期末专项第05讲：点、线、面位置关系（六大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第五讲：点、线、面位置关系 题型导图 考点与典例 考点一：空间线面平行 【必背公式】 1.直线与平面平行判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 2.直线与平面平行性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 3.平面与平面平行判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 4.平面与平面平行性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 【典例例题】 例1.如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)存在， 【详解】（1）因为正四棱锥中，，， 则侧面的高， 所以正四棱锥的表面积． （2）设，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面， 所以平面. （3） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（2）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 例2.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【变式训练】 1.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或，是异面直线 【答案】D 【详解】 对于A，可设为平面，显然，但，故A错误； 对于B，可设为平面，显然，但，故B错误； 对于C，可设分别为平面，平面， 显然，但，故C错误； 对于D，若，则两平面不会有交点，所以或，是异面直线， 故D正确. 故选：D 2.如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对于A，如图，连接，则，    因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于B，如图连接，    因为，分别为，的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于C，如图，连接，则，    因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 对于D，如图取底面中心，连接，    由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交， 故选：D． 3.如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 【答案】(1)144； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）在直三棱柱中，由，得， 由，得，， 所以直三棱柱的体积. （2）连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图， 连接，过作于，交于点， 由，得，，， ，则， 因此； 当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内， 或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，； 当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内， 或把矩形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，， 显然， 所以小虫爬行的最短距离. 4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，在的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以且， 又为线段上一点，且，底面是平行四边形，所以为的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为四棱锥为正四棱锥，且， 不妨设，则， 连接，则平面，平面，所以， 所以，则， 所以， 因为，所以正四棱锥外接球的球心位于线段上， 设球心为，半径为，连接， 则，在中， 即，解得， 所以正四棱锥外接球的体积， 所以四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比为. 5.正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为. (1)要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积； (2)证明：平面； (3)直线上是否存在一个点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析；； (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）取的中点，连接， 由于，又平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面与平面的交线平行于， 而，所以，则四边形即为所求截面， 因为，所以，， 等腰梯形的高为，所以截面面积为； （2）取、的中点、，连接， 因为分别为的中点，所以，， 同理，，因为正六棱柱中，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （3）不存在这样的点，使得平面平面， 在正六棱柱中，，所以为梯形， 连接延长交的延长线于点， 由于，且为的中点，则， 所以，因为， 所以与共面且不平行，即与相交， 即与平面相交，故不存在这样的点，使得平面平面. 考点二：空间线面垂直 【必背公式】 1.直线与平面垂直判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 2.直线与平面垂直性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 【典例例题】 例1.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． （2）取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． （3）取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 例2.在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. 【变式训练】 1.（多选）设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，直线可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误. 对于B，设直线为平面内的任意一条直线，因为，，所以， 又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确. 对于C，若，，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误. 对于D，过直线作平面，使得平面与平面相交，设， 因为，，，所以， 又，，所以，则，故D正确. 故选: BD 2.如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 【详解】∵为⊙O的直径， ∴⊥. 又⊥平面，平面， ∴⊥. 又∵，平面， ∴⊥平面. 又平面， ∴⊥. 又⊥，且，平面， ∴⊥平面. 3.如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【详解】（1）因为，是的中点，所以. 在中，， 由已知，所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）因为，是的中点， 所以. 由(1)知. 又因为平面， 所以平面. 4.如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．    (1)若平面，求三棱锥的体积； (2)求证：． 【详解】（1）， ； （2）如图，连接，交于点，连接，    四边形为正方形，， 又为的中点，， ，且、平面， 平面， 又平面． 5.如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    【详解】因为是底面圆的直径，所以， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因平面平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 6.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在线段上是否存在点，使得 平面?请说明理由． 【详解】（1）因为为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此． （2）由（1）知，平面，平面，所以． 在矩形中，， 又因为，平面,所以平面． 平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）存在为中点时， 平面． 证明：取中点为，连接，      因为为中点，，且． 在矩形中，为中点，所以，且． 所以，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为面面， 所以 面． 考点三：异面直线夹角 【必背公式】 1.平面与平面垂直判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 2.平面与平面垂直性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 【典例例题】 例1.如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． （2）取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． （3）取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 例2.