期末专项第04讲：空间几何体表面积和体积（五大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第四讲：空间几何体表面积和体积 题型导图 考点与典例 考点一：直观图 【必背公式】 1.斜二画法步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2.原图与直观图面积关系 若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【典例例题】 例1.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C． D．12 【答案】C 【详解】由题意可知：，且，则， 可知四边形的面积为， 所以四边形的面积为. 故选：C. 【变式训练】 1.如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的周长等于（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，所以直观图中正方形的边长为， 结合直观图的特征，可得原图如下，    因为直观图中，且与轴平行，所以原图中且与轴平行， 因为，所以； 由直观图的性质可知，原图中四边形为平行四边形， 所以的周长等于. 故选：D. 2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 3.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】将直观图还原成平面图，根据斜二测画法原理求出平面图形的边长，即可计算面积． 【详解】直观图还原成平面图，则， 所以的面积为， 故选：A． 考点二：柱体、锥体、台体表面积 【必背公式】 1.圆柱侧面积和表面积 侧面积：S圆柱侧=2πrl，表面积：S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 2.圆锥侧面积和表面积 侧面积：S圆锥侧=πrl，表面积：S=πr2+πrl=πr(r+l) 3.圆台侧面积和表面积 侧面积：S圆台侧=π(r1+r2)l，表面积 【典例例题】 例1.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为 . 【答案】 【详解】 作，，E，F为垂足， 因为，所以， 因为，所以，， 故， 又，，故， ， 由勾股定理得， 四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积， 以为母线和为半径的圆锥的侧面积， 以为母线的圆台的侧面积 所以该几何体的表面积为. 故答案为： 【变式训练】 1.如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 2.如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 3.如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面圆半径分别为，它们的母线长分别为. 因为，所以.从而， 即，.所以· 故选：D. 4.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【答案】 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    5.如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆， 利用等面积法得，解得， （2）因为正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为， 所以倒圆锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 考点三：柱体、锥体、台体体积 【必背公式】 1.柱体体积 V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 2.锥体体积 ( S底为底面面积，h为高) 3.台体体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 【典例例题】 例1.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点分别为，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 例2.如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求    (1)截去的三棱锥的表面积； (2)剩余的几何体的体积； (3)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . （2）解：在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. （3）解：在正方体中，因为四边形为正方形，可得， 又因为平面且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， 又因为矩形的体积为， 所以四棱锥的体积为. 【变式训练】 1.已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为,下底面半径为, 由圆O和梯形ABCD相切可得，， 所以圆台高,  圆O半径， 所以，, 所以，. 故选：C. 2.如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 所以. 故选：D. 3.（多选）下列命题中正确的是（ ） A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B．圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 【答案】BCD 【详解】对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误； 对于B，设容器内水面下降的高度为，则，解得，B正确； 对于C，正四棱台的高，体积为，C正确； 对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高， 体积为，D正确. 故选：BCD 4.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得，则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 故答案为： 5.如图，在棱长为2的正方体中，E是线段的中点，平面过点、C、E． (1)求平面截正方体所得的截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值．（参考公式： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如下图，取的中点，连接、、. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以、、、四点共面. 因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 且截面为梯形，， ，， 同理可得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，则， 所以， 所以梯形的面积为. （2）多面体为三棱台，， ，该棱台的高为， 所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 6.如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)1. 【详解】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 考点四：外接球、内切球 【必背公式】 1.球的表面积：半径为R的球的表面积S=4πR2 2.球的体积：半径为R的球的体积 【典例例题】 例1.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为 . 【答案】 【详解】 如图，由于三棱锥对棱相等， 将三棱锥补全为为长方体， 从而外接圆直径为长方体的体对角线， 设长方体的棱长分别为，球的半径为， 则， 所以， 解得. 故答案为： 例2.如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和. 【答案】. 【详解】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线， 球心和在上，过分别作的垂线交于E，F两点. 设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知， 得， ∴， ∴，即两球半径之和为. 【变式训练】 1.已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为， 如图所示，因为，所以， 所以，解得，所以. 故选：B. 2.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为，圆锥底面圆半径为, 由圆锥高为，得， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：， 联立方程组，解得，所以球表面积为， 故选：C. 3.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为 【答案】 【详解】如图，过S作平面，则垂足为底面正方形的中心， 由底面边长为，得. 在中，，则， 所以，故是过点的球的球心， 可得球的半径为，所以该球的表面积为. 故答案为： 4．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 【答案】 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 5.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑绪”，其中，，若“堑绪”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为 . 【答案】27π 【详解】由题意知“堑堵”的体积， 所以，将“堑堵”置于边长为3的正方体中， 此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球， 外接球的直径为， 所以“堑堵”的外接球的表面积. 故答案为：. 6.已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球体积． 【答案】（1）．（2）. 