江苏省高一下期末真题必刷基础60题（32个考点专练）-2023-2024学年高一数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（苏教版2019必修二）

江苏省高一下期末真题必刷基础60题（32个考点专练） 一．两角和与差的三角函数（共3小题） 1．（2023春•苏州期末）　　 A． B． C． D． 2．（2023春•徐州期末）已知，则的值是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•扬中市校级期末）若，则　　． 二．二倍角的三角函数（共2小题） 4．（2023春•扬州期末）已知，则　　 A． B． C． D． 5．（2023春•江宁区期末）　　． 三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 6．（2023春•扬中市校级期末）若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为　　 A． B． C．8 D． 四．向量相等与共线（共1小题） 7．（2023春•南京期末）向量与不共线，，，且与共线，则，应满足　　 A． B． C． D． 五．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题） 8．（2023春•溧阳市期末）若向量，，则在上的投影为　　 A． B． C． D． 9．（2023春•南通期末）在边长为3的正方形中，，则　　 A． B．5 C．15 D．25 10．（2023春•鼓楼区校级期末）已知向量，满足， （1）若，求的值； （2）若，求在上的投影向量的坐标． 11．（2023春•苏州期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （Ⅰ）设，，求的值； （Ⅱ）若，计算的大小． 六．平面向量的基本定理（共1小题） 12．（2023春•扬州期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有　　 A． B． C． D． 七．平面向量的坐标运算（共2小题） 13．（2023春•锡山区校级期末）已知点，，，若，，三点共线，则的坐标为　　 A． B． C． D． 14．（2023春•江宁区期末）已知点，，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 八．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 15．（2023春•泰州期末）已知，，若，则　　 A．0 B． C． D． 九．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 16．（2023春•鼓楼区校级期末）已知是正三角形，若点满足，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 17．（2023春•常州期末）已知向量，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 一十．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共3小题） 18．（2023春•连云港期末）设，是单位向量，若，则的值为　　 A．1 B．0 C． D． 19．（2023春•苏州期末）已知向量，且，则实数的值为　　 A． B． C． D． 20．（2023春•扬州期末）已知向量，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 一十一．正弦定理（共3小题） 21．（2023春•锡山区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，则满足此条件的三角形个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．1或2 22．（2023春•淮安期末）在中，边长，，，则的外接圆的面积是　　 A． B． C． D． 23．（2023春•扬州期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则　　 A． B． C． D． 一十二．余弦定理（共1小题） 24．（2023春•金坛区校级期末）已知中，，，，则　　 A． B． C． D． 一十三．虚数单位i、复数（共1小题） 25．（2023春•南京期末）的值为　　 A．1 B． C． D． 一十四．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题） 26．（2023春•徐州期末）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（2023春•宿迁期末）设，且，在复平面内对应的点的集合表示的图形的面积为　　 A． B． C． D． 28．（2023春•高邮市期末）四边形是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为　　 A． B． C． D． 一十五．纯虚数（共2小题） 29．（2023春•镇江期末）设，，若为纯虚数，则实数　　 A． B． C． D．3 30．（2023春•苏州期末）已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求的值． 一十六．复数的运算（共3小题） 31．（2023春•南通期末）若复数，则的实部为　　 A． B． C．1 D． 32．（2023春•苏州期末）已知复数，若，则的虚部是　　 A． B． C．2 D． 33．（2023春•连云港期末）设，，若为实数，则的值为 　　． 一十七．共轭复数（共3小题） 34．（2023春•昆山市校级期末）已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（2023春•新吴区校级期末）已知为虚数单位，复数的共轭复数为　　 A． B． C． D． 36．（2023春•宿迁期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． （1）若，求复数； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 一十八．复数的模（共3小题） 37．（2023春•金坛区校级期末）已知复数满足，则　　 A．1 B． C． D． 38．（2023春•武进区期末）若复数是的根，则　　 A．1 B． C．2 D．3 39．（2023春•锡山区校级期末）若，，，为复数，，下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一十九．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共3小题） 40．（2023春•镇江期末）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为　　 A．2 B．3 C． D． 41．（2023春•扬中市校级期末）祖暅（公元前世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为4，长轴长为6的椭球体的体积是　　 A． B． C． D． 42．（2023春•扬中市校级期末）用一张长，宽的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是　　． 二十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题） 43．（2023春•靖江市校级期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为　　． 二十一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） 44．（2023春•南京期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是　　 A． B． C． D． 45．（2023春•武进区期末）如图，某圆柱体的高为2，是该圆柱体的轴截面．已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的体积是　　 A．