期末专项第01讲：平面向量（七大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第一讲：平面向量 题型导图 考点与典例 考点一：平面向量的基本概念 【必背公式】 1.向量的概念 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量 2.常见向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 【典例例题】 例1.下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【变式训练】 1.下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 2．下列命题正确的是（    ） A．向量与是两平行向量 B．若都是单位向量，则 C．若，则四点构成平行四边形 D．两向量相等，则它们的始点、终点相同 3.（多选）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 4.（多选）下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反 D．对任一非零向量是一个单位向量 考点二：平面向量的线性运算 【必背公式】 1.向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则 首尾相接，首尾连 （2）向量加法的平行四边形法则 同起点,以向量为邻边作平行四边形,夹对角线 2.向量的减法法则：三角形法则 同起点，连接终点，方向指向被减向量 3.共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 【典例例题】 例1.如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，； (2)求证：为定值，并求此定值. 例2.已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 【变式训练】 1.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．-1 2.如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 3.已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 4.O是△ABC所在平面外一点且满足=+λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的　(　　) A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 5.（多选）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 6.如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 考点三：平面向量的数量积运算 【必背公式】 1.平面向量数量积 .规定：零向量与任一向量的数量积为0 2.投影向量 已知夹角为，那么向量 3.向量的模公式 4.向量的夹角公式 5.垂直条件： 【典例例题】 例1.已知，． (1)若与的夹角为60°，求； (2)若，求与的夹角． 【变式训练】 1.已知向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6.已知，，与的夹角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）设是三个非零向量，则下列命题正确的有（    ） A． B． C．不与垂直 D． 8.已知非零向量，满足，且． (1)求； (2)当时，求和向量与的夹角θ的值． 9.如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 考点四：平面向量的坐标表示及其运算 【必背公式】 1.向量的坐标表示 已知，则 2.向量的线性运算坐标表示 已知 =(,)，=(,)，向量的和：+=(+,+)，向量的差：-=(-,-) 数乘向量：=(x,y) 3.向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 4.平面向量平行，垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）．（2） 5.向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则 【典例例题】 例1.已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 【变式训练】 1.（多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 2．（多选）已知向量，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．存在．使得 C．若在上的投影向量的模长为，则与的夹角为 D．的最大值为 3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 4.（多选）下列命题错误的是（    ） A．若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 B．在中，若点满足，则点是的重心 C．已知向量．若向量与向量共线，则实数的值为 D．平面向量，.若与夹角为锐角，则实数的取值范围. 5．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．若平面向量，，则在上的投影向量是 C．两个非零向量，，若，则与垂直 D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 6.已知平面向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 考点五：平面向量与三角形四个“心” 【必背公式】 1.重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② 2.垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② 3.内心向量式：是的内心， ① （或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心 4.外心向量式：是的外心， ① ② 【典例例题】 例1.（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.瑞士数学家欧拉在1765年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P分别为的外心、重心、垂心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.在中，，点是的重心，则的最小值是 A． B． C． D． 2.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 3.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 4.在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 考点六：极化恒等式 【必背公式】 极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 【典例例题】 例1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【变式训练】 1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 2.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 5.设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（多选）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 7．（多选）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（    ） A．若，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则 8.（多选）如图，在平行四边形中，，，点F为BC的中点，则下列正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 9.（多选）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 10.已知向量，满足，，，则 . 11.设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 12.已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 13．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 14．