第3节 代数式与整式（含因式分解）（课件PPT）-【卓文中考·加速度】2023年河北中考数学复习

1 1 2 3 深挖教材·突破重难点 第一章　数与式 第3节　代数式与整式（含因式分解） 聚焦素养·研析真题 考点梳理·自主学习 2 考点梳理·自主学习 1 代数式及其求值 （6年4考） 知识点 　　1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式（代数式不含等号），单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式：首先是找出问题中的数量关系及公式，如：路程＝速度×时间，售价＝标价×折扣等，其次要抓住一些关键词，如：多、少、大、小、增长、下降等. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3.代数式求值 （1）直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值； （2）整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式变形为与已知条件相关联的代数式，将已知条件整体代入所求代数式中求值. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2 整式的相关概念 知识点 1.单项式 （1）概念：由数字与字母或字母与字母的① 　乘积　⁠所组成的代数式叫做单项式，单独一个数字或字母也是单项式；  （2）系数：单项式中的② 　数字　⁠因数，如：a2b的系数为1，2a的系数为2；  （3）次数：一个单项式中所有字母的③ 　指数　⁠的和，如：a2b的次数为3，2a的次数为1.  乘积　⁠ 数字　⁠ 指数　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2.多项式 （1）概念：几个单项式的④ 　和　⁠叫做多项式；  （2）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项； （3）次数：多项式中，最高次项的次数叫做多项式的次数，如5a3＋4b＋3c的次数是3. 和　⁠ 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的⑤ 　指数　⁠也相同的单项式（所有的常数项都是同类项）.  指数　⁠ 3.整式：单项式与多项式统称为整式. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3 整式的运算 （6年13考） 知识点 　　1.整式的加减（实质是合并同类项） 合并 同类项 去括 号法则 括号前是“＋”号，括号内各项⑧ 　不变号　⁠，如a＋（b＋c）＝a＋b＋c；括号前是“－”号，括号内每一项都变号，如a－（b＋c）＝a－b－c  不变号　⁠ 2 指数 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 　　2.幂的运算 运算 文字表述 字母表述（举例） 同底数 幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝⑨ 　am＋n　  同底数 幂相除 底数不变，指数相减 am÷an＝⑩ 　am－n　⁠（a≠0）  am＋n　  am－n　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 运算 文字表述 字母表述（举例） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （am）n＝⑪ 　amn　  积的乘方 各因式分别乘方的积 （ab）n＝⑫ 　anbn　  amn　  anbn　  第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （1）当括号内有“－”号时， （－am）n＝ （2）当含有系数时，一定要给系数进行乘方运算. 遇到积的乘方时，要注意： 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 　　3.整式的乘法 运算 文字表述 字母表述（举例） 单项式乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 2a3·3ab2＝6a4b2 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 运算 文字表述 字母表述（举例） 单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 m（a＋b）＝ma＋mb 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 运算 文字表述 字母表述（举例） 多项式乘多项 式 先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 运算 文字表述 字母表述（举例） 乘法公式 平方差公式 （1）公式：（a＋b）（a－b）＝⑬ 　a2－b2　⁠.  （2）几何背景： 完全平方公式 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， （a－b）2＝a2－2ab＋b2 a2－b2　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4.整式的除法 运算 文字表述 字母表述（举例） 单项式 除以单 项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式 4ab÷2a＝2b 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 运算 文字表述 字母表述（举例） 多项式 除以单 项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 （am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4 因式分解 （6年1考） 知识点 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 基本方法　 提公 因式法 ma＋mb＋mc＝⑭ 　m（a＋b＋c）　  公式法 （1）a2－b2 ⑮ 　（a＋b）（a－b）　⁠；  （2）（a±b）2 ⑯ 　a2±2ab＋b2　  m（a＋b＋c）　  （a＋b）（a－b）　⁠ a2±2ab＋b2　  第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 一般步骤 一提：有公因式，先提公因式； 二套：提取公因式后，用公式法：两项考虑用平方差公式，三项考虑用完全平方公式，四项及以上考虑用分组分解法； 三检查：检查分解因式是否彻底 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 深挖教材·突破重难点 例　人教·七（上）P57仔细观察下列各式，请回答以下问题. ①－2；②3x；③2x2y2；④－xmyn；⑤x2＋2x＋1. （1）其中单项式有 　①②③④　⁠，多项式有 　 ⑤ 　⁠（填序号）；  （2）2x2y2的系数是 　2 　⁠，次数是 　4　⁠，x2＋2x＋1是 　2 　⁠次 　3 　⁠项式；  ①②③④　⁠ ⑤ 　⁠ 2 　⁠ 4　⁠ 2 　⁠ 3 　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （3）下列可以用3x表示的是 　ac　⁠；  a.若菠萝的价格是3元/千克，则3x表示买x千克菠萝的金额 b.若x表示一个半圆的直径，则3x表示这个圆的周长 c.将一个小木块放在水平桌面上，若3表示木块与桌面的接触面积，x表示桌面受到的压强，则3x 表示小木块对桌面的压力 d.若3和x分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，则3x表示这个两位数 ac　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （5）若x2＋2x＋1＝5，则2x2＋4x－7的值为 　1　⁠.  （6）若（x2＋2x＋1）＋（mx＋8）可因式分解为完全平方式，则m＝ 　4或－8　⁠.  1　⁠ 4或－8　⁠ （4）若mxy3和－xmyn是同类项，则m＝ 　1　⁠，n＝ 　3　⁠；  1　⁠ 3　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 聚焦素养·研析真题 1 列代数式及求值 命题点 1.[2018河北，12]用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（　B　） A.4 cm C.（a＋4）cm B.8 cm D.（a＋8）cm 第1题图 B 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2.[2022保定清苑区一模]根据数值转换机的示意图，输出的值为 （　C　） A.9 B.－9 C. D.－ 第2题图 C 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3.[2021河北，17]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）. （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 　a2＋b2　⁠；  （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 　4　⁠块.  第3题图 a2＋b2　⁠ 4　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 4.[2021河北，20]某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元. （1）用含m，n的代数式表示Q； 解：由题意可得Q＝4m＋10n. （2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值. 解：将m＝5×104，n＝3×103代入（1）中式子得 Q＝4×5×104＋10×3×103＝2.3×105. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 5.