3.2021年淄博市初中学业水平考试-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 13 — — 14 — — 15 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 下列几何体中,其俯视图一定是圆的有 (　 　 ) 三棱锥 　 　 　 　 球 　 　 　 　 正方体 　 　 　 　 圆柱 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图,直线 a∥b,∠1 = 130°,则∠2 等于 (　 　 ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 3. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点,则沸点最高的液体是 (　 　 ) 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点 / ℃ -183 -253 -196 -268. 9 A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 4. 经过约 4. 6 亿公里的飞行,我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于 2021 年 5 月 15 日在火星表 面成功着陆,火星上首次留下了中国的印迹。 将 4. 6 亿用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 4. 6×109 B. 0. 46×109 C. 46×108 D. 4. 6×108 5. 小明收集整理了本校八年级(1)班 20 名同学的定点投篮比赛成绩(每人投篮 10 次),并绘制了折线 统计图,如图所示,那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是 (　 　 ) A. 6,7 B. 7,7 C. 5,8 D. 7,8 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 设 m= 5 -1 2 ,则 (　 　 ) A. 0<m<1 B. 1<m<2 C. 2<m<3 D. 3<m<4 7. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯 之,深一寸,锯道长一尺。 问:径几何?”用现在的几何语言表达:如图,CD 为☉O 的直径,弦 AB⊥CD,垂 足为 E,CE= 1 寸,AB= 10 寸,则直径 CD 的长度是 (　 　 ) A. 12 寸 B. 24 寸 C. 13 寸 D. 26 寸 8. 如图,AB,CD 相交于点 E,且 AC∥EF∥DB,点 C,F,B 在同一条直线上。 已知 AC = p,EF = r,DB = q,则 p,q,r 之间满足的数量关系式是 (　 　 ) A. 1 r + 1 q = 1 p B. 1 p + 1 r = 2 q C. 1 p + 1 q = 1 r D. 1 q + 1 r = 2 p 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 9. 甲、乙两人沿着总长度为 10 km 的“健身步道”健步走,甲的速度是乙的 1. 2 倍,甲比乙提前 12 min 走 完全程。 设乙的速度为 x km / h,则下列方程中正确的是 (　 　 ) A. 10 x - 10 1. 2x = 12 B. 10 1. 2x -10 x = 0. 2 C. 10 1. 2x -10 x = 12 D. 10 x - 10 1. 2x = 0. 2 10. 已知二次函数 y = 2x2 -8x+6 的图象交 x 轴于 A,B 两点。 若其图象上有且只有 P1,P2,P3 三点满足 S△ABP1 =S△ABP2 =S△ABP3 =m,则 m 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 4 11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CE 是斜边 AB 上的中线,过点 E 作 EF⊥AB 交 AC 于点 F。 