上海市高一数学下学期期末模拟试卷03-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷03 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：必修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．是虚数单位，若，则　　． 【分析】根据复数的模即可求出． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的模的运算，属于基础题． 2．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 　　． 【分析】由复数的辐角主值直接可求． 【解答】解：复数对应复平面内的点为， 设的辐角主值为， ，， ，． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的辐角主值的求法，属于基础题． 3．在中，，，，则　　． 【分析】直接代入数量积计算公式求解即可． 【解答】解：在中，，，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的数量积，考查计算能力，属于基础题． 4．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则　　． 【分析】根据三角形法则可得，从而，结合即可用与表示出，进一步即可得出的值． 【解答】解：由，得，故， 所以， 故，，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 5．已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 　，，　． 【分析】由题意得或，从而可得，从而代入的不同值求出即可． 【解答】解：虚数是1的一个四次方根，或， 故， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故满足条件的组成的集合为，，， 故答案为：，，． 【点评】本题考查了复数的代数形式的运算，同时考查了复数的周期性，属于基础题． 6．已知，，，则　　． 【分析】由题意可得范围，，进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解． 【解答】解：因为，，， 所以，，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 7．已知，，若，则点的坐标为 　　． 【分析】设利用分点坐标公式表示出向量，即可求出结果． 【解答】解：设，， 又由、，，， 可得，解得，，解得； 所以点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 8．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转得到向量，则向量所对应的复数为 　　（结果用复数的代数形式表示）． 【分析】把绕原点按顺时针方向旋转得到，可知与所对应的复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到， 可得与对应的复数为 ， 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 9．已知函数，，的部分图象如图所示，则的解析式为　　． 【分析】由图象可知，可求周期，利用周期公式可求，从而可求，代入点，，结合范围，可求，即可得解解析式． 【解答】解：（1）由图象可知，，周期， ，，则， 从而，代入点，， 得，则，，即，， 又，则， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题． 10．已知函数，对于任意，都有成立，则　　． 【分析】对于任意，都有成立，则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值． 【解答】解：， 对于任意，都有成立，则是的最大值， 所以，，，，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，考查运算能力，属于基础题． 11．设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面四个结论中： （1）图象关于点对称； （2）图象关于点对称； （3）在上是增函数； （4）在上是增函数， 那么所有正确结论的编号为　（2）（4）　． 【分析】首先由三角函数周期公式和对称轴方程，求出和，然后再由三角函数图象关于对称性的规律：对称轴处取最值，对称中心为零点．由此再结合函数的最小正周期，则不难从（1）、（2）中选出．再解一个不等式：，取适当的值，就可以从（3）、（4）中选出是（4）正确的． 【解答】解：因为函数最小正周期为，故 再根据图象关于直线对称，得出 取，得 所以函数表达式为： 当时，函数值，因此函数图象关于点对称 所以（2）是正确的 解不等式： 得函数的增区间为： 所以（4）正确的． 故答案为（2）（4） 【点评】本题着重考查了三角函数的周期性、对称性和单调性，属于中档题．熟悉三角函数的图象与性质，能对正余弦曲线进行合理地变形，找出其中的规律所在，是解决本题的关键． 12．在中，角，，的对边分别为，，，，则　　． 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【解答】解：， ， 由正弦定理得，， ， ， ， 又，， ， 即， ， ， 又，，， ，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数的应用，属于中档题． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先化简，求出，根据充分必要条件的定义再判断即可． 【解答】解：复数是纯虚数， 则，， 所以是的必要不充分条件， 故选：． 【点评】考查了复数的运算及其定义，充分必要条件的判断，属于基础题． 14．的三角形式是　　 A． B． C． D． 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题． 15．现有下列四个结论： ①对任意向量、，有； ②对任意向量，有； ③对任意复数，有； ④对任意复数，有． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】对于①和②，由平面向量数量积的运算法则，即可判断； 对于③和④，设复数，分别计算，和，即可判断． 【解答】解：①，，只有当，时，才有，即①错误； ②，即②正确； 对于③和④，设复数，则，， 所以与不一定相等，即③错误； 而，所以与相等，即④正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量与复数，熟练掌握平面向量的数量积，复数的乘法运算法则和模的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 16．已知的外心是，且，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【分析】设，先证四边形是矩形，再得，然后由投影向量的计算方法，得解． 【解答】解：设， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，且为圆的直径， 所以，即四边形是矩形， 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的投影向量的求法，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．已知向量，，． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）根据题意，设向量与的夹角为，由、的坐标可得、以及的值，计算可得的值，结合的范围，分析可得答案； （2）根据题意，求出的坐标，由向量垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，设向量与的夹角为， 向量，， 则，，， 则， 又因为，，故； （2）向量，，， 则，因为， ， 解可得； 故； 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，属于基础题． 18．已知，其中是虚数单位，为实数． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围． 【分析】（1）直接由实部为0且虚部不为0列式求解值； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解． 【解答】解：（1）为纯虚数， ，解得； （2）在复平面内对应的点位于第二象限， ，解得或． 的取值范围是，，． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 19．（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间，是严格增函数． 【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图． （2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明． 【解答】解：（1）由题意，， 当，即时，函数取得最大值2． 取，，列表如下： 0 0 2 0 0 该函数在一个最小正周期内的大致图象如右图所示． （2）正弦函数在上的单调增区间为， 单调减区间为， 证明：任取、，令，，则，， 由于是正弦函数的单调增区间， 所以，，即， 故余弦函数在区间，是严格增函数． 【点评】本题考查三角函数的化简，五点作图法，三角函数的图象和性质等知识，属中档题． 20．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，． （1）求、两点之间的距离； （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长． 【分析】（1）在中，利用三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理即可求解的值． （2）通过测量可得，，，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可求的值． 【解答】解：（1）在中，，，， 由正弦定理可得， 即． 答：、两点之间的距离为． （2）通过测量可得，，． 在中，由正弦定理，有， 可得， 在中，由余弦定理有或． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题． 21．如图，平行四边形中，． （1）若，为中点，求证：点，，共线； （2）若，，求的最小值，及此时的值． 【分析】（1），可证明点，，共线； （2）设，，根据，，可得，转化为关于、的不等式，利用基本不等式可解决此问题． 【解答】解：（1）平行四边形中，，，为中点， ，，，，共线； （2）设，，根据，，可得， ，， 当且仅当且，即，时，取得最大值，此时的值． 【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、基本不等式、向量和，考查数学运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷03 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：必修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．是虚数单位，若，则　　． 2．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 　　． 3．在中，，，，则　　． 4．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则　　． 5．已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 　　． 6．已知，，，则　　． 7．已知，，若，则点的坐标为 　　． 8．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转得到向量，则向量所对应的复数为 　　（结果用复数的代数形式表示）． 9．已知函数，，的部分图象如图所示，则的解析式为　　． 10．已知函数，对于任意，都有成立，则　　． 11．设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面四个结论中： （1）图象关于点对称； （2）图象关于点对称； （3）在上是增函数； （4）在上是增函数， 那么所有正确结论的编号为　　． 12．在中，角，，的对边分别为，，，，则　　． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．的三角形式是　　 A． B． C． D． 15．现有下列四个结论： ①对任意向量、，有； ②对任意向量，有； ③对任意复数，有； ④对任意复数，有． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知的外心是，且，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．已知向量，，． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若，求实数的值． 18．已知，其中是虚数单位，为实数． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围． 19．（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间，是严格增函数． 20．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，． （1）求、两点之间的距离； （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长． 21．如图，平行四边形中，． （1）若，为中点，求证：点，，共线； （2）若，，求的最小值，及此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$