专题02 有理数与数轴-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

专题02 有理数与数轴 1. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 2. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素； 3. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动； 4. 初步感受数形结合、分类讨论的思想。 题型探究 题型1、有理数的相关概念辨析 4 题型2、有理数的分类 5 题型3、有理数中的新定义集合 8 题型4、数轴的三要素及其画法 10 题型5、用数轴上的点与有理数的关系 12 题型6、数轴上两点之间的距离 14 题型7、数轴上的动点问题 16 培优精练 A组（能力提升） 18 B组（培优拓展） 24 【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？ 【思考2】请读出右侧温度计的读数。 【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和2.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和1.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。 【课外作业】查阅收集有关有理数的历史资料，然后给大家讲一讲有理数的来历和发展。 1.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 4）有理数的两种分类： 5）常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 2. 数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 题型1、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数． 例1．（23-24七年级上·广东·阶段练习）下列说法错误的是(   ) A．任何分数都是有理数 B．不一定是负数 C．一个数不是正数就是负数 D．没有最大的有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的知识，掌握有理数的定义和分类是解题的关键．根据有理数的定义和分类，逐项分析即可获得答案． 【详解】解：A. 任何分数都是有理数，该说法正确，不符合题意； B. 当是负数或0时，为正数或0，故不一定是负数，该说法正确，不符合题意； C. 0既不是正数，也不是负数，故本选项说法错误，符合题意； D. 没有最大的有理数，该说法正确，不符合题意．故选：C． 例2．（23-24七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；故选：D． 变式1．（2023·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误； 非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C 【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键． 变式2．（23-24七年级上·山东·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，依据有理数的概念和分类进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】、正整数、负整数、正分数、负分数和统称为有理数，故本选项错误，不符合题意； 、正整数和负整数和统称为整数，故本选项错误，不符合题意； 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确，符合题意； 、是有理数，故本选项错误，不符合题意；故选：． 题型2、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数可以化为有限小数或无限循环小数，据此即可求解． 【详解】解：在0，，，，中，有理数有0，，三个．故选：C 例2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里： ，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开） 正数集合______…；负数集合______…；非负整数集合______…． 【答案】， ；，， ； 【分析】根据正数和负数以及非负整数的定义，即可求解， 本题考查了正数，负数以及有理数，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：，，，，，， 正数集合，； 负数集合，， ； 非负整数集合， 故答案为：， ；，， ； ． 例3．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数； 【分析】本题考查有理数的分类，根据几个定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数． 变式1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）在3.14，0，，，，，，中，正有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的分类．根据整数和分数统称为有理数即可解答． 【详解】解：在3.14，0，，，，，，中， 正有理数有：3.14，，，共3个，故选：C． 变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是负有理数，故A不符合题意； B、是整数，故B符合题意；C、是正有理数，故C不符合题意； D、是负分数，故D不符合题意；故选：B． 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】 整数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}； 负分数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，；，，；，，． 题型3、有理数中的新定义集合 【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。 例1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2 【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法； （3）根据有理数的概念求解即可． 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，， 故答案为：，0，，． 【点睛】此题考查有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的概念． 例2.（2024•重庆七年级期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解． 【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x， ∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50， ∴这个黄金集合的个数是24或25个；故选C． 【点评】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m的取值范围，进而确定元素个数是解题关键． 变式1.（2023•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可． （2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可． 变式2.（2023•山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论； （2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论； 【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是； （2）不是；理由如下： 因为，所以是对偶集合， 又因为，所以不是完美对偶集合； 【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算． 题型4、数轴的三要素及其画法 【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 例1．（2023·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】D 【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项可得， A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意； B．数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意； C．∵任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意； D、∵任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意；故选：D． 【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 例2．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点．故选：B． 变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④ 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意．故选：D． 题型5、用数轴上的点与有理数的关系 【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系 ①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。 例1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C，故选：C． 例2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是个． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数， ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖个数．故选：D． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故答案：5或11． 变式1．（2024年湖南省长沙市中考月数学试题）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（    ） A．2024 B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上点的特征，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 根据数轴上的点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度， ∴点a点表示的数是2024．故选：A． 变式2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据刻度尺上“”在原点的左侧的位置即可求解． 【详解】解：根据题意可知刻度尺上“”在原点的左侧的位置， ∴刻度尺上“”对应数轴上的数为，故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键． 变式3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 【答案】1 【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可． 【详解】解：∵表示的点与表示6的点重合， ∴折痕处所表示的数为：，∴3表示的点与数1表示的点重合．故答案为：1． 【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 题型6、数轴上两点之间的距离 【解题技巧】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段2=3-1；线段． 