如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲：平面向量 题型导图 考点与典例 考点一：平面向量的基本概念 【必背公式】 1.向量的概念 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量 2.常见向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 【典例例题】 例1.下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 【变式训练】 1.下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【详解】 对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 2．下列命题正确的是（    ） A．向量与是两平行向量 B．若都是单位向量，则 C．若，则四点构成平行四边形 D．两向量相等，则它们的始点、终点相同 【答案】A 【详解】对于A，向量与是相反向量，它们是平行向量，故A正确； 对于B，若，都是单位向量，但，的方向不一定相同，故，不一定相等，故B错误； 对于C，若，则四点共线或四点构成平行四边形，故C错误； 对于D，若两向量相等，则它们的方向相同、长度相等，与始点、终点无关，故D错误． 故选：A． 3.（多选）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 【答案】BCD 【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误. 故选：BCD. 4.（多选）下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反 D．对任一非零向量是一个单位向量 【答案】CD 【详解】A：若时，不一定有，错误； B：向量不能比较大小，错误； C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确； D：非零向量，则是一个单位向量，正确. 故选：CD 考点二：平面向量的线性运算 【必背公式】 1.向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则 首尾相接，首尾连 （2）向量加法的平行四边形法则 同起点,以向量为邻边作平行四边形,夹对角线 2.向量的减法法则：三角形法则 同起点，连接终点，方向指向被减向量 3.共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 【典例例题】 例1.如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，； (2)求证：为定值，并求此定值. 【答案】(1)，. (2)证明见解析；定值为. 【详解】（1）解：因为点为的中点， 由向量的平行四边形法则，可得， 在中，由向量的三角形法则，可得. （2）证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点， 且 所以, 因为三点共线，所以，解得， 即为定值. 例2.已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）， 因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 【变式训练】 1.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】B 【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示， 所以. 故选：B. 2.如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且， 则， 因为，且， 则有 . 故选：D. 3.已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，设，即，故，无解，三点不共线，A错误； B选项，设，即，故，无解， 三点不共线，B错误； C选项，， 设，即，故，无解， 三点不共线，C错误； D选项，， 由于，故三点共线，D正确. 故选：D 4.O是△ABC所在平面外一点且满足=+λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的　(　　) A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B 【详解】如图，设==，已知均为单位向量， 故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，由=+λ 得=λ，又与有公共点A，故A，D，P三点共线， 所以P点在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心.所以选B. 5.（多选）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 6.如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 又，故得， 所以． （2）由，，三点共线可设，又，， ， 为上一点，且， ， ， 所以． 考点三：平面向量的数量积运算 【必背公式】 1.平面向量数量积 .规定：零向量与任一向量的数量积为0 2.投影向量 已知夹角为，那么向量 3.向量的模公式 4.向量的夹角公式 5.垂直条件： 【典例例题】 例1.已知，． (1)若与的夹角为60°，求； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，，与的夹角为60°， 所以|+|. （2）因为，所以，设的夹角为，， 所以，则，， 所以，所以与的夹角为. 【变式训练】 1.已知向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 故选：B 3.已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合题意：，， ，， ． 故选：A. 4．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径， 则，又，则为正三角形， 则有， 向量在向量上的投影向量， 故选：A 6.已知，，与的夹角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，与的夹角为， 则． 故选：C． 7.（多选）设是三个非零向量，则下列命题正确的有（    ） A． B． C．不与垂直 D． 【答案】BD 【详解】对于A：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 当与不共线，且时，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C， ， 所以与垂直，故C错误； 对于D：当、不共线时，所以、、组成三角形的三边，所以， 当、同向时，当、反向时， 又，， 所以，故D正确. 故选：BD 8.已知非零向量，满足，且． (1)求； (2)当时，求和向量与的夹角θ的值． 【答案】(1)；(2)，. 【详解】（1）由已知得，即，； （2），， ， ，所以． 9.如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)k不存在 (3) 【详解】（1）由已知，，且与的夹角为60°， 可得 因为，故； 又，所以可得； （2）因为，且， 所以 化简得，显然不成立， 故k不存在； （3）因为，故， 所以， . 所以的值为. 考点四：平面向量的坐标表示及其运算 【必背公式】 1.向量的坐标表示 已知，则 2.向量的线性运算坐标表示 已知 =(,)，=(,)，向量的和：+=(+,+)，向量的差：-=(-,-) 数乘向量：=(x,y) 3.向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 4.平面向量平行，垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）．（2） 5.向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则 【典例例题】 例1.已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 因为，则，得， 则，所以； （2）由已知，又，， 所以，得， 则，， 故． 【变式训练】 1.（多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又，， 所以，故C错误； 对于D：若，则在上的投影向量为，故D正确． 故选：ABD. 2．（多选）已知向量，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．存在．使得 C．若在上的投影向量的模长为，则与的夹角为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A项，由，解得， 由可得，因，故，故A项正确； 对于B项，因当且仅当与方向相反时成立， 由，且可得，即得， 而由正切函数图象可知，在内，该方程有解，故B项正确； 对于C项，因在上的投影向量的模长为， 解得，， 设与的夹角为，则， 因，故或，即C项错误； 对于D项，其中， 因，故的最大值为，即D项正确. 