第5节 二次函数的图象与性质（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2023年河北中考数学复习

1 1 2 3 深挖教材·突破重难点 第三章　函　数 第5节　二次函数的图象与性质 聚焦素养·研析真题 考点梳理·自主学习 2 考点梳理·自主学习 1 二次函数及其性质 （6年3考） 知识点 概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 图示 a＞0 a＜0 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而① 　减小　⁠，在对称轴右侧，y随x的增大而② 　增大　  在对称轴左侧，y随x的增大而③ 　增大　⁠，在对称轴右侧，y随x的增大而④ 　减小　  减小 增大 增大　⁠ 减小　  第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 最值 若自变量x的取值范围为x1≤x≤x2，则最大、最小值都存在： （1）若对称轴在该范围内，则最值分别在顶点和一端点处取得； （2）若对称轴不在该范围内，则最值分别在x＝x1，x＝x2处取得 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象特征与a，b，c的关系 知识点 a（决定开 口方向） a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 a，b（决定 对称轴 x＝－ 的位置） b＝0 对称轴是y轴 ab＞0（即a，b同号） 对称轴在y轴⑤ 　左　⁠侧（左同）  ab＜0（即a，b异号） 对称轴在y轴⑥ 　右　⁠侧（右异）  左　⁠ 右　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 c（决定与 y轴的交 点位置） c＝0 抛物线过原点 c＞0 抛物线与y轴交于⑦ 　正　⁠半轴  c＜0 抛物线与y轴交于⑧ 　负　⁠半轴  正　⁠ 负　⁠ b2－4ac （决定与 x轴交点 的个数） b2－4ac＝0 与x轴有一个交点（顶点） b2－4ac＞0 与x轴有⑨ 　两　⁠个交点  b2－4ac＜0 与x轴⑩ 　没有　⁠交点  两　⁠ 没有　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 a，b，c之 间的特殊 关系 2a＋b 比较1与－的大小关系 2a－b 比较－1与－的大小关系 a＋b＋c 令x＝⑪ 　1　⁠，看纵坐标  a－b＋c 令x＝⑫ 　－1　⁠，看纵坐标  4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标 1　⁠ －1　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3 二次函数解析式的形式及确定 知识点 　　1.二次函数解析式的三种形式 解析式（a≠0） 顶点坐标 对称轴 最值（a＞0有最小值，a＜0有最大值） 一般式：y＝ax2＋bx＋c 直线x＝⑬ 　－　  －　  第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解析式（a≠0） 顶点坐标 对称轴 最值（a＞0有最小值，a＜0有最大值） 交点式：y＝a（x－x1）（x－x2） 直线x＝⑭  ⑮        第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解析式（a≠0） 顶点坐标 对称轴 最值（a＞0有最小值，a＜0有最大值） 顶点式：y＝a（x－h）2＋k （h，k） 直线x＝⑯ 　h　  k h　  第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2.二次函数解析式的确定 （1）根据已知条件设出适当的解析式： a.若已知抛物线上任意三个点的坐标，可设y＝ax2＋bx＋c； b.若抛物线对称轴是y轴，可设y＝ax2＋c； c.若抛物线顶点在x轴上，可设y＝a； d.若已知抛物线顶点（h，k），可设为顶点式y＝a＋k； e.若已知抛物线与x轴的两交点坐标为，，可设为交点式y＝a； （2）代入已知点坐标，联立方程，求得系数和常数项； （3）将所得系数或常数项代入所设解析式即可. 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象的平移 （6年1考） 知识点 平移方式（m＞0） 平移前的 顶点坐标 平移后的顶点坐标 平移后的解析式 规律 向左平移m个单位长度 （h，k） （h－m，k） y＝a（x－h＋m）2＋k 左右平移时，给x 左加右减；上下平移时，给k上加下减 向右平移m个单位长度 ⑰ 　（h＋m，k）　  ⑱ 　y＝a（x－h－m）2＋k　  （h＋ m，k）　  y＝a （x－h －  m）2＋k　  第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 平移方式（m＞0） 平移前的 顶点坐标 平移后的顶点坐标 平移后的解析式 规律 向上平移m个单位长度 （h，k） （h，k＋m） y＝a（x－h）2＋k＋m 左右平移时，给x 左加右减；上下平移时，给k上加下减 向下平移m个单位长度 ⑲ 　（h，k－m）　  ⑳ 　y＝a（x－h）2＋k－m　  （h，k －m）　  y＝a（x－ h）2＋k－m　  第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与㉑ 　x　⁠轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根  当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴无交点，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根 x　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 二次函数与不 等式的关系 ax2＋bx＋c＞0的解集：函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴㉒ 　上　⁠方对应点的横坐标的取值范围  ax2＋bx＋c＜0的解集：函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴㉓ 　下　⁠方对应点的横坐标的取值范围  上　⁠ 下　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 深挖教材·突破重难点 例　北师·九（下）P45已知抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）. （1）若该抛物线经过（3，2），（－1，2），（－2，7）三点，则抛物线的解析式为 　y＝x2－2x－1　⁠；  a.该抛物线开口向 　上　⁠，对称轴为直线 　x＝1　⁠，顶点坐标为 　（1，－2）　⁠；  y＝x2－2x－1　⁠ 上　⁠ x＝1　⁠ （1， －2）　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 b.该抛物线与y轴的交点坐标为 　（0，－1）　⁠，与x轴的交点坐标为 　（1＋，0），（1－，0）　⁠；  c.当x 　＜　⁠1时，y随x的增大而减小；该函数有最 　小　⁠值（填“大”或“小”）为 　－2　⁠，当－1≤x≤2时，y的最大值为 　2　⁠；  （0，－1）　⁠ （1＋，0），（1－，0）　⁠ ＜　⁠ 小　⁠ －2　⁠ 2　⁠ d.若点P1，P2，P3在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为 　y2＜y1＜y3　⁠（用“＜”连接）；  e.