在反比例函数 y= k1 x 的图象上, ∴ 4-m= 4-4 。 解得 m= 5。 ∴ 点 C 的坐标为(-4,-1)。 ∵ 点 C 在直线 y= k2x 上, ∴ -1 = -4k2 。 解得 k2 = 1 4 。 ∴ 直线 y= k2x 的表达式为 y= 1 4 x。 (2)∵ 经过 O,C 两点的直线 y= 1 4 x 交反比例函数 第一象限的图象于点 B, ∴ 联立 y= 1 4 x, y= 4 x 。 ì î í ï ï ï ï 解得 x= -4, y= -1{ 或 x= 4, y= 1。{ ∴ 点 B 的坐标为(4,1)。 ∵ 点 B 和点 C 关于原点对称,∴ S△ABC = 2S△ACO。 如图,连接 OA。 设直线 AC 的表达式 为 y= kx+b。 将点 A(1,4),C( - 4, -1)代入, 得 4 = k+b, -1 = -4k+b。{ 解得 k= 1, b= 3。{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= x+3。 ∴ 直线 AC 与 y 轴的交点点D 的坐标为点D(0,3)。 ∴ S△ACO = OD(xA-xC) 2 = 3×(1+4) 2 = 15 2 。 ∴ S△ABC = 2S△ACO = 2× 15 2 = 15。 (3)由图象可得关于 x 的不等式 k1 x >k2x 的解集为 x<-4 或 0<x<4。 19.解:(1)该班共有 10÷20% = 50(人), 活动 1. 5 小时的人数为 50×24% = 12, ∴ 户外活动时间的众数是 1 小时, 中位数是 1 小时。 补全条形统计图如下: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— (2)1 200×(1-20% )= 1 200×80% = 960(人)。 答:估计该校学生中户外活动的时间不少于 1 小 时的学生为 960 人。 (3)画树状图如下: 共有 20 种等可能的结果,其中恰好采访到小明和 小敏的结果有 2 种,所以恰好采访到小明和小敏 的概率= 2 20 = 1 10 。 20.解:(1)设 2,3 两个月的销售量月平均增长率为 x。 根据题意,得 400(1+x) 2 = 576。 解得 x1 = 0. 2 = 20% ,x2 = -2. 2(不合题意,舍去)。 答:2,3 两个月的销售量月平均增长率为 20% 。 (2)设这种台灯售价定为 y 元时,商场 4 月销售这 种台灯获利 4 800 元。 根据题意,得(y-30)[576+12(40-y)] = 4 800。 解得 y1 = 38,y2 = 80(不合题意,舍去)。 答:这种台灯售价定为 38 元时,商场 4 月销售这 种台灯获利 4 800 元。 21. 解:(1)在 Rt△DEG 中,∵ ∠EDG= 37°,DE= 20 m, ∴ EG=DE·sin 37°≈20×0. 60 = 12(m), DG=DE·cos 37°≈20×0. 80 = 16(m)。 (2) 如图, 过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H。 由题意,得 DB= 32 m。 ∴ EH=GB =GD+DB = 16+32 = 48(m)。 在 Rt△CEH 中, ∠CEH= 30°, ∴ CH=EH·tan 30° = 48× 3 3 = 16 3 (m)。 ∴ AC=CH+BH-AB= 16 3 +12-37≈2. 7(m)。 ∴ 旗杆 AC 的高度约为 2. 7 m。 22. (1)证明:如图 1,过点 B 作 BG∥MN,交 AP 于点 H,交 CD 于点 G。 ∵ MN⊥AP,∴ BG⊥AP。 由正方形 ABCD,得 AB=BC,AB∥CD,即 BM∥GN。 ∴ 四边形 BGNM 是平行四边形。 ∴ BG=MN。 ∵ ∠BAP+∠ABH= 90°,∠CBG+∠ABH= 90°, ∴ ∠BAP= ∠CBG。 在△BAP 和△CBG 中, ∠BAP= ∠CBG, AB=BC, ∠ABP= ∠BCG= 90°, { ∴ △BAP≌△CBG(ASA)。 ∴ AP=BG。 ∴ MN=AP。 图 1 　 　 图 2 (2)解:①如图 2,连接 AF,PF,CF,AC。 ∵ MN⊥AP,E 为 AP 的中点, ∴ MN 垂直平分 AP。 ∴ AF=PF。 ∵ 正方形 ABCD 关于 BD 对称,∴ AF=CF。 ∴ AF=PF=CF。 ∴ 点 A,P,C 在以点 F 为圆心,AF 为半径的圆上。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠ACP= 45°。 ∴ ∠AFP= 2∠ACP= 2×45° = 90°。 ∴ EF= 1 2 AP。 ∵ AP= AB2 +BP2 = 8+1 = 3, ∴ EF= 1 2 AP= 1 2 ×3 = 3 2 。 ②EF 存在最小值和最大值,EF 的最小值为 2 ,最 大值为 2。 由①知 EF= 1 2 AP。 ∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线, ∴ AC= (2 2 ) 2 +(2 2 ) 2 = 4。 当点 P 和点 B 重合时,AP = AB = 2 2 ,此时 AP 最小, ∴ EF 最小= 1 2 AP= 2 。 当点 P 和点 C 重合时,AP=AC= 4,此时 AP 最大, ∴ EF 最大= 1 2 AP= 2。 23.解:(1)将点 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)分别代入 y=ax2 +bx+c 中, 得 a-b+c= 0, 9a+3b+c= 0, c= 3。 { 解得 a= -1, b= 2, c= 3。 { ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3。 (2)如图 1,过点 P 作 PF∥BC,交 x 轴于点 F。 过 点 P 作 PH∥y 轴,交 BC 于点 H,过点 B 作 BG∥ y 轴,交 PF 于点 G, 则四边形 BGPH 是平行四 边形。 又∵ AD∥BC, ∴ AD∥PF,S△ADE =S△ADB,S△ADF =S△ADP。 ∴ S△APE =S△ADP-S△ADE =S△ADF-△ADB =S△BDF。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 　 图 1 设直线 BC 的表达式为 y= kx+n。 把点 B(3,0),C(0,3) 代入 y= kx+n 中, 得 3k+b= 0, n= 3。{ 解得 k= -1, n= 3。{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+3。 又∵ AD∥BC,∴ 设直线 AD 的表达式为 y= -x+p。 将点 A(-1,0)代入 y= -x+p 中,得 p= -1, ∴ 直线 AD 的表达式为 y= -x-1。 联立直线 AD 和抛物线的表达式, 得 y= -x-1, y= -x2 +2x+3。{ 解得 x= -1, y= 0{ 或 x= 4, y= -5。{ ∴ 点 D(4,-5)。 ∴ S△APE =S△BDF = BF· | yD | 2 = 5 2 BF。 ∵ 四边形 BGPH 是平行四边形, ∴ BG=PH。 ∵ ∠GFB= ∠CBO= 45°, ∴ BF=BG。 设 P(m,-m2 +2m+3)。 ∴ BF=BG=PH= -m2 +2m+3-(-m+3)= -m2 +3m。 ∴ S△APE = 5 2 BF = 5 2 ×( -m2 +3m) = - 5 2 m2 + 15 2 m = - 5 2 m- 3 2( ) 2 +45 8 。 ∴ 当点 P 的坐标为 3 2 , 15 4( ) 时,△APE 面积取得 最大值,为45 8 。 (3)①∵ 点 A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴ AC= 10 ,AB= 4,BC= 3 2 ,∠ABC= 45°。 ∵ ∠CNM= 45°,△ABC 与△CMN 相似, ∴ ∠ABC = ∠CNM, 点 N 对应点 B, 边 AC 对应 边 CM。 ∵ S△CMN 最小,且△ABC 与△CMN 相似,形状不变, ∴ 边 CM 最小时,S△CMN 最小,即 CM⊥x 轴,点 M 与点 O 重合,CM=CO= 3。 分两种情况: 当△ABC∽△MNC 时,AC MC = AB MN =BC NC , ∴ 10 3 = 4 MN = 3 2 NC 。 ∴ MN= 6 10 5 ,NC= 9 5 5 。 设点 N(m,n),而点 M(0,0),C(0,3), ∴ 由勾股定理,得 (m-0) 2 +(n-0) 2 = 6 10 5( ) 2 , (m-0) 2 +(n-3) 2 = 9 5 5( ) 2 。 ì î í ï ï ï ï 解得 m= 18 5 , n= 6 5 ì î í ï ï ï ï 或 m= - 18 5 , n= 6 5 ì î í ï ï ï ï (不合题意,舍去)。 ∴ 点 N 18 5 , 6 5( ) 。 当△CNM∽△ABC 时,CN AB =MN CB =CM AC , ∴ CN 4 = MN 3 2 = 3 10 。 ∴ CN= 6 10 5 ,MN= 9 5 5 。 设点 N(e,f),同理可得点 N 18 5 , 9 5( ) 。 综上所述,点 N 的坐标为 18 5 , 6 5( ) 或 18 5 , 9 5( ) 。 ②存在。 如图 2,过点 M 作 MF⊥直线 l 于点 F,过点 Q 作 QD⊥x 轴于点 D,过点 N 作 NE⊥x 轴于点 E。 