第6节 二次函数的实际应用（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2023年河北中考数学复习

1 1 2 聚焦素养·研析真题 第三章　函　数 第6节　二次函数的实际应用 深挖教材·突破重难点 2 例1　难点某超市经销A，B两种商品.商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 25 30 35 40 销售量y（千克） 50 40 30 20 深挖教材·突破重难点 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数解析式； 【分层剖析】题干已知存在一次函数关系，可任选表格中两组数据， 利用待定系数法求解析式； 商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完.为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B. 解：设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），将表中数据（30，40），（40，20）代入得解得 ∴y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋100. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x之间的函数解析式； 【分层剖析】根据“利润＝销量×（销售单价－每千克成本）”求解即可； 解：在y＝－2x＋100中， 由y≤60，得x≥20，由y≥0，得x≤50， ∴20≤x≤50. w＝（x－20）（－2x＋100）－6（－2x＋100）＋（10－6）[60－（－2x＋100）]＝－2x2＋160x－2760（20≤x≤50）. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少（总利润＝两种商品的销售总额－两种商品的成本）？ 【分层剖析】根据“售价不低于成本，不高于成本的180%”建立关于售价的不等式，解不等式得到售价的取值范围，根据（2）中利润的函数解析式，结合二次函数的增减性可求得利润最大值. 解：20×180%＝36，由题意知20≤x≤36， w＝－2x2＋160x－2760＝－2（x－40）2＋440， ∵－2＜0，∴x＜40时，w随x的增大而增大， ∴当x＝36时，w有最大值，最大值为－2×（36－40）2＋440＝408（元）. 答：当销售单价定为36元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是408元. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 例2　难点甲、乙两名实验者在A，B两个实验室进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，经过数据分析，甲的舒适指数w甲与空调启动时间x（x≥1）成反比例关系，乙的舒适指数w乙与空调启动时间x（x≥1）的函数解析式为 w乙＝－2（x－h）2＋k，函数图象如图所示，且在 2小时时，乙的舒适指数最大. 例2题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （1）求m，k的值； 【分层剖析】由图象可得反比例函数图象上两点（1，m＋4），（2， m），根据反比例函数定义建立方程求解可得m值；由“在2小时时， 乙的舒适指数最大”可知x＝2时w乙取得最值，所以h＝2，将点（1，m＋ 4）代入w乙解析式求解可得k值. 解：∵甲的舒适指数w甲与空调启动时间x（x≥1）成反比例关系，且w甲的图象过点（1，m＋4），（2，m），∴1×（m＋4）＝2m， 解得m＝4，∴这两点的坐标分别为（1，8），（2，4）. ∵w乙＝－2（x－h）2＋k，且在2小时时，乙的舒适指数最大，∴h＝2. ∵点（1，8）在w乙的图象上，∴－2（1－2）2＋k＝8，解得k＝10. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）当w乙＝9时，求w乙－w甲的较大值； 【分层剖析】由（1）可得w甲和w乙的函数解析式，将题干数值代入 求得两组x值，进而得到两组w甲和w乙的值，分别作差比较得解. 解：由（1）可得w甲＝，w乙＝－2（x－2）2＋10， 当w乙＝9，即－2（x－2）2＋10＝9， 解得x1＝，x2＝， 当x1＝时，w甲＝，则w乙－w甲＝； 当x2＝时，w甲＝，则w乙－w甲＝. ∵＞，∴当w乙＝9时，w乙－w甲的较大值为. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）若规定舒适指数小于1时，实验室则不适合人长时间逗留，求至少启动空调多少小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留. 【分层剖析】分别令w甲和w乙的值为1，解得两个x的正值，要使两个实验室均不适合逗留，则需取较大的x值. 解：当w甲＝1时，1＝，解得x＝8； 当w乙＝1时，－2（x－2）2＋10＝1， 解得x1＝2＋，x2＝2－（舍去）. ∵2＋＜8， ∴至少启动空调8小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 例３　难点某校一面墙RS（长度大于32 m）前有一块空地，校方准备用长32 m的栅栏（A－B－C－D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1 m，设AB＝x m. 例3题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）当长方形EPQG的面积等于96 m2时，求AB的长； （1）用含x的代数式表示：BC＝ 　32－2x　⁠m，PQ＝ 　30－2x　⁠m；  32－2x　⁠ 30－2x　⁠ 　 对于面积类的问题，当图形周长已知时，可设出一条边长，然后用未知数表示出其他边，若面积固定，则根据面积公式可得到关于未知数的方程，从而求得边长.若面积不固定，可利用面积公式得到关于未知数的函数，利用函数的增减性求解最值问题. 