问题：(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7(2)4(3)另一个点表示的数为2或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段，故答案为：7； （2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段，故答案为：4； （3）由题可得：①当另一个点在12右侧时，； ②当另一个点在12左侧时，，综上，另一个点表示的数为17或7． 例2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴，有理数用数轴上的点表示，掌握有理数与数轴上点的关系是关键．根据题意计算、长度，再计算长度，即可得出答案． 【详解】解：点表示的数分别是1，3，， ，，点表示的数是9．故答案为：9 变式1．（2024·广东·七年级期中）数轴上点表示的数是6，则与点相距4个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】2或10 【分析】本题考查了数轴的应用，关键是注意符合条件的有两种情况．根据题意得出两种情况：当点在表示6的点的左边时，当点在表示6的点的右边时，列出算式求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①当点在表示6的点的左边时，数为； ②当点在表示6的点的右边时，数为； 故答案为：2或10 变式2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______． 【答案】、1或 【分析】分在左侧，右侧，重合，三种情况分类讨论即可； 【详解】解：①当重合时，即表示的数是1时， 满足题意； ②当不重合时，为的中点， 在左侧时：表示的数是：； 在右侧时：表示的数是：； 综上：点在数轴上表示的数是、1或；故答案为：、1或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 题型7、数轴上的动点问题 【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。 例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上的A点与表示的是的点右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离．根据点A点在表示的是的右边，则该点所表示的数是，求出即可． 【详解】解：∵点在表示的是的点右边距离它5个单位长度， ∴点所表示的数是，故答案为：3． 例2．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的；，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的；故选：B． 变式1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上原点左边的点均为负数，原点右边的数为正数，当数a在数轴上表示的点向正方向移动n个单位时，可以得到 【详解】解：根据题意得：，故表示的数是3．故答案为：3． 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动，点运动秒后的路程：， 又点向右运动，点运动秒后表示的数为，故选：C． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的相关概念，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可． 【详解】解：A、  的正方向错了，故该选项是错误的； B、  的数值标错了，故该选项是错误的； C、  没有正方向，故该选项是错误的； D、  原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的； 故选：D 3．（2023·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意； 没有最小的整数，故（2）不符合题意；负数中没有最大的数，故（3）符合题意； 自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数，故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 4．（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数的定义解答即可；掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键． 【详解】解：整数有，，，共3个．故选：B． 5．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）在数轴上，与表示和4的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的中点的求法，根据数轴上两点的中点的求法，即两数和的一半，直接求出即可． 【详解】解：数轴上与表示和4的点距离相等的点所表示的数为，故选：C． 6．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，据此求解即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个．故选：B． 7．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确；存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故选：C． 8.（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确；④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个,故选：B． 9．（23-24六年级下·上海崇明·期中）在，，，，，，，中，非负整数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的识别，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键． 根据非负整数的定义逐一判断即可． 【详解】解：非负整数为：，；故选：C． 10．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，，故点B表示的数是4，故答案为：4． 11．（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ． 【答案】 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一 【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数” 故答案为： 12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内． ，，，0，，13，，，，， (1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）． 【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，． 【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案；（3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案 【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有：，，，故答案为：，，； （2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，，，故答案为：0，13，，； （3）据非负数的定义，非负数有：，，0，13，，，故答案为：，，0，13，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别． 13．（2023·湖北·七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题： (1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、； (2)大于并且小于的整数有哪几个？ (3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1)见解析(2)，，，(3)或 【分析】（1）在数轴上表示出，，，即可； （2）结合数轴数出符合题意的数字即可； （3）根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：点、、如图所示 （2）由数轴可知大于且小于的整数有，，，； （3）在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有 或， 即在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴可以表示数的位置，也可以表示数的大小关系，到一个点距离相等的数有两个，数形结合是解题的关键． 14．（2023·广东·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0， 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类逐项分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． B组（培优拓展） 1．（23-24七年级上·云南·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】 本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或．故选：C． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴， ∴数轴上的数与圆周上的数重合，故选C． 3．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（    ） A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】根据点A，B在数轴上分别表示0，3，算出每厘米代表的数值，乘以即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”， A，B在数轴上分别表示0，3， ∴，∴C在数轴上所表示的数为：；故选D． 【点睛】本题考查数轴上数字表示，解题的关键是根据的长度及数值得到每厘米代表的数值． 4．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到，解得，故答案为：0． 5．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】2004或2005 【分析】此题考查了数轴．此题应考虑线段的端点正好在两个整数点上和两个端点都不在整数点上两种情况． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖2005个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数． 故答案为：2004或2005． 6．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】根据题意得出，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可． 【详解】解：∵，点B为的中点，∴， 当点P位于点A左侧时，如图所示， ； 当点P与点A重合时，如图所示， ； 当点P位于点A与点B之间时，如图所示： ； 当点P与点B重合时，如图所示， ； 当点P位于点B与点C之间时，如图所示： ； 当点P与点C重合时，如图所示， ； 当点P位于点C右侧时，如图所示， ； 综上可得：的最小值为6，故答案为：6． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 7．（2023·四川·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法． 【答案】分成整数与分数或正数与负数都可以 【分析】根据有理数的分类求解即可． 【详解】分成整数和分数，即整数：，9；分数：0.3，，； 分成正数与负数，即正数：0.3，，9；负数：，． 【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类． 8．（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 【答案】(1)画图见解析(2)3km(3)30min 【分析】本题考查了正负数的应用以及在数轴上表示有理数，两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据时间乘速度等于路程，以及结合在数轴上表示有理数，即可作答． （2）求两点间的距离，即运用有理数的减法列式进行计算，即可作答． （3）先得出路程，再除以速度，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，则； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示： ； （2）解：依题意，．