3 B． C． D． 二十二．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题） 46．（2023春•扬中市校级期末）已知，，为空间中三条不同的直线，，，，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则 B．已知，，，若，则 C．若，，，则 D．若，，，则 二十三．互斥事件与对立事件（共1小题） 47．（2023春•锡山区校级期末）某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名学生参加教师节演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是　　 A．“恰有2名男生”与“恰有4名男生” B．“至少有3名男生”与“全是男生” C．“至少有1名男生”与“全是女生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 二十四．概率及其性质（共1小题） 48．（2023春•常州期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有　　 A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 二十五．互斥事件的概率加法公式（共1小题） 49．（2023春•连云港期末）抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则　　 A． B． C． D． 二十六．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 50．（2023春•江宁区期末）如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为 　　． 二十七．简单随机抽样（共1小题） 51．（2024春•溧阳市期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 　　石（结果四舍五入取整数）． 二十八．分层抽样方法（共1小题） 52．（2023春•常州期末）某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则　　 A．50 B．60 C．64 D．75 二十九．频率分布直方图（共2小题） 53．（2023春•苏州期末）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成，，，，，，，，共五组后，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组 频数 频率 第1组 ， ① 第2组 ， 0.300 第3组 ， 30 ② 第4组 ， 20 0.200 第5组 ， 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）； （2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率． 54．（2023春•南通期末）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：，数据均落在之间，按照，，，，，，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）估计该片经济林中二类树约占多少； （2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长． 三十．众数、中位数、平均数（共2小题） 55．（2023春•无锡期末）已知样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，，，12，13，19，，且样本的中位数为11，则样本的平均数为 　　． 56．（2023春•常州期末）给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的中位数是 　　；方差是 　　． 三十一．极差、方差与标准差（共2小题） 57．（2023春•新吴区校级期末）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为，则　　 A．， B．， C．， D．， 58．（2023春•天宁区校级期末）在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如表． 样品类别 样本容量 平均数 方差 10 3.5 2 30 5.5 1 根据这些数据可计算出总样本的方差为 　　． 三十二．百分位数（共2小题） 59．（2023春•无锡期末）一组数据27，12，15，14，31，17，19，23的第70百分位数是　　 A．17 B．19 C．23 D．31 60．（2023春•盐城期末）高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83．这组数据的上四分位数是 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省高一下期末真题必刷基础60题（32个考点专练） 一．两角和与差的三角函数（共3小题） 1．（2023春•苏州期末）　　 A． B． C． D． 【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题． 2．（2023春•徐州期末）已知，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可得，再结合三角函数的二倍角公式和诱导公式，即可求解． 【解答】解：， ，即， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的二倍角公式和诱导公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 3．（2023春•扬中市校级期末）若，则　　． 【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而可得，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【解答】解：因为，所以， 所以，即． 所以，解得． 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题． 二．二倍角的三角函数（共2小题） 4．（2023春•扬州期末）已知，则　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二倍角的余弦函数化简求解即可． 【解答】解：，则． 故选：． 【点评】本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力． 5．（2023春•江宁区期末）　　． 【分析】利用诱导公式，二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了诱导公式，二倍角公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 6．（2023春•扬中市校级期末）若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为　　 A． B． C．8 D． 【分析】由已知结合同角平方关系及二倍角公式进行化简即可求解． 【解答】解：由题意得． 故选：． 【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题． 四．向量相等与共线（共1小题） 7．（2023春•南京期末）向量与不共线，，，且与共线，则，应满足　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意知，然后根据与共线可得出，从而可得出，应满足的关系式． 【解答】解：不共线，，且与共线， 存在实数，使， ，． 故选：． 【点评】本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 五．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题） 8．