若 BC = 4,△AEF 的面积为 5,则 sin∠CEF 的值为 (　 　 ) A. 3 5 B. 5 5 C. 4 5 D. 2 5 5 12. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 AOBD 的边 OB 与 x 轴的正半轴重合,AD∥OB,DB⊥x 轴,对角线 AB,OD 交于点M。 已知 AD ∶ OB= 2 ∶ 3,△AMD 的面积为 4。 若反比例函数 y= k x 的图象恰好经过点 M,则 k 的值为 (　 　 ) A. 27 5 B. 54 5 C. 58 5 D. 12 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 90 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. 若分式 1 3-x 有意义,则 x 的取值范围是　 　 　 　 。 14. 因式分解:3a2 +12a+12 = 　 　 　 　 。 15. 在平面直角坐标系中,点 A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A1,将点 A1 向左平移 3 个单位长度得到点 A2,则 点 A2 的坐标为　 　 　 　 。 16. 对于任意实数 a,抛物线 y= x2 +2ax+a+b 与 x 轴都有公共点,则 b 的取值范围是　 　 　 　 。 17. 两张宽为 3 cm 的纸条交叉重叠成四边形 ABCD,如图所示。 若∠α = 30°,则对角线 BD 上的动点 P 到 A,B,C 三点距离之和的最小值是　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 7 小题,共 70 分。 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (8 分)先化简,再求值: ( a 2 a-b -2ab-b 2 a-b ) ÷ a-b ab ,其中 a= 3 +1,b= 3 -1。 19. (8 分)如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E。 (1)求证:BE=DE; (2)若∠A= 80°,∠C= 40°,求∠BDE 的度数。 20. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y1 = k1x+b 与双曲线 y2 = k2 x 相交于 A( - 2,3),B(m,- 2) 两点。 (1)求 y1,y2 对应的函数表达式; (2)过点 B 作 BP∥x 轴交 y 轴于点 P,连接 AP,求△ABP 的面积; (3)根据函数图象,直接写出关于 x 的不等式 k1x+b< k2 x 的解集。 3 2021 年淄博市初中学业水平考试 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 16 — — 17 — — 18 — 21. (10 分)为迎接中国共产党的百年华诞,某中学就有关中国共产党历史的了解程度,采取随机抽样的 方式抽取本校部分学生进行了测试(满分 100 分),并将测试成绩进行了收集整理,绘制了如下不完 整的统计图、表。 成绩等级 分数段 频数 /人 优秀 90≤x≤100 a 良好 80≤x<90 b 较好 70≤x<80 12 一般 60≤x<70 10 较差 x<60 3 　 　 成绩扇形统计图 　 　 　 　 成绩条形统计图　 请根据统计图、表中所提供的信息,解答下列问题: (1)统计表中的 a=　 　 　 ,b=　 　 　 ;成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角的度数为　 　 　 　 　 ; (2)补全成绩条形统计图; (3)若该校共有学生 1 600 人,估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上(含良好) 的人数。 22. (10 分)为更好地发展低碳经济,建设美丽中国,某公司对其生产设备进行了升级改造,不仅提高了 产能,而且大幅度降低了碳排放量。 已知该公司去年第三季度产值是 2 300 万元,今年第一季度产 值是 3 200 万元,假设公司每个季度产值的平均增长率相同。 (1)求该公司每个季度产值的平均增长率; (2)该公司今年总产值能否超过 1. 6 亿元? 并说明理由。 科学计算器按键顺序 计算结果 (已取近似值) 　 3 2 2 3 = 1. 18 1 · 1 8 x2 = 1. 39 1 · 1 8 yx 3 = 1. 64 解答过程 中可直接 使用表格 中的数据 23. (12 分)已知:在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 F,连接 AF,一条与 AF 垂直的直线 l(垂足为 P) 沿 AF 方向,从点 A 开始向下平移,交边 AB 于点 E。 (1)当直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 D 时,如图 1 所示。 求证:AE=BF; (2)当直线 l 经过 AF 的中点时,与对角线 BD 交于点 Q,连接 FQ,如图 2 所示。 求∠AFQ 的度数; (3)直线 l 继续向下平移,当点 P 恰好落在对角线 BD 上时,交边 CD 于点 G,如图 3 所示。 设 AB= 2, BF= x,DG= y,求 y 与 x 之间的关系式。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 24. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = - 1 2 x2 +m -1 2 x+m 2 (m>0)与 x 轴交于 A( -1,0),B(m, 0)两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC。 (1)若 OC= 2OA,求抛物线对应的函数表达式; (2)在(1)的条件下,点 P 位于直线 BC 上方的抛物线上,当△PBC 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)设直线 y= 1 2 x+b 与抛物线交于 B,G 两点,是否存在点 E(在抛物线上)、点 F(在抛物线的对称轴 上),使得以 B,G,E,F 为顶点的四边形成为矩形? 若存在,求出点 E,F 的坐标;若不存在,说明 理由。 ∴ 在 Rt△HIQ 中,cos∠QHI= HI HQ = 3 5 。 ∴ HI= 3 5 HQ= 3 5 (m 2- 2 3 m- 1 3 ) = 3 5 m2- 2 5 m- 1 5 。 ∴ PN=HI= 3 5 m2 - 2 5 m- 1 5 。 ∴ PM+PN= -m2 +2m+3+ 3 5 m2 - 2 5 m- 1 5 = - 2 5 m2 + 8 5 m+14 5 = - 2 5 (m-2) 2 +22 5 (1<m<3)。 ∴ PM+PN 的最大值为22 5 。 (3)以 A,F,B,G 为顶点的四边形的面积不随着 P 点的运动而发生变化。 在 y= -x2 +2x+3 中,令 y= 0,得 x= -1 或 x= 3。 ∴ A(-1,0),B(0,3)。 ∴ OA= 1,OB= 3。 ∴ AB= 4。 ∵ 直线 AP 过点 A(-1,0),P(m,-m2 +2m+3), ∴ 直线 AP 的表达式为 y= (3-m)x+3-m。 当 x= 1 时,y= 6-2m,∴ 点 E 的坐标为(1,6-2m)。 ∴ 点 G 的坐标为(1,2m-6)。 ∵ 直线 BP 过点 B(3,0),P(m,-m2 +2m+3), ∴ 直线 BP 的表达式为 y= (-m-1)x+3m+3。 当 x= 1 时,y= 2m+2, ∴ 点 F 的坐标为(1,2m+2)。 ∴ GF= 2m+2-(2m-6)= 8。 ∴ 四边形的面积= 1 2 AB·FG= 1 2 ×4×8 = 16。 3 2021 年淄博市初中学业水平考试 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A D B A D C D C A B 1. B　 【解析】三棱锥的俯视图为三角形;球的俯视图 为圆;正方体的俯视图为正方形;圆柱的俯视图为 圆。 故选 B。 2. C　 【解析】如图,标注∠3。 ∵ ∠1 = 130°,∴ ∠3 = 130°。 ∵ 直线 a∥b,∴ ∠2+∠3 = 180°。 ∴ ∠2 = 50°。 故选 C。 3. A　 【解析】将表格中的数据按照从小到大的顺序 排列为-268. 9<- 253< - 196< - 183,所以沸点最高 的液体是液态氧。 