期末专项第02讲：正弦、余弦定理（六大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第二讲：正弦、余弦定理 题型导图 考点与典例 考点一：正弦定理 【必背公式】 1.正弦定理 2.正弦定理变形 ，，（可实现边到角的转化） ，，（可实现角到边的转化） 3.三角中常用结论 若 若或 【典例例题】 例1.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（    ） A．，，，有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】CD 【详解】对于A，因为，所以， 又，所以，不满足内角和定理， 所以满足条件的三角形不存在，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，即， 因为且，所以或， 即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若为锐角三角形，则， 所以，所以，即，C正确； 对于D，若，则， 设，则， 因为，所以，即为钝角，D正确. 故选：CD 例2.在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理得：，所以. （2）设，则，， 在三角形中，由正弦定理得：， 所以. 在三角形中，由正弦定理得：， 所以, 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为：. 【变式训练】 1.设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 由正弦定理，得， 或. 又. 故选：B. 2.已知的三个角的对边分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则由正弦定理得， 则， 所以， 解得（负值舍去）， 所以. 故选：A. 3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由和正弦定理可得，， 因,,代入上式， 整理得：，显然，即.于是. 故选：A. 4.在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】由得：，即， 即，且，所以. 故选：B． 5.（多选）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或，即或，故D正确. 故选：ABD 6.已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即． （2）由正弦定理得：，即，且， ，即． 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 考点二：余弦定理 【必背公式】 1.余弦定理：在中，内角，所对的边分别是,则： ； ； 2.余弦定理的推论 ；； 3.三角中结论 【典例例题】 例1.在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 由正弦定理可得，，， 得， 整理得， 因为，则， 因为，，所以， 因为，所以； （2）因为，故，且， 故， 又因为，所以， 因为，可得， 又， 所以，故周长为. 【变式训练】 1.在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【答案】B 【详解】在中，， 由余弦定理得，解得. 故选：B. 2.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【详解】，由正弦定理变形得， ， 又由余弦定理得， ． 故答案为：. 3.已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，且， (1)求C； (2)求△ABC外接圆的半径R. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， ∴， ∵，∴. （2）∵，， ∴， 整理得，∴. 由正弦定理可得， ∴，即△ABC外接圆的半径为. 4.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【详解】（1）解：因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 考点三：面积公式 【必背公式】 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【典例例题】 例1.在中已知. (1)求； (2)若面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理的边角互化可得，而， 即，即，所以，， 即，则，. （2）由（1）可知，则， 因为面积为，即，所以， 则，即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式训练】 1.已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，，所以， 由余弦定理得，所以， 故的周长为. 故选：D. 2.已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 又因为，解得：，所以，C为钝角， ，结合为锐角，解得：或(舍). 故选：D 3.在中，角的对边分别为，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为，，， 所以由正弦定理得． （2）因为． 由余弦定理 得， 解得或（舍）． 所以的面积． 4.在中，内角，，的对边分别为，，，且 (1)若，求的值； (2)若，且的面积为，求和的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）由，由正弦定理得， 又，所以， 又，因为，所以，所以， 解得. 5.记锐角中内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由条件及正弦定理得 而，所以， 因此，由于，则，得 因此是锐角三角形，因此均存在， 所以， 故； （2）由（1）可知，，则，且， 故，利用正弦定理得，解出， ，故， 因此面积． 6.在中，内角、、的对边分别为、、，已知，． (1)证明：； (2)求当面积取得最大值时，的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，得：， 由正弦定理得：，所以． （2）解：由余弦定理得：， 所以， 所以， 当且仅当，即时，面积取得最大值，此时， 所以的周长为． 考点四：解三角形实例应用 【必背公式】 1.仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 2.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 【典例例题】 例1.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案： ①沿线段在水下铺设； ②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元. (1)求两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案②，理由见解析 【详解】（1）过作的垂线，垂足为，如图： 在中，，所以， 在中，，所以． 则，即， 所以，， 由勾股定理得，． 所以，两点间的距离为； （2）方案①：沿线段在水下铺设时，总铺设费用为（万元）． 方案②：设，则，其中， 在中，，， 所以． 则总铺设费用为 ，当且仅当时等号成立， 所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时． 而， 所以应选择方案②进行铺设，点选在的正西方向处，总铺设费用最低． 【变式训练】 1.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（    ）    A．() m B．() m C．() m D．() m 【答案】B 【详解】设，则. 在中，， ∴＝，即＝， 解得. 故选：B. 2.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】310 【详解】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°， 所以，在中，，所以， 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，所以， 则， 所以米. 故答案为：310. 3.如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟. 【答案】(1)20海里 (2)分钟 【详解】（1）由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； （2）在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里，所以需要的时间为（分钟）. 考点五：正、余弦定理在几何中应用 【必背公式】 1.三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2.三角形的角平分线 （1）等面积法 核心技巧： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 【典例例题】 例1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2）由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 例2.在中，. (1)求； (2)若，点在边上，平分，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得，故由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为平分，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以. 例3.在中，内角A，B，C满足． (1)求； (2)若边上的高等于，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 因为， 由正弦定理得：， 由余弦理得 又因为， 所以，． （2）如图： 设边上的高为，为垂足， 在中，； 在中，，，， 设，则，， 所以， 所以. 【变式训练】 1.在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理得 因为，所以，故， 如图所示， 则的面积为， 即， ． ． 当且仅当时取等号． 所以，的最小值为． 故选：D． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作，垂足为D， 在中，，， 所以，，，， 由可知，为的中点，为的垂直平分线， 所以为等腰三角形，，所以. 故选：D 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若AD为BC边上的中线，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理得，，又，两边同时平方可求出，两式联立求解出，再由三角形的面积公式可求出答案. 【详解】由，所以， 由余弦定理得，， 又，所以， 即， 解得， 所以△ABC的面积． 故答案为：. 4.在中，点在边上，，． (1)若是的角平分线，求； (2)若是边上的中线，且，求． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线， 在和中，由正弦定理可得，； ，， ． （2）解：因为是边上的中线， 设，， ，， ， ，化简可得，解得或（舍去）， ． 5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 巩固训练 1.记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即，， 由余弦定理得， 因为，所以 故选：B. 2.