该抛物线与x轴所围成的封闭区域（包含边界）内整点的个数为 　7　⁠个；  y2＜y1＜y3　⁠ 7　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝，与x轴的一个交点是（2，0），则abc 　＜　⁠0，－2b＋c 　＝　⁠0，9a＋3b＋c 　＜　⁠0；  例题图 ＜　⁠ ＝　⁠ ＜　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）若该抛物线顶点坐标为（2，3），且过点（1，5），则该抛物线解析式为 　y＝2＋3　⁠.将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的函数解析式为 　y＝2x2　⁠.  （4）已知抛物线的交点式为y＝－（x－t）（x－t＋4）（t＞0），双曲线y＝（x＞0），设抛物线与双曲线的一个交点的横坐标为x0，且满足3＜x0＜4，在抛物线的位置随t变化的过程中，t的取值范围是 　5＜t＜7　⁠.  y＝2＋3　⁠ y＝2x2　⁠ 5＜t＜ 7　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 聚焦素养·研析真题 1 二次函数图象上点的坐标特征 命题点 1.[2017河北，15]如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（　D　） 第1题图　　 D 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 A　 B C　 D 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2.[2020河北，15]如图，现要在抛物线y＝x（4－x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下： 甲：若b＝5，则点P的个数为0； 乙：若b＝4，则点P的个数为1； 丙：若b＝3，则点P的个数为1. 第2题图 下列判断正确的是（　C　） C A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2 二次函数与一次函数图象的交点问题 命题点 3.[2018河北，16]对于题目“一段抛物线L：y＝－x（x－3）＋c（0≤x≤3）与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”，甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（　D　） A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 D 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3 二次函数的基本性质 命题点 4.[拓展训练]二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（　D　） A.函数y2的图象开口向上 B.函数y2的图象与x轴没有公共点 C.当x＝1时，函数y2的值小于0 D.当x＞2时，y2随x的增大而减小 第4题图 D 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 5.[拓展训练]王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为（　A　） A.m1，m4 B.m2，m3 C.m3，m6 D.m4，m5 第5题图　　 A 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 6.[拓展训练]二次函数y＝x2－6x＋m满足以下条件：当－2＜x＜－1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 （　D　） A.27 B.9 C.－7 D.－16 D 7.[拓展训练]如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经 过点P（－2，3），点Q（m，n）在该二次函数图象上， 且点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围为 　2≤n＜11　⁠.  第7题图 2≤n＜11　⁠ 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4 二次函数图象的平移 命题点 8.[2022河北，23]如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4－（6－x）2上，且在C的对称轴右侧. （1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； 第8题图 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：∵抛物线C：y＝4－（6－x）2＝－（x－6）2＋4， ∴抛物线的顶点为Q（6，4）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4， 当y＝3时，3＝－（x－6）2＋4，解得x1＝5，x2＝7. ∵点P在对称轴的右侧， ∴a＝7. 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'.平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9.求点P'移动的最短路程. 解：由题意可得平移后的抛物线的解析式为y＝－（x－3）2， ∴平移后的顶点为Q'（3，0）. ∵平移前抛物线的顶点Q（6，4）， ∴点P'移动的最短路程为QQ'＝＝5. 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 9.[拓展训练]在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点. （1）判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由； 解：点B在直线y＝x＋m上，理由如下： ∵直线y＝x＋m经过点A（1，2）， ∴2＝1＋m，解得m＝1， ∴直线为y＝x＋1. 把x＝2代入y＝x＋1得y＝3， ∴点B（2，3）在直线y＝x＋m上. 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）求a，b的值； 解：直线y＝x＋1经过点B（2，3），直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋bx＋1都经过点（0，1）， ∴点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上. 又∵直线与抛物线不可能有三个交点，且xB＝xC＝2， ∴抛物线只能经过A，C两点. 把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2＋bx＋1得 解得 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 解：由（2）可得抛物线y＝－x2＋2x＋1经平移后其顶点仍在直线y＝x＋1上. 设平移后的抛物线的解析式为y＝－（x－h）2＋h＋1， ∴y＝－x2＋2hx－h2＋h＋1. 设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c,则c＝－h2＋h＋1＝－＋，∴当h＝时,平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的值最大,最大值为. 【请完成《精练册》第三章第5节（P29～P32）中的习题】 【更多同类型习题见第二部分P154】 第5节　二次函数的图象与性质 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 $$