当点 N 的坐标为 18 5 , 6 5( ) 时, 　 图 2 OE= 18 5 ,NE= 6 5 , ∴ BE = OE - OB = 18 5 - 3 = 3 5 。 在 Rt△BNE 中, tan∠NBE=NE BE = 6 5 3 5 = 2。 在 Rt△MFB 中,tan∠MBF= tan∠NBE=MF BF = 2, 即 MF= 2BF。 ∴ MB= MF2 +BF2 = 5BF。 ∴ cos∠MBF= BF MB = 1 5 ,sin∠MBF=MF MB = 2 5 。 又∵ BM= 3,∴ BF= 3 5 ,MF= 6 5 。 ∵ ∠MQN= 45°,MF⊥直线 l 于点 F, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— ∴ QF=MF= 6 5 。 ∴ BQ=QF+BF= 9 5 。 在 Rt△BDQ 中,tan∠MBF= 2,cos∠MBF= 1 5 , sin∠MBF= 2 5 , ∴ BD=BQ× 1 5 = 9 5 ,DQ=BQ× 2 5 = 18 5 。 ∴ MD=MB-BD= 3- 9 5 = 6 5 。 ∴ 直线 l 上存在一动点 Q,使得∠MQN = 45°,点 Q 的坐标为 6 5 ,- 18 5( ) 。 同理可得另一点的坐标为 9 5 ,- 18 5( ) 。 综上所述,点 Q 的坐标为 6 5 ,- 18 5( ) 或 9 5 ,- 18 5( ) 。 5 2023 年淄川区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D D A D A B A C 1. B　 【解析】696 000 千米 = 696 000 000 米 = 6. 96× 108 米。 故选 B。 2. C　 【解析】A. 是中心对称图形,但不是轴对称图 形,故本选项不符合题意;B. 既不是中心对称图形, 也不是轴对称图形,故本选项不符合题意;C. 是中 心对称图形,也是轴对称图形,故本选项符合题意; D. 不是中心对称图形,但是轴对称图形,故本选项 不符合题意。 故选 C。 3. D　 【解析】∵ 13 = 52 4 >49 4 ,∴ 13 > 7 2 = 3. 5。 ∴ -1<0<3. 5< 13。 ∴ 最大的数为 13。 故选 D。 4. D　 【解析】如图,过点 B 作 BG⊥AC,过点 D 作 DH⊥ CE,垂足分别为 G,H, 则∠GBC+∠GCB= 90°,∠BGC= ∠CHD= 90°。 ∵ AB=BC= 5,AC= 6,∴ GC= 1 2 AC= 3。 ∴ BG= BC2 -CG2 = 52 -32 = 4。 ∵ CD⊥BC,∴ ∠HCD+∠GCB= 90°。 ∴ ∠HCD= ∠GBC。 ∵ CD=BC= 5,∴ △CHD≌△BGC(AAS)。 ∴ CH=BG= 4。 ∵ CD=DE= 5,DH⊥CE,∴ CE= 2CH= 8。 故选 D。 5. A　 【解析】 2x+3>1,① x≤1。 ②{ 解不等式①,得 x>-1。 解不等式②,得 x≤1。 ∴ 不等式组的解集是-1<x≤1。 在数轴上表示如下: 故选 A。 6. D　 【解析】列表如下: 红 白 1 白 2 红 (红,红) (白 1,红) (白 2,红) 白 1 (红,白 1) (白 1,白 1) (白 2,白 1) 白 2 (红,白 2) (白 1,白 2) (白 2,白 2) 由表格可知共有 9 种等可能的结果,其中两次摸到 的球都是白球的结果有 4 种,所以两次摸到的球都 是白球的概率是 4 9 。 故选 D。 7. A　 【解析】∵ y= k(x+3)+b 可由 y = kx+b 向左平移 3 个单位长度而得到, 又∵ 直线 y= kx+b 与 x 轴交点的横坐标为 2, ∴ 直线 y= k(x+3)+b 与 x 轴交点的横坐标为-1。 ∴ 函数 y= k(x+3)+b 的图象如下: 观察图象知,不等式 k(x+3)+b<0 的解集是 x>-1。 故选 A。 8. B　 【解析】∵ 圆锥的底面周长= 2π×4 = 8π(cm), ∴ 侧面展开图的弧长为 8π cm。 ∴ 圆锥的母线长= 180° ×8π 120°π = 12(cm)。 故选 B。 9. A　 【解析】当点 P 在边 DC 上运动时,此时 0≤x≤ 6,如图 1,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC= 4,CD=AB= 6。 ∵ ∠DAB= 30°,AD= 4,∴ DE= 1 2 AD= 2。 ∴ y= 1 2 PD·DE= 1 2 x×2 = x。 图 1 图 2 当点 P 在边 CB 上运动时,此时 6<x≤10,如图 2,过 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51—