（2023春•溧阳市期末）若向量，，则在上的投影为　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量投影的定义计算在上的投影即可． 【解答】解：因为，． 所以根据数量积公式和模长公式可得：，． 根据投影公式可得：． 故选：． 【点评】本题考查了向量在向量方向上的投影向量的运算，属于基础题． 9．（2023春•南通期末）在边长为3的正方形中，，则　　 A． B．5 C．15 D．25 【分析】可画出图形，然后得出，根据及进行数量积的运算即可求出答案． 【解答】解：如图，，， ，且， 又，， ． 故选：． 【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题． 10．（2023春•鼓楼区校级期末）已知向量，满足， （1）若，求的值； （2）若，求在上的投影向量的坐标． 【分析】（1）由已知求出，再利用向量模的公式求解； （2）由已知求出，再利用投影向量的公式求解． 【解答】解：（1）由题得， ， ． ； （2）， ， ， 投影向量坐标为， 投影向量坐标为． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 11．（2023春•苏州期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （Ⅰ）设，，求的值； （Ⅱ）若，计算的大小． 【分析】根据平面向量数量积的定义与性质即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，， ； （Ⅱ） ， 的大小为． 【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，属基础题． 六．平面向量的基本定理（共1小题） 12．（2023春•扬州期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有　　 A． B． C． D． 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项和选项；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项． 【解答】解：对选项，正确； 对选项，错误； 对选项，正确； 对选项，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题． 七．平面向量的坐标运算（共2小题） 13．（2023春•锡山区校级期末）已知点，，，若，，三点共线，则的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，求出，即可求解． 【解答】解：，，， 则，， 与共线， ，即，解得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 14．（2023春•江宁区期末）已知点，，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设的坐标为，求出和的坐标，又由，可得关于、的方程，求出、的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设的坐标为， 则，， 又由，即，，， 解可得，， 即的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量的坐标，属于基础题． 八．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 15．（2023春•泰州期末）已知，，若，则　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：因为，，且，则，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 九．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 16．（2023春•鼓楼区校级期末）已知是正三角形，若点满足，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】由平面向量的夹角公式直接计算即可． 【解答】解：，且是正三角形， ， ， ， ， 与夹角的余弦值为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的夹角即数量积，属于基础题． 17．（2023春•常州期末）已知向量，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设与夹角为，由向量、的坐标求出、以及的值，由向量夹角公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设与夹角为， 向量，， 则，，， 则， 又由，则． 故选：． 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示和向量夹角的计算，属于基础题． 一十．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共3小题） 18．（2023春•连云港期末）设，是单位向量，若，则的值为　　 A．1 B．0 C． D． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及平面向量的数量积运算，即可求解． 【解答】解：，是单位向量， 则，， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及平面向量的数量积运算，属于基础题． 19．（2023春•苏州期末）已知向量，且，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解． 【解答】解：由向量，可得， 又由，可得，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 20．（2023春•扬州期末）已知向量，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【分析】根据向量共线和垂直的坐标运算求解． 【解答】解：（1）因为，所以，解得：． （2）因为，所以，解得：或． 【点评】本题主要考查了向量共线及垂直的坐标运算，属于基础题． 一十一．正弦定理（共3小题） 21．（2023春•锡山区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，则满足此条件的三角形个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【分析】由正弦定理可得的值，结合三角形边角关系即可得解． 【解答】解：因为， 所以由正弦定理可得，即， 解得，又，所以， 所以， 所以此三角形有唯一解． 故选：． 【点评】本题考查三角形解的个数的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题． 22．（2023春•淮安期末）在中，边长，，，则的外接圆的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出角，由正弦定理可得的外接圆的半径，进而可求面积． 【解答】解：在中，，，所以， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以的外接圆的面积是． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 23．（2023春•扬州期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由正弦定理代入求解即可． 【解答】解：由正弦定理可得：， 所以， 即，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 一十二．余弦定理（共1小题） 24．（2023春•金坛区校级期末）已知中，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解． 【解答】解：，，， 则， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题． 一十三．虚数单位i、复数（共1小题） 25．