18.7应用举例（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过泰勒斯测金字塔高度的故事导入，连接生活实际问题与相似三角形知识，以首钢滑雪大跳台测高、河宽测量等实例构建“实际问题—抽象模型—应用解决”的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如滑雪大跳台、小孔成像）培养数学眼光，通过逻辑推理（相似判定、比例式推导）发展数学思维，用模型意识强化数学语言。采用问题驱动教学，学生能提升建模能力，教师可借助清晰流程和丰富实例提高教学效果。

第十八章 相似形 18.7 应用举例 导入新课 巍峨的金字塔矗立在沙漠中，它的高度曾是未解之谜。在没有现代测距仪的年代，古希腊数学家泰勒斯凭借敏锐的观察力和智慧，仅用一根木棍和阳光，就巧妙地测出了它的高度，令古埃及法老惊叹不已。 这个故事背后，藏着我们今天要学习的数学核心——相似三角形的应用。让我们一起走进几何的奇妙世界吧！ 你知道他是怎样做到的吗？ 学 习 目 标 1 2 3 能运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体高度和宽度问题（重点） 理解数学建模的思想，能将实际问题抽象为相似三角形数学模型（重点） 体会数学与生活的紧密联系，感悟相似三角形的应用价值 新知探究 如何测算首钢滑雪大跳台的高度?其实，只需利用一根直木棒和一把刻度尺就可以实现.你能够测算出它的高度OB吗? · O · B 先竖一根已知长度的直木棒O'B' 再测得木棒的影长A'B'与首钢滑雪大跳台的影长AB 这样，与太阳光线,构造相似三角形，可求出OB的长度。 新知探究 解：太阳光线OA,O'A'可看作平行光线， ∴∠OAB= ∠O'A'B'. 又∠ABO=∠ A'B'0'=90°, ∴△OAB∽△O'A'B', ∴OB:O'B'=AB:A'B'. 如果O'B'=1m，测得A'B'=0.75m，AB=45m，那么 OB:1=45:0.75 ∴OB=60(m), 即首钢滑雪大跳台的高度约为60m. 思考：古希腊数学家泰勒斯怎样仅用一根木棍和阳光，测出了金字塔高度的？ 新知探究 如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找出DO和AB的交点C.测AC=12m，BC=6m，DB=8m，请你算出这条河的宽OA. 8m 6m 12m ？ ∠OAC=∠DBC=90° 对顶角：∠OCA=∠DCB △OAC∽△DBC 构造X型图 新知探究 解：∵∠0CA=∠DCB,∠OAC=∠DBC=90°, ∴△OAC∽△DBC. ∴ ∴ ∴ 即这条河的宽度为16m. 8m 6m 12m ？ 新知探究 在物理课上，同学们曾研究过小孔成像:在较暗的屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像(如图)，这种现象就是小孔成像. 如图，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A'B'的高度为5cm，蜡烛火焰根B到孔O的距离为4cm.试求火焰根的像B'到孔O的距离，并说明理由. 2cm 5cm ' 4cm ? 构造X型图 新知探究 2cm 5cm 4cm ? 解：∵AB//B'A', ∴△OAB∽△OA'B'. ∴ ∴ ∴ 火焰根的像B'到孔O的距离为10cm. 新知探究 相似三角形解决实际问题 总结归纳 实际问题 数学问题 相似三角形 列比例式求解 解释实际结果 抽象 构造 💡 核心解题思想 解题的关键在于构造相似模型，通过寻找或创造平行线、等角等条件，建立相似关系，进而利用“对应边成比例”这一核心法则，将几何问题转化为代数比例计算。 基础巩固题 新知应用 1、如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　) A．60m B．40m　 C．30m D．20m B 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 基础巩固题 新知应用 2. 如图，晓研同学测量旗杆AB的高度，在地面上竖一根2.4米长的竹竿DE，并在同一时刻下测得DE ，AB在地面上的影长EF=1.8米，BC=5.4米，则旗杆AB 长为（ ） A. 6.4米 B. 7.2米 C. 8米 D. 9.6米 B 测高方法1： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 基础巩固题 新知应用 测高方法2： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 3.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B 4.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15 cm，到屏幕的距离为150 cm，且幻灯片上图形的高度为10 cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A．100 cm B．105 cm C．110 cm D．115 cm C 基础巩固题 新知应用 基础巩固题 新知应用 5.在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一楼的影长为60m，那么此楼的高度是多少米? 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高的方法3 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 解：设此楼的高度是x米, ∴ ∴x =36 此楼的高度是36米 基础巩固题 新知应用 6.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，其他条件如图，求球拍击球的高度h(假设网球的运行路线是直线). D E A B C 解：如图，DE⊥BC于点E, AB⊥BC于点B ∵∠ACB=∠DCE,∠CBA=∠CED=90°, ∴△ABC∽△DEC. ∴ ∴ ∴ 即球拍击球的高度为2.4m. 基础巩固题 新知应用 7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m．则树高AB是多少米？ 解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB ∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，CD＝8m， 解得：BC＝4， ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5（m）. 答：树高AB是5.5米． 基础巩固题 新知应用 能力提升题 新知应用 8.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线. 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB. 能力提升题 新知应用 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝， 解得AB＝17(m). 经检验，AB＝17是原分式方程的解. 答：河宽AB的长为17 m. 能力提升题 新知应用 9、如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. A E C D F B N 分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN. 能力提升题 新知应用 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴ , ∴CN=3.6m， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故树的高度为5.2m. A E C D F B N 能力提升题 新知应用 10.某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4 m的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57 m，D，E之间有一个花圃，距离无法测量，然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4 m，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6 m，已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．(平面镜的大小厚度忽略不计). 能力提升题 新知应用 课堂小结 相似三角形解决实际问题 实际问题 数学问题 相似三角形 列比例式求解 解释实际结果 抽象 构造 💡 核心解题思想 解题的关键在于构造相似模型，通过寻找或创造平行线、等角等条件，建立相似关系，进而利用“对应边成比例”这一核心法则，将几何问题转化为代数比例计算。 感谢聆听! 【解】∵CD⊥BG，FG⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°. 又∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE.∴＝. ∵CD＝4 m，FG＝1.6 m，EG＝2.4 m，∴＝，解得DE＝6 m.∵BD＝57 m，∴BE＝BD＋DE＝57＋6＝63(m)． ∵AB⊥BG，∴∠ABE＝90°＝∠CDE. 又∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE.∴＝， 即＝，解得AB＝42 m．∴凌霄塔的高度AB为42 m. $