[2020河北，21]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果.如图②，已知A，B两区初始显示的分别是25和－16. 如，第一次按键后，A，B两区分别显示的结果如图①. 第5题图 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由. （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； 解：A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a. 解：这个和不能为负数.理由如下： 根据题意得25＋4a2＋（－16－12a）＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝（2a－3）2， ∵（2a－3）2≥0， ∴从初始状态按4次后，A，B两区代数式的和不能为负数. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 2 整式运算 命题点 6.[2022河北，1]计算a3÷a得a？，则“？”是（　C　） A.0 B.1 C.2 D.3 7.[2020河北，2]墨迹覆盖了等式“x3 x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　D　） A.＋ B.－ C.× D.÷ C D 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 8.[2020河北，11]若k为正整数，则（）k＝（　A　） A.k2k B.k2k＋1 C.2kk D.k2＋k 9.[2021河北，2]不一定相等的一组是（　D　） A.a＋b与b＋a B.3a与a＋a＋a C.a3与a·a·a D.3（a＋b）与3a＋b A D 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 10.[2017河北，4]＝（　B　） A. B. C. D. B 11.[2019河北，6]小明总结了以下结论： ①a（b＋c）＝ab＋ac； ②a（b－c）＝ab－ac； ③（b－c）÷a＝b÷a－c÷a（a≠0）； ④a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c（a≠0）. 其中一定成立的个数是（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 C 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 12.[2018河北，13]若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n＝（　A　） A.－1 B.－2 C.0 D. 13.[2018河北，18]若a，b互为相反数，则a2－b2＝ 　0　⁠.  14.[2019河北，17]若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为 　－3　⁠.  A 0　⁠ －3　⁠ 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 15.[2022河北，22]发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证　如，（2＋1）2＋（2－1）2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和； 探究　设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确. 解：验证　10的一半为5， 5＝1＋4＝12＋22. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 探究　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.理由如下： 　（m＋n）2＋（m－n）2 ＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2 ＝2m2＋2n2 ＝ 2（m2＋n2）， 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 16.[2019河北，21]已知：整式A＝（n2－1）2＋（2n）2，整式B＞0. 尝试 化简整式A. 发现 A＝B2，求整式B. 联想　由上可知，B2＝（n2－1）2＋（2n）2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值： 第16题图 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 直角三角形三边长 n2－1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 1 7 勾股数组Ⅱ 35 / 3 7 17 37 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 解：尝试　A＝（n2－1）2＋（2n）2 ＝n4－2n2＋1＋4n2 ＝n4＋2n2＋1. 发现　∵A＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2，A＝B2，B＞0， ∴B＝n2＋1. 联想　当2n＝8时，n＝4， ∴B＝n2＋1＝42＋1＝17； 当n2－1＝35时，B＝n2＋1＝37. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 17.[2018河北，20]嘉淇准备完成题目：化简：（□x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2）发现系数“□”印刷不清楚. （1）他把“□”猜成3，请你化简：（3x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2）； 解：（3x2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2） 　　＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝－2x2＋6. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“□”是几？ 解：设“□”是a， 则原式＝（ax2＋6x＋8）－（6x＋5x2＋2） ＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝（a－5）x2＋6， ∵标准答案的结果是常数， ∴a－5＝0，解得a＝5. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 18.[2017河北，22]发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数. 验证　（1）（－1）2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？ 解：（－1）2＋02＋12＋22＋32 ＝1＋0＋1＋4＋9 ＝15， 15÷5＝3， 即（－1）2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数. 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几？请写出理由. 解：由题意得其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2， 它们的平方和为（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2 ＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4 ＝5n2＋10. ∵5n2＋10＝5（n2＋2），且n是整数， ∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 延伸　余数是2.理由如下： 设三个连续整数的中间一个为a，则其余的2个整数是a－1，a＋1， 它们的平方和为 　（a－1）2＋a2＋（a＋1）2 ＝a2－2a＋1＋a2＋a2＋2a＋1 ＝3a2＋2. ∵a是整数，∴a2是整数， ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 3 因式分解 命题点 19.[2020河北，3]对于①x－3xy＝x（1－3y），②（x＋3）（x－1）＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是（　C　） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 C 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 20.[拓展训练] 阅读图中的材料： 　　因式分解x2－4y2－2x＋4y，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，然后继续提取公因式.具体过程如下： 　x2－4y2－2x＋4y ＝（x2－4y2）－（2x－4y） ＝（x＋2y）（x－2y）－2（x－2y） ＝（x－2y）（x＋2y－2） 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 利用材料中的方法　解决下列问题： （1）分解因式：x2－2xy＋y2－4； 解：原式＝（x－y）2－22＝（x－y＋2）（x－y－2）. （2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由. 解：∵a2－ab－ac＋bc＝0， ∴a（a－b）－c（a－b）＝0，∴（a－b）（a－c）＝0， ∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形. 【请完成《精练册》第一章第3节（P6～P7）中的习题】 【更多同类型习题见第二部分P147】 第3节　代数式与整式（含因式分解） 卓文中考.加速度 数学 2023河北中考 $$