（2023春•南京期末）的值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】利用复数的定义、运算法则直接求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 一十四．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题） 26．（2023春•徐州期末）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 则， 故复数在复平面内所对应的点位于第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 27．（2023春•宿迁期末）设，且，在复平面内对应的点的集合表示的图形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】复平面内对应的点的集合表示的图像为半径分别为2和1的同心圆形成的圆环区域，而后算出面积即可． 【解答】解：由题意，复平面内对应的点的集合表示的图像为半径分别为2和1的同心圆形成的圆环区域， 其面积为：． 故选：． 【点评】本题主要考查复数相关性质，属基础题． 28．（2023春•高邮市期末）四边形是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量相等的条件，即可求解． 【解答】解：，，三点对应的复数分别是，，， 则，，， 设点， ，， 又四边形是复平面内的平行四边形， ，解得， 点对应的复数为． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及向量相等的条件，属于基础题． 一十五．纯虚数（共2小题） 29．（2023春•镇江期末）设，，若为纯虚数，则实数　　 A． B． C． D．3 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解． 【解答】解：，， ， 为纯虚数， ，即． 故选：． 【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 30．（2023春•苏州期末）已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求的值． 【分析】（1）结合纯虚数的定义，即可求解． （2）结合虚部和实部的定义，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得． 因为为纯虚数， 所以，解得， 故的值为5． （2）由题意得， 因为复数的实部与虚部之和为14， 所以， 解， 故的值为1． 【点评】本题主要考查纯虚数和实部，虚部的定义，属于基础题． 一十六．复数的运算（共3小题） 31．（2023春•南通期末）若复数，则的实部为　　 A． B． C．1 D． 【分析】利用复数的代数形式的运算法则求出，由此能求出的实部． 【解答】解：， 的实部为， 故选：． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 32．（2023春•苏州期末）已知复数，若，则的虚部是　　 A． B． C．2 D． 【分析】利用复数的四则运算及复数相等求出，可得复数，再求其共轭复数的虚部． 【解答】解：因为， 所以可化为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的虚部是． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算及复数相等条件，属于基础题． 33．（2023春•连云港期末）设，，若为实数，则的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解． 【解答】解：，， 则， 为实数， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及实数的定义，属于基础题． 一十七．共轭复数（共3小题） 34．（2023春•昆山市校级期末）已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据复数运算即可求得复数，再得共轭复数，根据复数的几何意义即可得答案． 【解答】解：， ， ， 故在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 35．（2023春•新吴区校级期末）已知为虚数单位，复数的共轭复数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 【解答】解：， 则复数的共轭复数为． 故选：． 【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 36．（2023春•宿迁期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． （1）若，求复数； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 【分析】（1）由题意，设出复数，根据为纯虚数列出等式得到，再通过复数的模即可求出复数； （2）对进行整理，根据在复平面内对应的点在第三象限，此时实部和虚部均小于零，列出等式结合即可求出复数的实部的取值范围． 【解答】解：（1）不妨设， 此时， 若为纯虚数， 则， 解得且， 所以， 若， 可得， 解得， 则复数或； （2）已知 ， 若在复平面内对应的点在第三象限， 此时， 解得， 又， 故复数的实部的取值范围为，，． 【点评】本题考查复数的运算和共轭复数，考查了转化思想和运算能力． 一十八．复数的模（共3小题） 37．（2023春•金坛区校级期末）已知复数满足，则　　 A．1 B． C． D． 【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案． 【解答】解：， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 38．（2023春•武进区期末）若复数是的根，则　　 A．1 B． C．2 D．3 【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果． 【解答】解：， 由求根公式得：， 即：， 当时，， 当时，． 综述：． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题． 39．（2023春•锡山区校级期末）若，，，为复数，，下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解答】解：对于，， 则，故，故正确； 对于，， 则由复数模的性质可知，，故正确； 对于，当，为虚数时，不能比较大小，故错误； 对于，， 则， ， ，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题． 一十九．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共3小题） 40．（2023春•镇江期末）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为　　 A．2 B．3 C． D． 【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理即可得到圆锥的高． 【解答】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形， 所以该扇形的弧长为，圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的母线长为，则， 所以圆锥的高为． 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题． 41．（2023春•扬中市校级期末）祖暅（公元前世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为4，长轴长为6的椭球体的体积是　　 A． B． C． D． 【分析】用圆柱体积减去圆锥体积得到椭半球体的体积，再得出椭球体的体积． 【解答】解：由题意可知椭半球体的体积， 故椭球体的体积为． 故选：． 【点评】本题考查了简单几何体的体积计算，属于基础题． 42．（2023春•扬中市校级期末）用一张长，宽的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是　或　． 