方法指导 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：由题意得EP＝AM＝AB－MB＝x－1. ∵长方形EPQG的面积等于96， ∴PQ·EP＝（30－2x）（x－1）＝96， 解得x1＝7，x2＝9， ∴AB的长为7 m或9 m. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的最高总费用是多少？并求此时花圃的宽AB的值. 解：由题意可得甲区域的面积为2（x－1）＋（30－2x）＝28； 乙区域的面积为（30－2x）（x－1）＋2＝－2x2＋32x－28. 设总费用为y元，则 y＝100×28＋50（－2x2＋32x－28） ＝－100x2＋1600x＋1400， ∴y＝－100（x－8）2＋7800. ∵－100＜0，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为7800， ∴种植花卉与草坪的最高总费用是7800元，此时花圃的宽AB是8 m. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 聚焦素养·研析真题 １ 销售问题 命题点 1.[2017河北，26]某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12）符合关系式x＝2n2－2kn＋9（k＋3）（k为常数），且得到了表中的数据. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 月份n（月） 1 2 成本y（万元/件） 11 12 需求量x（件/月） 120 100 （1）求y与x满足的解析式，请说明一件产品的利润能否是12万元； 解：由题意，设基础价为a，浮动价为c，其中c＝， 则y＝a＋c＝a＋， 由表中数据可得解得∴y＝6＋. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 令12＝18－，则＝0. ∵x＞0，∴＞0，∴一件产品的利润不能是12万元. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； 解：将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9（k＋3）， 得120＝2－2k＋9k＋27， 解得k＝13，∴x＝2n2－26n＋144， 由题意得18＝6＋，解得x＝50， 经检验，x＝50是分式方程的解，且符合实际意义， ∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0， ∵Δ＝（－13）2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在某个月既无盈利也不亏损. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m＋1）个月的利润相差最大，求m. 解：设第m个月的利润为W，第（m＋1）个月的利润为W'， W＝18x－x＝12（x－50）＝24（m2－13m＋47）， 第（m＋1）个月的利润为W'＝24[（m＋1）2－13（m＋1）＋47]＝24（m2－11m＋35）， 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 若W≥W'，W－W'＝48（－m＋6），当m取最小值，最小值为1时，W－W'取得最大值，最大值为240； 若W＜W'，W'－W＝48（m－6），由m＋1≤12知m取最大值11时，W'－W取得最大值，最大值为240. 综上所述，满足条件的m的值为1或11. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2.[拓展训练]某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）. 第2题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； a.求出当4≤x≤8时的函数关系式； b.求出当8＜x≤28时的函数关系式. 解：a.当4≤x≤8时，设y＝（k≠0）， 将点A（4，40）代入，得k＝4×40＝160，∴y＝. b.当8＜x≤28时，设y＝k'x＋b（k'≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）代入y＝k'x＋b，得 解得∴y＝－x＋28. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式； 解：当4≤x≤8时，w＝（x－4）y＝（x－4）·＝160－； 当8＜x≤28时，w＝（x－4）y＝（x－4）（－x＋28）＝－x2＋32x－112＝－（x－16）2＋144. 综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为 w＝ 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）求出年利润的最大值. 解：当4≤x≤8时，∵－640＜0，∴w随x增大而增大， ∴当x＝8时，w有最大值，为160－＝80； 当8＜x≤28时，∵－1＜0， ∴当x＝16时，w有最大值，最大值为144. ∵80＜144，∴年利润的最大值为144万元. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2 抛物线型实际问题 命题点 3.[2018河北，26]如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米.运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米. 第3题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：∵v＝5，AB＝1，∴x＝5t＋1.∵h＝5t2，OB＝18，∴y＝－5t2＋18. 由x＝5t＋1，得t＝（x－1），∴y＝－（x－1）2＋18. （2）设v＝5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的解析式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离； 当y＝13时，13＝－（x－1）2＋18，解得x1＝6，x2＝－4（舍去）. 