故选 A。 4. D　 【解析】4. 6 亿= 4. 6×108。 故选 D。 5. B　 【解析】这组数据中,出现次数最多的数据为 7, 第 10,11 个数据的平均数为7 +7 2 = 7,所以这组数据 的众数为 7,中位数为 7。 故选 B。 6. A　 【解析】∵ 4< 5< 9,∴ 2< 5 < 3。 ∴ 1< 5 - 1< 2。 ∴ 1 2 < 5 -1 2 <1。 故选 A。 7. D　 【解析】如图,连接 OA。 ∵ AB⊥CD,且 AB= 10 寸, ∴ AE = BE = 5 寸。 设 ☉O 的半径 OA 的长为 x 寸,则 OC=OD= x 寸。 ∵ CE= 1 寸,∴ OE=(x-1)寸。 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理,得 x2 -(x-1) 2 = 52。 化简,得 x2 -x2 +2x-1 = 25,即 2x= 26。 解得 x= 13。 ∴ CD= 26 寸。 故选 D。 8. C　 【解析】∵ AC∥EF∥DB,∴ △ACB∽△EFB, △DBC∽△EFC。 ∴ EF AC =BF BC ,EF DB =CF CB 。 ∴ EF AC +EF BD =BF BC +CF BC =BF+CF BC =BC BC = 1,即 r p + r q = 1。 整理,得 1 p + 1 q = 1 r 。 故选 C。 9. D　 【解析】设乙的速度为 x km/ h,则甲的速度为 1. 2x km/ h。 根据题意可列方程,得10 x - 10 1. 2x = 12 60 。 故选 D。 10. C　 【解析】二次函数 y = 2x2 -8x+6 的图象与 x 轴 的两交点 A,B 的坐标为(1,0),(3,0)。 ∵ 图象上 有且只有三点满足 S△ABP1 = S△ABP2 = S△ABP3 = m, ∴ P1,P2,P3 三点中有一个点在二次函数图象的最 低点。 设这个点为 P1,则点 P1 的坐标为(2,-2)。 ∴ S△ABP1 = 1 2 ×2×2 = 2。 故选 C。 11. A　 【解析】如图,过点 E 作 EG⊥AC 于点 G,过点 F 作 FH⊥CE 于点 H,连接 BF。 ∵ ∠BCA = 90°,E 为 AB 的中点,∴ EG= 1 2 BC = 2。 ∵ S△AEF = 5,EG = 2,∴ AF= 5。 ∵ E 为 AB 的中点且 EF⊥AB 于点 E, ∴ BF=AF= 5。 在 Rt△BCF 中,由勾股定理,得 CF = 3。 ∴ AC = CF+AF = 8。 ∴ AB = 42 +82 = 4 5。 ∴ CE=BE=AE= 2 5。 ∵ ∠ACE= ∠CAE,∠CHF = ∠AGE= 90°,∴ △CHF∽△AGE。 ∴ CF FH = AE EG ,即 3 FH = 2 5 2 。 解得 FH= 3 5 5 。 ∵ S△AEF = 5,AE= 2 5,∴ EF= 5。 在Rt△EFH 中,sin∠CEF=FH EF = 3 5 。 故选 A。 12. B　 【解析】如图,过点 M 作 MN⊥OB 于点 N。 ∵ AD∥OB,∴ △ADM∽△BOM。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7— ∴ DM OM =AD BO = 2 3 , S△ADM S△BOM = AD BO( ) 2 = 4 9 。 又∵ S△ADM = 4,∴ S△BOM = 9。 设点 M 的纵坐标为 x,则 OB = 18 x 。 ∵ MN∥DB, ∴ △MON∽△DOB。 ∴ ON BN =OM DM =BO AD = 3 2 。 ∴ ON= 3 5 OB= 54 5x 。 ∴ 点 M 54 5x ,x( ) 。 将点 M 的坐 标代入反比例函数 y= k x ,解得 k= 54 5 。 故选 B。 13. x≠3　 【解析】分式的分母不为零,故当分式 1 3-x 有意义时,3-x≠0,即 x≠3。 14. 3(a+2) 2 　 【解析】原式= 3(a2 +4a+4)= 3(a+2) 2。 15. (0,-2)　 【解析】由题意可得点 A1 的坐标为(3,-2), 则点 A2 的坐标为(0,-2)。 16. b≤- 1 4 　 【解析】抛物线 y= x2 +2ax+a+b 与 x 轴有 公共点,则方程 x2 +2ax+a+b = 0 有解,即 Δ = 4a2 - 4(a+b)≥0。 