【分析】求出分别以，为圆柱的底面圆周的底面圆的半径，然后求出圆柱的体积即可． 【解答】解：侧面展开图是长，宽的矩形， 若圆柱的底面周长为，则底面半径，， 此时圆柱的体积 若圆柱的底面周长为，则底面半径，， 此时圆柱的体积． 故答案为：或． 【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键． 二十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题） 43．（2023春•靖江市校级期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为　　． 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】解：由已知可得，，则圆锥的母线长． 圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥侧面积的求法，关键是对公式的记忆，是基础题． 二十一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） 44．（2023春•南京期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图的特点分析可得、的值，进而求出的值，即可得圆锥的体积，又由平面将圆锥的体积分为的两部分，且下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，由此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为， 若其侧面展开图是面积为的半圆，则有， 解可得：，， 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积， 过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分， 则下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，则所得的圆台体积为． 故选：． 【点评】本题考查圆锥、圆台的体积计算，注意圆锥和圆台的关系，属于基础题． 45．（2023春•武进区期末）如图，某圆柱体的高为2，是该圆柱体的轴截面．已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的体积是　　 A．3 B． C． D． 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据体积公式求圆柱体的体积． 【解答】解：设圆柱体底面圆的半径为，将侧面展开后四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的体积为：． 故选：． 【点评】本题考查圆柱体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题． 二十二．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题） 46．（2023春•扬中市校级期末）已知，，为空间中三条不同的直线，，，，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则 B．已知，，，若，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【分析】根据题意，由直线与平面的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，，与可以平行、相交或异面，错误； 对于，由平面的基本性质，、、三条直线交于一点或互相平行，若，必有，正确； 对于，若，，则，又由，则，正确； 对于，若，，，则与可能平行，错误． 故选：． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面与平面平行、垂直的性质，属于基础题． 二十三．互斥事件与对立事件（共1小题） 47．（2023春•锡山区校级期末）某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名学生参加教师节演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是　　 A．“恰有2名男生”与“恰有4名男生” B．“至少有3名男生”与“全是男生” C．“至少有1名男生”与“全是女生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【解答】解：某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名学生参加教师节演讲比赛， 对于，“恰有2名男生”与“恰有4名男生”不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故错误； 对于，“至少有3名男生”与“全是男生”不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故错误； 对于，“至少有1名男生”与“全是女生”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故正确； 对于，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，不是互斥事件，故错误． 故选：． 【点评】本题考查对立事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二十四．概率及其性质（共1小题） 48．（2023春•常州期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有　　 A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【分析】对四个选项中的事件分别分析其概率是否相同，由此进行判断即可． 【解答】解：对于，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平，故选项正确； 对于，恰有一枚正面向上包括（正，反），（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅有（正，正）一种情况，所以游戏不公平，故选项错误； 对于，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平，故选项正确； 对于，小明、小华两人各写一个数字6或8，一共有四种情况：，，，，8，，两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了概率的理解与应用，解题的关键是判断游戏规则中是否是概率相同，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 二十五．互斥事件的概率加法公式（共1小题） 49．（2023春•连云港期末）抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】求出所有的基本事件，在分别求出，，，从而判断答案． 【解答】解：抛掷两枚硬币的基本事件分别是： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 故，，， 则错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查了概率求值问题，考查列举法在概率中的应用，是基础题． 二十六．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 50．（2023春•江宁区期末）如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为 　　． 【分析】由题意，元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作，根据相互独立事件的乘法公式以及对立事件的概率求解即可． 【解答】解：由题意，系统正常工作的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查相互独立事件的乘法公式以及对立事件的概率，考查学生转化思想，属于基础题． 