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（   ）个. ①；②的取值范围为； ③的取值范围为； ④的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，故A错误； 选项B：因为为锐角三角形，，所以， 由解得，故B错误； 选项C：， 因为，所以，， 即的取值范围为，故C正确； 选项D： ， 当且仅当，即时取等号， 但因为，所以，，无法取到等号，故D错误. 故选：B. 3.（多选）在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 4.（多选）对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确； 对于B，因为，在中，可得或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确； 对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误； 故选：ABC. 5.（多选）中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则面积的最大值为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若为的外心，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，且，所以， 由余弦定理得， 由，可得，当且仅当时，等号成立，所以， 则面积，所以面积的最大值为，所以B正确； 对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得，故C错误； 对于D，如图所示，作交于点点，则点为的中点，且， 设，所以， 所以， 所以D正确. 故选：ABD.    6.在中，角所对的边分别为且满足． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则， 即， 即， 又因为， 所以，又，所以 （2）因为、为锐角三角形， 所以，解得 ， 又外接圆半径， 由正弦定理， 所以 ， 其中，又， 所以，所以， 所以， 当时，． 当时，． 当时，． 所以. 7.在中，所对应的分边别为，且满足． (1)求; (2)点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得 因为，所以，则， 因为，所以， 又因为，所以; （2）在中，，可得， 又，可得，又，，可得为正三角形， 故面积为. 8.记锐角的内角的对边分别为.向量，，且. (1)求角； (2)已知点为所在平面内的一点， （i）若点满足，且，求的值； （ii）若点为内切圆圆心，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理有， 因为，所以. （2） （i）因为， 所以， 即， 所以，即为三角形的外心， 由正弦定理可得， ； （ii）因为点为内切圆圆心， 所以分别为的平分线， 所以， 因为是锐角三角形，则,所以， 所以设，, 则， 所以，即， ， ， 在中，由正弦定理有， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 9.在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且，. (1)求的面积最大值. (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 又因为，得， 所以，又，得， 由余弦定理得，即， 所以， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， ； 当且仅当时，最大值为. （2）由正弦定理得， 所以，又，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，，解得， 则，， . 10.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求角A的大小； (2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长； (3)若，判断的形状. 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③，由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为AD是的角平分线，且，设， 因为，可得， 即，解得，即. （3）由（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或， 当时，可得，此时，可得为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，为直角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲：正弦、余弦定理 题型导图 考点与典例 考点一：正弦定理 【必背公式】 1.正弦定理 2.正弦定理变形 ，，（可实现边到角的转化） ，，（可实现角到边的转化） 3.三角中常用结论 若 若或 【典例例题】 例1.（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（    ） A．，，，有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为钝角三角形 例2.在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 【变式训练】 1.设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 2.已知的三个角的对边分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 4.在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5.（多选）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 6.已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 考点二：余弦定理 【必背公式】 1.余弦定理：在中，内角，所对的边分别是,则： ； ； 2.余弦定理的推论 ；； 3.三角中结论 【典例例题】 例1.在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 【变式训练】 1.在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A．2 B．4 C．16 D． 2.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 ． 3.已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，且， (1)求C； (2)求△ABC外接圆的半径R. 4.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 考点三：面积公式 【必背公式】 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【典例例题】 例1.在中已知. (1)求； (2)若面积为，求的最小值. 【变式训练】 1.已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 2.已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 3.在中，角的对边分别为，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 4.在中，内角，，的对边分别为，，，且 (1)若，求的值； (2)若，且的面积为，求和的值． 5.记锐角中内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若，且，求的面积． 6.在中，内角、、的对边分别为、、，已知，． (1)证明：； (2)求当面积取得最大值时，的周长． 考点四：解三角形实例应用 【必背公式】 1.仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 2.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 【典例例题】 例1.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案： ①沿线段在水下铺设； ②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元. (1)求两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【变式训练】 1.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（    ）    A．() m B．() m C．() m D．() m 2.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 3.如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟. 考点五：正、余弦定理在几何中应用 【必背公式】 1.三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2.三角形的角平分线 （1）等面积法 核心技巧： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 【典例例题】 例1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 例2.在中，. (1)求； (2)若，点在边上，平分，求的长. 例3.在中，内角A，B，C满足． (1)求； (2)若边上的高等于，求． 【变式训练】 1.在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若AD为BC边上的中线，，则△ABC的面积为 ． 4.在中，点在边上，，． (1)若是的角平分线，求； (2)若是边上的中线，且，求． 5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 巩固训练 1.记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 2.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（   ）个. ①；②的取值范围为； ③的取值范围为； ④的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（多选）在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则的面积为 4.（多选）对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则 D．若，则 5.（多选）中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则面积的最大值为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若为的外心，则 6.在中，角所对的边分别为且满足． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为1，求的取值范围． 7.在中，所对应的分边别为，且满足． (1)求; (2)点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 8.记锐角的内角的对边分别为.向量，，且. (1)求角； (2)已知点为所在平面内的一点， （i）若点满足，且，求的值； （ii）若点为内切圆圆心，求的取值范围. 9.在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且，. (1)求的面积最大值. (2)求的取值范围. 10.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求角A的大小； (2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长； (3)若，判断的形状. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$