解得 b≤a2-a。 ∵ a2 -a=a2 -a+ 1 4 - 1 4 = a- 1 2( ) 2 - 1 4 ≥- 1 4 ,∴ b≤- 1 4 。 17. 6 2 cm　 【解析】如图,将△ABP 绕点 B 逆时针旋 转 60°至△A′BP′,连接 PP′。 ∵ △A′BP′≌△ABP, ∴ A′P′=AP,BP′=BP。 又∵ ∠PBP′= 60°, ∴ △BPP′为等边三角形。 ∴ BP′=BP=PP′。 ∴ A′P′+PP′+PC=PA+PB+PC。 ∴ 当点 A′,P′,P,C 共线时,PA+PB+PC 最小。 ∵ ∠α = ∠ABC = 30°,∠ABA′ = 60°,∴ ∠A′BC = 90°。 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则 AE= 3 cm。 ∴ AB= 6 cm。 由题可知四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB=BC=A′B= 6 cm。 ∴ A′C= 6 2 cm。 18.解:原式=a 2 -2ab+b2 a-b ÷a-b ab = (a-b) 2 a-b · ab a-b =ab。 当 a= 3 +1,b= 3 -1 时,原式= 3-1 = 2。 19. (1)证明:由题意可得∠ABD= ∠CBD。 ∵ DE∥BC,∴ ∠BDE= ∠CBD。 ∴ ∠ABD= ∠BDE。 ∴ BE=DE。 (2)解:∵ ∠A= 80°,∠C= 40°, ∴ ∠ABC= 180°-∠A-∠C= 60°。 ∴ ∠BDE= ∠DBE= 1 2 ∠ABC= 30°。 20.解:(1)∵ 直线 y1 = k1x+b 与双曲线 y2 = k2 x 相交于 A(-2,3),B(m,-2)两点, ∴ 把点 A 代入 y2 = k2 x ,解得 k2 = -6,即 y2 = - 6 x 。 ∴ m= - 6-2 = 3。 ∴ 点 B 的坐标为(3,-2)。 把点 A,B 的坐标代入 y1 = k1x+b, 得 -2k1 +b= 3, 3k1 +b= -2, { 解得 k1 = -1, b= 1。{ ∴ y1 = -x+1。 (2)由题可知点 P 的坐标为(0,-2), ∴ BP= 3。 ∵ 点 A 到 BP 的距离为 3-(-2)= 5, ∴ △ABP 的面积= 1 2 ×5×3 = 7. 5。 (3)该不等式的解集为-2<x<0 或 x>3。 21.解:(1)抽样人数为 10÷ 36° 360° = 100,∴ 成绩等级为 优秀的人数 a= 100×50% = 50,成绩等级为良好的 人数 b= 100-50-12-10-3 = 25,成绩扇形统计图中 “良好” 所在扇形的圆心角的度数为 25 100 × 360° = 90°。 (2)补全成绩条形统计图如图所示。 (3)1 600×50 +25 100 = 1 200(人)。 答:估计该校学生对中国共产党历史的了解程度 达到良好以上(含良好)的人数为 1 200。 22.解:(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为 x。 依题意,得 2 300(1+x) 2 = 3 200。 解得 x1 = 0. 18= 18% ,x2 = -2. 18(不合题意,舍去)。 答:该公司每个季度产值的平均增长率为 18% 。 (2)该公司今年总产值能超过 1. 6 亿元。 理由 如下: 3 200+3 200×1. 18+3 200×1. 39+3 200×1. 64 = 16 672(万元)。 16 672 万元= 1. 667 2 亿元>1. 6 亿元。 所以,该公司今年总产值能超过 1. 6 亿元。 23. (1)证明:在 Rt△AEP 中,∠EAP+∠AEP=90°。 在 Rt△AFB 中,∠EAP+∠AFB=90°, ∴ ∠AEP= ∠AFB。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —8— ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB=AD。 在△ABF 和△DAE 中, ∠AFB= ∠DEA, ∠B= ∠DAE, AB=DA, { ∴ △ABF≌△DAE(AAS)。 ∴ AE=BF。 　 图 1 (2)解:如图 1,连接 AQ,过点 Q 作 直线 MN⊥AD 交 AD 于点 M,交 BC 于点 N。 ∵ MN⊥AD,四边形 ABCD 为正方 形,∠MDQ= 45°, ∴ MN=AD,∠MQD= 45°,MN⊥BC。 ∴ △MQD 为等腰直角三角形。 ∴ MD=MQ。 ∵ MN=AD,MD=MQ,∴ AM=QN。 ∵ P 为 AF 的中点且 EP⊥AF,∴ AQ=QF。 在 Rt△AMQ 和 Rt△QNF 中, AQ=QF, AM=QN,{ ∴ Rt△AMQ≌Rt△QNF(HL)。 ∴ ∠MAQ= ∠NQF。 ∵ ∠MAQ+∠AQM= 90°, ∴ ∠NQF+∠AQM= 90°。 ∴ ∠AQF= 90°。 又∵ AQ=QF,∴ △AQF 为等腰直角三角形。 ∴ ∠AFQ= 45°。 　 图 2 (3)解:如图 2,过点 D 作 DH∥EG, 交 AB 于点 H。 ∴ 四边形 HEGD 是平行四边形。 ∴ DG=HE。 ∵ AF⊥EG,∴ AF⊥HD。 由(1)中结论可得出 AH=BF。 ∵ AD∥BF,AB∥CD, ∴ △APD∽△FPB,△BPE∽△DPG。 ∴ BF DA =BP DP ,BE DG =BP DP 。 ∵ AB= 2,BF= x,DG= y, ∴ AD=AB= 2,AH=BF= x,HE=DG= y。 ∴ BE= 2-x-y。 ∴ BE DG =BF DA =BP DP = x 2 。 ∴ 2 -x-y y = x 2 。 ∴ y 与 x 之间的关系式为 y= 4 -2x x+2 。 24.解:(1)由题可知 OA= 1,点 C 的坐标为 0, m 2( ) , ∴ OC= m 2 = 2OA= 2。 ∴ m= 4。 ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2。 　 图 1 (2)如图 1,过点 P 作 PH∥y 轴,交 BC 于点 H。 由(1)知抛物线对应的函数表 达式 为 y = - 1 2 x2 + 3 2 x + 2,m= 4。 ∴ 点 B 的坐标为(4,0),点 C 的坐标为(0,2)。 设直线 BC 的表达式为 y= kx+n。 将点 B,C 的坐标代入 y= kx+n,得 n= 2, 4k+n= 0,{ 解得 k= - 1 2 , n= 2, { ∴ 直线 BC 的表达式为 y= - 12 x+2。 设点 P 的坐标为 ( p,- 12 p 2 + 3 2 p+2 ) (0<p<4), 则点 H 的坐标为 ( p,- 12 p+2 ) 。 ∴ PH= - 1 2 p2 + 3 2 p+2- ( - 12 p+2 ) = - 1 2 p2 +2p = - 1 2 (p2 -4p)= - 1 2 (p-2) 2 +2。 ∵ S△PBC =S△CPH+S△BPH = 1 2 PH· | xB-xC | = 1 2 - 1 2 (p-2) 2 +2é ë êê ù û úú ×4 = -(p-2) 2 +4, ∴ 当 p= 2 时,△PBC 的面积最大,此时点 P 的坐 标为(2,3)。 (3)存在。 ∵ 直线 y= 1 2 x+b 与抛物线交于 B(m,0), ∴ 直线 BG 的表达式为 y= 1 2 x- 1 2 m。 ① ∵ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +m -1 2 x+ m 2 ,② 联立①②,解得 x= -2, y= - 1 2 m-1{ 或 x=m,y= 0,{ ∴ 点 G 的坐标为 ( -2,- 12 m-1 ) 。 ∵ 抛物线 y = - 1 2 x2 +m -1 2 x+ m 2 的对称轴为直线 x=m -1 2 ,∴ 点 F 的横坐标为m -1 2 。 ①当 BG 为边时,假设点 E 在 x 轴上方,如图 2,过 点 E 作 EH⊥x 轴于点 H。 设点 E 的坐标为 ( t,- 12 t 2 +m-1 2 t+ m 2 ) 。 ∵ ∠GBE= 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —9— 　 图 2 ∴ ∠OBG= ∠BEH。 ∴ tan ∠OBG = tan ∠BEH = BH EH = 1 2 。 ∴ m -t - 1 2 t2 + m-1 2 t+ m 2 = 1 2 。 解得 t= 3 或 m(舍去)。 ∴ 点 E 的坐标为(3,2m-6)。 