如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥. 图1                图2 (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在矩形中，，是与的交点， 可得，所以， 因为，且， 所以，可得，所以， 在图（2）中，可得， 因为，且平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面； （2）若三棱锥的体积取最大值，则需平面， 又因为，且，所以， 可得，所以， 在图（1）中，连接，由,可得相似比为， 设边的高为，边的高为，可得， 因为，可得， 则， 又由， 所以三棱锥的体积. 【变式训练】 1.已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则，又， 而，平面，于是平面，又平面，则， 由，点为中点，得，而，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，又平面，则， 的面积， 因此三棱锥的体积， 而，，即， 所以三棱锥的体积． 2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面； （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 3.如图（1），在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥，如图（2）． (1)在图（2）中，求证：； (2)在图（2）中，为线段上任意一点，若平面，请确定点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点 【详解】（1）∵中，，分别为，的中点，∴， 在平面图形中连接，因为，，，是的中点， 所以四边形为正方形， 所以，，，平面， ∴平面， ∴平面，又平面， ∴. （2）当平面时，则为的中点， 证明如下：因为，即,， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为分别是的中点， 所以是三角形的中位线，从而， 因为，所以， 而平面，平面， 所以平面， 若平面，且注意到，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 所以， 因为点是中点， 所以，也就是说点为的中点， 综上所述，当平面时，则为的中点. 4.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)侧面积，体积 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积． 圆柱的体积． （2）由题意知，平面，又平面， 所以，而平面， 所以平面，又平面， 故平面平面； （3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． 当三点共线时取得最小值，为. ∵，， ，， ∴在三角形中，由余弦定理得， ∴的最小值等于． 考点四：直线与平面所成的角 【必背公式】 1.异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角.直线与平面所成的角的取值范围是. 【典例例题】 例1.如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】过点作于点， 因为面底面，面底面，面， 所以平面， 则， 当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点， 因为面底面，面底面面， 所以面，又面，所以， 所以即为与半圆面所成角的平面角， 在中，， 所以， 故答案为：． 【变式训练】 1.如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为平面，则平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，且,平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，，所以点是的中点， 又因为，所以是等腰直角三角形， 由平面，所以平面， 所以为和平面所成的角，因为 则， 所以，则， 因为是等腰直角三角形，所以， 设，所以，又， 又因为，所以， 解得：. 故选：A. 2.已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时， ． 【答案】 【详解】 设的外接圆的圆心为，半径为，设的中点为， 外接球的球心为，连接，则平面，， 因为平面，故，故四点共面， 而平面，故，故， 故四边形为矩形. 而，故，故. 在中，， 故，故，故， 故， 因为平面，故为直线与平面所成的角， 当长度最小时，最大值，此时，故. 故答案为： 3.如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .    【答案】 【详解】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，易知四边形是菱形， 设在平面的射影为， 由正三棱锥可知，点是△的外心， ，则， 由，得， 所以，再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆， 同理，在平面（即平面上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时， 取得最小值，记相交于Q,易知， 则， 此时取得最大值为． 故答案为：．    考点五：二面角 【必背公式】 二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 二面角的平面角的范围是. 【典例例题】 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． (1)证明：； (2)若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OP， ∵平面AMHN，且平面平面，平面， ∴． ∵，∴， ∵四边形为菱形，∴，， ∵，且平面PAC， ∴平面PAC，又平面PAC，∴， ∴． （2）∵，且O为AC中点， ∴，由（1）得， ，平面ABCD， ∴平面ABCD， 令，又四边形为菱形，， ，，． ，且都在平面PBD内， 平面PBD，又PA与平面PBD所成角为60°， ∴，， ∴， ∴ 又H为PC中点，且，∴， 在△PAC中，记， 易知点G在MN上，且点G为△PAC重心，， 又∵，∴， 由（1）知平面PAC，∴平面PAC， 又， ∴， ∴， ∴． 例2.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式训练】 1.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 2.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，此时点是线段的中点且 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2）因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 3.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为.   4.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为.   巩固训练 1.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【详解】对于B：如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形， 即，故B错误； 对于A：还原平面图如下图， 则，故A错误； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：D. 2.已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】由a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面， 在A中， ，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误； 在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误； 在C中，由可知，由线面垂直的性质可知，故C正确； 在D中，，因为b的方向不确定，可得a与b可以成任意角，故D错误． 故选：C. 3.设为两条直线，为两个平面，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若且， 如图所示，取点，过点，作，则， 设，可得，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为与所成角的平面角，由，可得，即， 所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确； 对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确. 故选：C. 4.已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，且与不垂直，则与一定不垂直 B．若与不平行，则与一定是异面直线 C．若，且，则与可能平行 D．若，则与可能垂直 【答案】D 【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 5.若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（    ） ①，，则；        ②，，则； ③，，则；    ④，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，，则与可能平行，可能异面，可能相交，故①错误； 对于②，，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确； 对于③，，垂直于同一平面的两个平面可能平行，可能相交，故③错误； 对于④，，垂直于同一直线的两个平面平行，故④正确； 故选：C 6.