把x＝6代入y＝，得y＝3， ∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13－3＝10（米）. 解：将点A（1，18）代入y＝，得18＝，∴k＝18. 设h＝at2，把t＝1，h＝5代入，得a＝5，∴h＝5t2. （1）求k，并用t表示h； 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒，v乙米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，求出t的值及v乙的范围. 解：把y＝1.8代入y＝－5t2＋18，得t2＝， 解得t1＝1.8，t2＝－1.8（舍去）， ∴x＝5×1.8＋1＝10，∴甲的坐标为（10，1.8）， 此时，乙的坐标为（1＋1.8v乙，1.8）， 由题意得1＋1.8v乙－10＞4.5，∴v乙＞7.5. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4.[拓展训练]如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度AB为10 m，顶点M距水面6 m（即MO＝6 m），小孔顶点N距水面4 m（即NC＝4 m），建立如图②所示的平面直角坐标系. 第4题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：设大孔抛物线的解析式为y＝ax2＋6，把点A（－5，0）代入得25a＋6＝0，解得a＝－， ∴大孔抛物线的解析式为y＝－x2＋6. （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是4.5 m，宽度是4 m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5 m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？ 解：当x＝2时，y＝.∵－4.5＝＞0.5， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF. 解：由NC＝4 m，可知点F的纵坐标为4， 令y＝－x2＋6＝4，解得x1＝，x2＝－， 由抛物线对称性可知点E坐标为，点F坐标为， ∴EF＝（m）. 答：大孔的水面宽度EF为 m. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3 结合实物模型的实际问题 命题点 5.[2020河北，23]用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3. （1）求W与x的函数解析式； 解：设W＝kx2（k≠0）. ∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k，解得k＝， ∴W与x的函数解析式为W＝x2. [注：（1）及（2）中的a.不必写x的取值范围] 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚－W薄. a.求Q与x的函数解析式； b.x为何值时，Q是W薄的3倍？ 第5题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：a.厚板的厚度为（6－x）厘米， ∴Q＝W厚－W薄＝（6－x）2－x2＝－4x＋12， 即Q与x的函数解析式为Q＝－4x＋12. b.∵Q是W薄的3倍， ∴－4x＋12＝3×x2， 整理得x2＋4x－12＝0，解得x1＝2，x2＝－6（舍去）， ∴当x＝2时，Q是W薄的3倍. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 6.[拓展训练]某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. （1）按图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m（k≠0）表示，求该抛物线的函数解析式； 第6题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：∵长方形的长AD＝4，宽AB＝3，抛物线的最高点E到BC的距离为4， ∴OH＝AB＝3， ∴EO＝EH－OH＝4－3＝1， ∴E（0，1），D（2，0）， ∴该抛物线的函数解析式为y＝kx2＋1， 把点D（2，0）代入，解得k＝－， ∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2＋1. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本）？ 第6题图 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：∵GM＝2，∴OM＝OG＝1， ∴当x＝1时，y＝，∴N，∴MN＝， ∴S矩形FGMN＝MN·GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是425＋×50＝500（元）. 答：每个B型活动板房的成本是500元. （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 ∵－2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值为19200. 答：公司将销售单价n定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w最大，最大利润是19200元. 【请完成《精练册》第三章第6节（P33～P34）中的习题】 【更多同类型习题见第二部分P159】 解：根据题意，得w＝（n－500） ＝－2（n－600）2＋20 000. ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100＋≤160，解得n≥620. 第6节　二次函数的实际应用 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 $$