答：淇淇家与学校之间的距离是3km． （3）解：依题意，则， ∴．答：嘉嘉骑车一共用了30min． 9．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【答案】(1)点B所对应的数是；(2)A，B两点间距离是； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值； （2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：，∴点B所对应的数是； （2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到，∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，∴点B运动到：，∴A，B两点间距离为：． 10．（2022·山西太原·七年级校考期末）阅读与探究：我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是(2)(3)是，过程见解析(4)(5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）         设，由，得． 可知，，即，解得：， （3）设，由，    可得：， 等式两边同乘以100，可得，    即：，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 第 29 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数与数轴 1. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 2. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素； 3. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动； 4. 初步感受数形结合、分类讨论的思想。 题型探究 题型1、有理数的相关概念辨析 4 题型2、有理数的分类 5 题型3、有理数中的新定义集合 8 题型4、数轴的三要素及其画法 10 题型5、用数轴上的点与有理数的关系 12 题型6、数轴上两点之间的距离 14 题型7、数轴上的动点问题 16 培优精练 A组（能力提升） 18 B组（培优拓展） 24 【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？ 【思考2】请读出右侧温度计的读数。 【思考3】在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和2.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和1.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆。试画图表示这一情景。 【课外作业】查阅收集有关有理数的历史资料，然后给大家讲一讲有理数的来历和发展。 1.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 注意：在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数。 4）有理数的两种分类： 5）常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 2. 数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 题型1、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数． 例1．（23-24七年级上·广东·阶段练习）下列说法错误的是(   ) A．任何分数都是有理数 B．不一定是负数 C．一个数不是正数就是负数 D．没有最大的有理数 例2．（23-24七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 变式1．（2023·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（23-24七年级上·山东·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数 题型2、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里： ，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开） 正数集合___________…；负数集合____________…；非负整数集合____________…． 例3．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 变式1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）在3.14，0，，，，，，中，正有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 题型3、有理数中的新定义集合 【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。 例1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 例2.（2024•重庆七年级期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　） A．23 B．24 C．24或25 D．26 变式1.（2023•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 变式2.（2023•山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合． 例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合． （1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合． （2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由. 题型4、数轴的三要素及其画法 【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 例1．（2023·广东·七年级专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 例2．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 变式2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   题型5、用数轴上的点与有理数的关系 【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系 ①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。 例1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 例2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 变式1．（2024年湖南省长沙市中考月数学试题）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（    ） A．2024 B． C． D．不确定 变式2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为(　　) A． B． C． D． 变式3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 题型6、数轴上两点之间的距离 【解题技巧】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段2=3-1；线段． 问题：(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段_______； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段_______； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 例2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 变式1．（2024·广东·七年级期中）数轴上点表示的数是6，则与点相距4个单位长度的点表示的数是 ． 变式2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______． 题型7、数轴上的动点问题 【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。 例1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上的A点与表示的是的点右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 ． 例2．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2023·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）在数轴上，与表示和4的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8.（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（23-24六年级下·上海崇明·期中）在，，，，，，，中，非负整数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 11．（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ． 12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内． ，，，0，，13，，，，， (1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）． 13．（2023·湖北·七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题： (1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、； (2)大于并且小于的整数有哪几个？ (3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？ 14．（2023·广东·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0， B组（培优拓展） 1．（23-24七年级上·云南·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（    ） A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5 4．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 5．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 6．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，，点B为的中点，点P为数轴上的任意一点，则的最小值为______． 7．（2023·四川·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法． 8．（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置；(2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 9．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 10．（2022·山西太原·七年级校考期末）阅读与探究：我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 第 12 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$