期末专项第03讲：复数（五大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第三讲：复数 题型导图 考点与典例 考点一：复数的分类 【必背公式】 1.复数z=a+bi(a,b∈R)，a与b分别叫做复数z的实部与虚部,i叫做虚数单位. 2.复数z=a+bi可以分类如下： 复数 3.复数相等 a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【典例例题】 例1.若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 例2.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ (1)实数； (2)纯虚数； (3)在复平面内表示的点位于第四象限． 【变式训练】 1.若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 2.已知，，若复数，则z的实部是（    ） A．1 B．-2 C．2 D．i 3.已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 4.已知复数，m为实数． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值； (3)若﹐求的值． 考点二：复数的四则运算 【必背公式】 1.复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.复数的减法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么-=(a+bi)-(c+di)==(a-c)+(b-d)i. 3.复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 4.复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 【典例例题】 例1.设复数（其中），． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的虚部以及 【变式训练】 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2.已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3.（多选）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 4.已知复数为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值． (3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 考点三：复数的几何意义 【必背公式】 1.（1）z=a+bi有序实数对(a,b)；（2）复数z=a+bi平面向量 2.复数的模 |z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R) 1. 共轭复数 若z=a+bi，则共轭复数=a-bi 4.复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【典例例题】 例1.（多选）设，，为复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则 例2.已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. (1)求复数； (2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【变式训练】 1.i是虚数单位，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2.若复数z满足（为虚数单位），是z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 4.复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.设复数，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 6.已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 考点四：复数范围方程的根 【必背公式】 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【典例例题】 例1.已知复数，，（，是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值； (3)若，且是实数，求实数的值． 【变式训练】 1.（多选）已知复数，下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D．若是关于的方程的一个根，则 2.（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 3.（多选）已知复数，为的共轭复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．是方程的一个根 4.已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 巩固训练 1.复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D． 2.已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D．1 3.若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 4.（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5.（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 6.（多选）复数，则下列说法正确的有（   ） A． B．的共轭复数 C．的虚部为 D．在复平面内对应的点的坐标在第四象限 7.（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若为纯虚数，则 8.（多选）若为复数，，下列命题正确的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则或 9.已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 10.已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 11.已知复数满足，的虚部是2. (1)求复数； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值； (3)若复数的实部大于0，设在复平面上的对应点分别为，求△ABC的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲：复数 题型导图 考点与典例 考点一：复数的分类 【必背公式】 1.复数z=a+bi(a,b∈R)，a与b分别叫做复数z的实部与虚部,i叫做虚数单位. 2.复数z=a+bi可以分类如下： 复数 3.复数相等 a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【典例例题】 例1.若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 【答案】2 【详解】因为，所以当时，为纯虚数． 故答案为：2 例2.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ (1)实数； (2)纯虚数； (3)在复平面内表示的点位于第四象限． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）若为实数，则，解得或． （2）若为纯虚数，则，解得． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得． 【变式训练】 1.若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：B 2.已知，，若复数，则z的实部是（    ） A．1 B．-2 C．2 D．i 【答案】A 【详解】由于，则， 则，所以z的实部是1. 故选：A 3.已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 【答案】或(写出其中一个即可，答案不唯一) 【详解】设，由， 可得，解得，又是纯虚数， 设且，则，则， 解得，所以或. 故答案为：或.(写出其中一个即可，答案不唯一) 4.已知复数，m为实数． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值； (3)若﹐求的值． 【答案】(1)； (2)2； (3). 【详解】（1）由，得， 由z是纯虚数，得，解得， 所以m的值是. （2）由，得，解得， 所以m的值为2. （3）当时，，则， 所以. 考点二：复数的四则运算 【必背公式】 1.复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.复数的减法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么-=(a+bi)-(c+di)==(a-c)+(b-d)i. 3.复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 4.复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 【典例例题】 例1.设复数（其中），． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的虚部以及 【答案】(1)； (2) ， 【详解】（1）∵是实数， ∴，            ∴；. （2）∵是纯虚数， ∴且，故， 故的虚部为，. 