如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 7.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    8.如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析 【详解】（1）因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； （2）存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. 9.已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）    证明：如图取的中点，连接、.为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. （2）证明：为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. （3）    如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 10.如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，四边形为直角梯形，且， 所以，所以， 取的中点，连接，则且，且， 故四边形为矩形， 则，且，所以， 又由，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面； 又平面，所以， 因为，则，所以， 又平面，所以平面. （2）取的中点为的中点为，连接， 过在平面内作垂直于，垂足为， 又平面平面，平面平面， 所以平面为的中点， 所以，所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面平面， 所以平面， 得平面. 因为， 所以， 由等面积法可得， 延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点， 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则所以， 由，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲：点、线、面位置关系 题型导图 考点与典例 考点一：空间线面平行 【必背公式】 1.直线与平面平行判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 2.直线与平面平行性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 3.平面与平面平行判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 4.平面与平面平行性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 【典例例题】 例1.如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 例2.已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【变式训练】 1.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或，是异面直线 A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比． 5.正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为. (1)要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积； (2)证明：平面； (3)直线上是否存在一个点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 考点二：空间线面垂直 【必背公式】 1.直线与平面垂直判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 2.直线与平面垂直性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 【典例例题】 例1.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 例2.在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【变式训练】 1.（多选）设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2.如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足. 求证：⊥平面； 3.如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 4.如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．    (1)若平面，求三棱锥的体积； (2)求证：． 5.如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；    6.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在线段上是否存在点，使得 平面?请说明理由． 考点三：异面直线夹角 【必背公式】 1.平面与平面垂直判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 2.平面与平面垂直性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 【典例例题】 例1.如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例2.如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥. 图1                图2 (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积的最大值. 【变式训练】 1.已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 3.如图（1），在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥，如图（2）． (1)在图（2）中，求证：； (2)在图（2）中，为线段上任意一点，若平面，请确定点的位置． 4.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 考点四：直线与平面所成的角 【必背公式】 1.异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. 2.定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. （2）等体积法求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 【典例例题】 例1.如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为 ． 【变式训练】 1.如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（    ）    A．1 B． C． D．2 2.已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时， ． 3.如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .    考点五：二面角 【必背公式】 二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 二面角的平面角的范围是. 【典例例题】 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． (1)证明：； (2)若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 例2.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【变式训练】 1.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 4.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 巩固训练 1.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 2.已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.设为两条直线，为两个平面，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，且与不垂直，则与一定不垂直 B．若与不平行，则与一定是异面直线 C．若，且，则与可能平行 D．若，则与可能垂直 5.若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（    ） ①，，则；        ②，，则； ③，，则；    ④，，则. A．0 B．1 C．2 D．3 6.如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 7.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 8.如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 9.已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 10.如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$