由平移性质可知点 B 的横坐标向左平移(m+2)个 单位得到点 G 的横坐标, ∵ EF∥BG 且 EF=BG, ∴ 点 E 的横坐标向左平移(m+ 2) 个单位得到点 F 的横坐标,为 3-(m+2)= -m+1。 ∴ m -1 2 = -m+1。 解得 m = 1。 ∴ E(3,- 4),F ( 0,- 112 ) ,此时实际 点 E 不在 x 轴上方,而在 x 轴下方。 ②当 BG 为对角线时,设 BG 的中点为 M。 由中点坐标公式,得 xM = xB+xG 2 ,yM = yB+yG 2 。 ∴ 点 M 的坐标为 (m-22 ,- 1 4 m- 1 2 ) 。 ∵ 矩形对角线 BG,EF 互相平分, ∴ M 也是 EF 的中点。 ∴ 点 E 的横坐标为m -3 2 。 ∴ 点 E 的坐标为 (m-32 , m2 +2m-3 8 ) 。 ∵ ∠BEG= 90°,∴ EM= 1 2 BG。 ∴ m -3 2 -m -2 2( ) 2 + m 2 +2m-3 8 + m 4 + 1 2( ) 2 = 1 2 (m+2) 2 + ( 12 m+1 ) 2 。 整理,得 16+(m2 +4m+1) 2 = 20(m+2) 2 。 变形,得 16+[(m+2) 2 -3] 2 = 20(m+2) 2 。 换元,令 t= (m+2) 2 ,得 t2 -26t+25 = 0。 解得 t= 1 或 25。 ∴ (m+2) 2 = 1 或 25。 ∵ m>0,∴ m= 3,即点 E 的坐标为 ( 0, 32 ) 。 ∴ 点 F 的坐标为(1,-4)。 综上所述,点 E 的坐标为 ( 0, 32 ) ,点 F 的坐标为 (1,-4)或点 E 的坐标为(3,- 4),点 F 的坐标为 ( 0,-112 ) 。 4 2023 年张店区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B B A C B A B 1. C　 【解析】2 的平方根是± 2。 故选 C。 2. C　 【解析】从上面看第一列居下是一个小正方形, 第二列是两个小正方形,第三列居上是一个小正方 形。 故选 C。 3. D　 【解析】数据“3 916. 3 万”可以用科学记数法表 示为 3. 916 3×107。 故选 D。 4. B　 【解析】如图。 ∵ ∠2 = 105°, ∴ ∠3 = ∠2 = 105°。 ∴ 要使 b 与 a 平行, 则∠1+∠3 = 180°。 ∴ ∠1 = 180°-105° = 75°。 故选 B。 5. B　 【解析】∵ 甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均 数最大且相等,而乙的方差最小, ∴ 乙的成绩既高又最稳定。 ∴ 最合适的人选是乙。 故选 B。 6. A　 【解析】∵ 点 F 是△ABC 的内心, ∴ BF,CF 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线。 ∴ ∠FBC= 1 2 ∠ABC,∠FCB= 1 2 ∠ACB。 ∵ ∠BFC= 112°, ∴ ∠FBC+∠FCB= 180°-∠BFC= 180°-112° = 68°。 ∴ 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 68°。 ∴ ∠ABC+∠ACB= 136°。 ∴ ∠A= 180°-(∠ABC+∠ACB)= 44°。 故选 A。 7. C　 【解析】设原计划每天铺设 x 米管道,则实际每 天铺设 x(1 + 25% ) 米管道。 根据题意,列方程为 3 000 x = 3 000 x(1+25% ) +30。 故选 C。 8. B　 【解析】如图,作☉O 的直径 AD,连接 OC,CD。 ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ACD= 90°。 ∵ 四边形 DABC 内接于☉O, ∠ABC= 120°, ∴ ∠D= 180°-∠ABC= 60°。 ∴ ∠OAC= 30°,∠AOC= 120°。 ∴ AD= 2CD,AD2 =CD2 +AC2。 ∵ AC= 2 3,∴ AD2 = 1 2 AD( ) 2 +(2 3) 2。 ∴ AD= 4。 ∴ OA=OC= 1 2 AD= 2。 ∴ 劣弧 AC 的长为120π ×2 180 = 4 3 π。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01—