故选：ABD. 3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】对A：，则， ，则，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：， 故与的夹角为，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：BCD. 4.（多选）下列命题错误的是（    ） A．若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 B．在中，若点满足，则点是的重心 C．已知向量．若向量与向量共线，则实数的值为 D．平面向量，.若与夹角为锐角，则实数的取值范围. 【答案】AC 【详解】对于A：因为，且， 所以，即，解得， 所以在方向上的投影向量的模为，故A错误； 对于B：取中点，则，又， 所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故B正确； 对于C：因为， 所以，， 因为向量与向量共线， 所以，解得，故C错误； 对于D：因为，，则， 又与夹角为锐角，所以且与不同向， 若，则，解得； 若与共线，则，解得； 综上可得实数的取值范围，故D正确. 故选：AC 5．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．若平面向量，，则在上的投影向量是 C．两个非零向量，，若，则与垂直 D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【详解】A选项，向量，故，平行，不能作为平面内所有向量的一组基底，A正确； B选项，若平面向量，， 则在上的投影向量为，B正确； C选项，两个非零向量，，，两边平方得 ，解得，则与垂直，C正确； D选项，，，若与的夹角是锐角， 故且与不同向共线， 即且， 解得且，D错误. 故选：ABC 6.已知平面向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2)且. 【详解】（1）由，可得， 设，则由，可得， 又因为，可得，联立方程组解得：或 即或. （2）由与的夹角为锐角，可得， 代入，可得：， 解得， 当时，，可得， 解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形， 综上可得与的夹角为锐角时，且. 考点五：平面向量与三角形四个“心” 【必背公式】 1.重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② 2.垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② 3.内心向量式：是的内心， ① （或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心 4.外心向量式：是的外心， ① ② 【典例例题】 例1.（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心， 因为，故A错误； 由, 故B错误； 因为, 故C正确； 因为 , 故D正确. 故选：CD 例2.瑞士数学家欧拉在1765年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P分别为的外心、重心、垂心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 如图，由欧拉线定理得，B正确；    点为的重心，延长交于，则是的中点， 于是，则，C正确； 点是的垂心，由，得， 即，由，同理得， 因此，D正确. 故选：A 【变式训练】 1.在中，，点是的重心，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点为，因为点是的重心，所以，再令，则，，，当且仅当时取等号，故选B. 2.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是的外心，为的中点， 设的中点为，连接， 所以，，， . 故选：B. 3.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】由题意， 故所在的直线与三角形的高重合，故通过垂心.故选：C． 4.在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心故选:A 考点六：极化恒等式 【必背公式】 极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 【典例例题】 例1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【详解】由题设，，， . 故选：D 【变式训练】 1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 2.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， ， 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：D. 巩固训练 1.中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为， 由向量的线性运算法则, 可得 因为，所以，所以. 故选：D. 2．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，可得， 所以. 故选： C. 3．如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 4．如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 5.设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，解得，所以，故充分性成立； 当时，或，则或，故必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6.（多选）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 7．（多选）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（    ） A．若，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误； 对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确； 对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误； 故选：BD 8.（多选）如图，在平行四边形中，，，点F为BC的中点，则下列正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【详解】对于A，四边形是平行四边形，点F为BC的中点， 所以 ，故A正确； 对于B，因为，， 所以 ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 9.（多选）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，正八边形的内角为，易知， ，A对； 对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，    所以，，B对； 对于C选项，如下图所示：    设在方向上的投影向量为，由图形可知， 当、分别在线段、上时，取最大值， 且的最大值为，C错； 对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：    当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时，， 综上所述，，D对. 故选：ABD. 10.已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 11.设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 12.已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，则， 所以； （2）当与垂直时， 则有， 解得． 13．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为 ， ， ， 设与的夹角为， 则， 即与夹角的余弦值为； （3）因为与不共线，若，则， 所以，解得， 又，所以， 即，即，解得， 所以. 14．如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 又， 所以； （2）设，， 则， ， 所以 ， 当时，取到最小值，且为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$