二十七．简单随机抽样（共1小题） 51．（2024春•溧阳市期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 　435　石（结果四舍五入取整数）． 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答． 【解答】解：设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为435石． 故答案为：435． 【点评】本题考查分层随机抽样，属于基础题． 二十八．分层抽样方法（共1小题） 52．（2023春•常州期末）某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则　　 A．50 B．60 C．64 D．75 【分析】根据分层随机抽样中抽取比例相同，列方程求解即可． 【解答】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同， 得，解得． 故选：． 【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 二十九．频率分布直方图（共2小题） 53．（2023春•苏州期末）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成，，，，，，，，共五组后，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组 频数 频率 第1组 ， ① 第2组 ， 0.300 第3组 ， 30 ② 第4组 ， 20 0.200 第5组 ， 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）； （2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率． 【分析】（1）由频数与频率的关系，结合表格求解即可，再求频率比组距，从而完成频率分布直方图， （2）由分层抽样可得第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，再列基本事件，从而求概率． 【解答】解：（1）第2组的频数为， 所以①处应填的数为， ②处应填的数为， 频率分布直方图如图所示， （2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：人，第4组：人，第5组：人， 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答， 设第3组的3位学生为，，，第4组的2位学生为，，第5组的1位学生为，则从这6位学生中抽取2位学生有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，， ，，，， ，，共15种情况． 抽到的2位学生不同组的有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11种情况． 所以抽到的2位学生不同组的概率为． 【点评】本题综合考查了频率分布直方图及概率的应用，注意保证基本事件的等可能性及列举不重不漏，属于基础题． 54．（2023春•南通期末）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：，数据均落在之间，按照，，，，，，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）估计该片经济林中二类树约占多少； （2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长． 【分析】（1）由题意，根据频率之和为1，列出等式，即可求出的值，进而可得二类树的频率； （2）根据频率分布直方图中的信息，利用平均数的计算公式进行求解即可． 【解答】（1）解：因为， 解得， 因为底部周长在为二类树， 由图知， 则该片经济林中二类树木约占； （2）若将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替， 则 ． 故该经济林中树木的平均底部周长为． 【点评】本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力． 三十．众数、中位数、平均数（共2小题） 55．（2023春•无锡期末）已知样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，，，12，13，19，，且样本的中位数为11，则样本的平均数为 　10.2　． 【分析】由题意，根据中位数的定义可得与的关系，再利用平均数的公式进行求解即可． 【解答】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，，，12，13，19，，且样本的中位数为11， 所以， 解得， 则样本平均数为． 故答案为：10.2． 【点评】本题考查中位数和平均数，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 56．（2023春•常州期末）给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的中位数是 　5　；方差是 　　． 【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差的计算公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，将数据从小到大排列为：1，3，3，3，4，6，6，8，8，8， 则数据的中位数为， 其平均数， 则其方差． 故答案为：5，． 【点评】本题考查数据的中位数、方差的计算，注意中位数、方差的计算公式，属于基础题． 三十一．极差、方差与标准差（共2小题） 57．（2023春•新吴区校级期末）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用平均数、方差的定义直接求解． 【解答】解：某8个数据的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的平均数为，方差为， ，． 故选：． 【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 58．（2023春•天宁区校级期末）在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如表． 样品类别 样本容量 平均数 方差 10 3.5 2 30 5.5 1 根据这些数据可计算出总样本的方差为 　2　． 【分析】根据题意，求出总体的平均数，进而由方差公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，总体的平均数， 故总样本的方差． 故答案为：2． 【点评】本题考查总体方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题． 三十二．百分位数（共2小题） 59．（2023春•无锡期末）一组数据27，12，15，14，31，17，19，23的第70百分位数是　　 A．17 B．19 C．23 D．31 【分析】由百分位数的定义求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列可得：12，14，15，17，19，23，27，31共8个数， 则，则该组数据的第70百分位数是第六个数，即23． 故选：． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 60．（2023春•盐城期末）高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83．这组数据的上四分位数是 　86　． 【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解． 【解答】解：将口语测试成绩从小到大排序：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90， ， 故这组数据的上四分位数是86． 故答案为：86． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$