【变式训练】 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得. 故选：B. 2.已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 故，得. 故选：B. 3.（多选）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A、B，由，解得， 故A错误，B正确. 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC． 4.已知复数为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值． (3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． （2）因为为实数， 所以，解得． （3）因为且， 所以， 因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以，解得，故 考点三：复数的几何意义 【必背公式】 1.（1）z=a+bi有序实数对(a,b)；（2）复数z=a+bi平面向量 2.复数的模 |z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R) 1. 共轭复数 若z=a+bi，则共轭复数=a-bi 4.复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【典例例题】 例1.（多选）设，，为复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，满足，显然结论不成立，A错误； 对于B，，在复平面内表示复数对应的点到定点距离相等点的轨迹， 它是线段的垂直平分线，该直线上的点到原点的距离即为，，B正确. 对于C，设，则， 则， ， ， ，则，C正确； 对于D，令，显然，则，D错误. 故选：BC 例2.已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. (1)求复数； (2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，， 由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以. （2），，， 所以对应的点，，，从而，，. 【变式训练】 1.i是虚数单位，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，共轭复数为. 故选：B 2.若复数z满足（为虚数单位），是z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由得，所以， 故复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以， 则. 故选：A 4.复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 5.设复数，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 则； （2）易知， 其在复平面对应的点为 根据题意有，解之得. 6.已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由题意可得， 解得，则， 所以的共轭复数为． （2）由题意可得， 即， 解得，即的取值范围是． 考点四：复数范围方程的根 【必背公式】 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【典例例题】 例1.已知复数，，（，是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值； (3)若，且是实数，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， 则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限， ∴，解得． （2）∵是方程的根， 则，即， 所以，解得． （3）因为，则．于是， 代入，得， 即是实数， ，解得． 【变式训练】 1.（多选）已知复数，下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误； 对于B中，若，则，即， 可得或，所以，所以B项正确； 对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离， 所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合， 所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确； 对于D中，由是关于的方程的根， 故，即， 可得，所以，所以D项正确. 故选：BCD． 2.（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】，所以方程的根为，不妨设，， 可知，故A正确； 由韦达定理知，所以，故C正确； 所以，因为，所以，故B错误； 时，，， 计算可得，， ，， 所以，故D正确； 故选：ACD. 3.（多选）已知复数，为的共轭复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．是方程的一个根 【答案】BD 【详解】对于A：因为，所以，则的虚部是，A错误； 对于B：因为，所以， 所以，B正确； 对于C：因为， ，则，C错误； 对于D：， 故是方程的一个根，D正确. 故选：BD. 4.已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意可设， 则， 又为纯虚数， 则，解得，所以，则； （2）由（1）可得， 故是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 巩固训练 1.复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设，， 因为复数满足， 即． 可得且， 故． 故选：C． 2.已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由题知，， 所以，的虚部为1， 故选：D. 3.若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【详解】因为，， 所以． 故选：B 4.（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，. 故选：D. 5.（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 【答案】ABD 【详解】设（）， 对于A，若，则， 因为，结合复数相等的知识，所以， 所以选项A正确； 对于B，由，所以， 所以， ， ， 同理：， 所以，所以选项B正确； 对于C，令，，但是， 所以选项C错误； 对于D，设分别表示复数，    由，若不共线时， 如图：，即，    若共线且反向时， 如图： 易知，    若共线且同向时， 如图：易知， 综上：，所以选项D正确. 故选：ABD. 6.（多选）复数，则下列说法正确的有（   ） A． B．的共轭复数 C．的虚部为 D．在复平面内对应的点的坐标在第四象限 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，故A正确； 的共轭复数，故B正确； 的虚部为，故C错误； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：ABD 7.（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若为纯虚数，则 【答案】BD 【详解】对于中，由复数，则，所以错误; 对于中，由复数在复平面内对应的点为，在第四象限，所以正确; 对于中，，所以错误; 对于中，由复数为纯虚数，可得，解得，所以正确． 故选：BD． 8.（多选）若为复数，，下列命题正确的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】BCD 【详解】对于A，令，，则，但，故A不正确； 对于D，下面先证明命题“若，则或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则”成立.故D正确； 对于B：用选项D的结论推证选项B，因为，所以， 所以，或，又，所以，故B正确； 对于C，设，，则， 则， 所以， 则， 所以， 则，故C正确. 故选：BCD 9.已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 因为为纯虚数， 所以解得 （2）复数 它在复平面上对应的点在第三象限，所以， 解得或, 所以实数的取值范围为． 10.已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）复数是纯虚数当且仅当，解得； （2）由（1）可得，注意到， 所以， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 由题意点在第二象限，所以， 解得，即实数的取值范围为. 11.已知复数满足，的虚部是2. (1)求复数； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值； (3)若复数的实部大于0，设在复平面上的对应点分别为，求△ABC的面积. 【答案】(1)或 (2)或 2 (3)2 【详解】（1）设，,由可得： ①，由，依题， ②， 联立① ② ，解得或，故或. （2）当时，依题可知，也是方程的一个复数根， 由韦达定理，，，故； 当时，也是方程的一个复数根， 由韦达定理，，，故. （3）由上分析，因的实部大于0，故， 则 依题意得，则, 设,则，则， 于是△ABC的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$