【详解】（1）如图所示： 令圆锥母线长、底面半径分别为l、r， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，， 又， 又因为的面积为， ∴， 又，所以， ∴侧面积为． （2）如图所示： 设内切球半径为，球心在上面，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球体积为. 巩固训练 1.下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 2.如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 3.（多选）下列说法错误的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 【答案】AD 【详解】对于A：因为直四棱柱上下底面平行，侧棱垂直于底面， 但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误； 对于B：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故B正确； 对于C：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确； 对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误； 故选：AD. 4.（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为 C．圆台母线与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 【答案】AC 【详解】对于A：圆台的高为， 则圆台的体积，A正确； 对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为．故B错误； 对于C：过A作交底面于F，而底面，故底面， ∴即为母线与底面所成角．    在等腰梯形中，，∴， ∵为锐角，∴．故C正确； 对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为，下底面圆周对应的扇形半径为， 设扇形圆心角为，则，则， 由于，则， 即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE，    由题意可得：．由为中点，∴， ∴．故D错误． 故选： 5．（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. 6.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 【答案】 【详解】如图所示正四棱锥，，则平面. 设正四棱锥外接球的半径为，则R=2， 设正四棱锥底面边长为，高为，则①， 由整理得②， 由①②解得， 由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， . 故答案为： 7．已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 . 【答案】 【详解】作出圆台的轴截面，如图所示：为切点，为圆台的高. 圆台的母线， 所以圆台的高 球的半径，由球与该圆台体积比为得： ，整里得： 方程两边同除，解得或3（舍去） 故答案为： 8.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 9.如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．    (1)证明：直线MQ，，NP相交于同一点． (2)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)105. 【详解】（1）证明：在正四棱台中，因为，，，， 所以四边形，均为梯形，则直线MQ与必相交，NP与必相交． 延长MQ，，NP，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F． 在正四棱台中，，，    则，， 得，所以点E，F重合， 即直线MQ，，NP相交于同一点． （2）正四棱台的体积为． 由题意可得三棱台的高为6， 则三棱台的体积为． 故所求几何体的体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲：空间几何体表面积和体积 题型导图 考点与典例 考点一：直观图 【必背公式】 1.斜二画法步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2.原图与直观图面积关系 若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【典例例题】 例1.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C． D．12 【变式训练】 1.如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的周长等于（    ）    A．2 B． C．4 D． 2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 3.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（    ） A．6 B．3 C． D． 考点二：柱体、锥体、台体表面积 【必背公式】 1.圆柱侧面积和表面积 侧面积：S圆柱侧=2πrl，表面积：S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 2.圆锥侧面积和表面积 侧面积：S圆锥侧=πrl，表面积：S=πr2+πrl=πr(r+l) 3.圆台侧面积和表面积 侧面积：S圆台侧=π(r1+r2)l，表面积 【典例例题】 例1.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为 . 【变式训练】 1.如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 2.如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 3.如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 4.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 5.如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求圆锥的底面半径； (2)求该几何体的表面积. 考点三：柱体、锥体、台体体积 【必背公式】 1.柱体体积 V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 2.锥体体积 ( S底为底面面积，h为高) 3.台体体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 【典例例题】 例1.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 例2.如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求    (1)截去的三棱锥的表面积； (2)剩余的几何体的体积； (3)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【变式训练】 1.已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选）下列命题中正确的是（ ） A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B．圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 4.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . 5.如图，在棱长为2的正方体中，E是线段的中点，平面过点、C、E． (1)求平面截正方体所得的截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值．（参考公式： 6.如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 考点四：外接球、内切球 【必背公式】 1.球的表面积：半径为R的球的表面积S=4πR2 2.球的体积：半径为R的球的体积 【典例例题】 例1.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为 . 例2.如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和. 【变式训练】 1.已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为 4．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 5.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑绪”，其中，，若“堑绪”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为 . 6.已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球体积． 巩固训练 1.下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 2.如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）下列说法错误的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 4.（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为 C．圆台母线与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 5．（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 6.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 7．已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 . 8.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 9.如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．    (1)证明：直线MQ，，NP相交于同一点． (2)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$