精品解析：2024年甘肃省天水市清水县王河中学联片教研九年级中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省清水县王河中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题（共30分） 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点在x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，，平分，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的切线，连接经过点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在边长为4的正方形中，E 为边靠近点A 的四等分点．F 为边上一动点，将线段 绕点F 顺时针旋转得到线段， 连接，则的最小值 为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（共24分） 11. 计算：_________ 12. 若是关于的完全平方式，则__________． 13. 如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为______． 14. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______． 16. 如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则_______． 17. 如图，在平行四边形中，点E在上，，连接，于点F，交于点G，，，若，则线段的长为___________． 18. 如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 _____． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：． （2）解方程：． 四、作图题(共6分) 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________． （2）在图（1）中，在线段上作出点，而且； （3）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称． 五、解答题(共52分) 21. 某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元．求购买的甲、乙两种奖品各有多少件？ 22. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表： 分组 时间x（时） 人数 A 5 B 16 C a E 4 （1）分别写出a、b的值并补全条形统计图； （2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人? （3）学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少? 23. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 24. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，相交于点E，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 27. 定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． （1）直接写出抛物线的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省清水县王河中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题（共30分） 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7． 故选A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的性质，掌握负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，一个数的算术平方根是非负数是解题的关键． 根据算术平方根与立方根的性质进行逐项分析即可． 【详解】A．，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项正确； 故选D． 3. 已知点在x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上的点，根据x轴上的点的纵坐标为0，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 4. 如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． 由可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；由可得，从而可得，故③正确；由可得，从而可得， 由可得，可得，故④正确． 【详解】解：， ， 平分， ， 故①不正确，⑤正确； 平分，平分， ， ， ， ∴，故②正确； ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确． 故正确结论为：②③④⑤， 故选：D． 5. 如图，在中，，平分，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作，垂足为E，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 【详解】解：过D点作，垂足为E， ∵ ∴， ∵， 解得， ∵平分，，， ∴． 故选D． 6. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 7. 如图，内接于，是的切线，连接经过点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和切线的性质，连接，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，再由圆周角定理可得结论 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∴而 ∴， ∵ ∴ ∵所对的圆周角是和， ∴ 故选：B 8. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，D错误； ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 故选：D． 9. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，定义新运算，理解新定义运算的规则，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据顶角正对的概念，结合等边三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等边三角形，即， ∴，   故选：D ． 10. 如图，在边长为4的正方形中，E 为边靠近点A 的四等分点．F 为边上一动点，将线段 绕点F 顺时针旋转得到线段， 连接，则的最小值 为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，，设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∵，四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ， 在中，， 即当时，有最小值， ∴当时，最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 计算：_________ 【答案】 【解析】 【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 若是关于的完全平方式，则__________． 【答案】7或-1 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 13. 如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，等面积法，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，由垂线段最短可知，当时，长度有最小值，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ，，， 垂线段最短， 当时，长度有最小值， ， ， ， ，即长度的最小值为1， 故答案为：1． 14. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】过D点作于H，如图，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H，如图， 由作法得平分， ∵， ∴， ∴的面积= ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用角平分线的性质求出中边上的高是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， 故答案为：25． 17. 如图，在平行四边形中，点E在上，，连接，于点F，交于点G，，，若，则线段的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作交于点H，证明得到即可得，然后证明，设，根据相似的性质和勾股定理可用含x的式子表示的长度，计算即可求解． 【详解】解：过点D作交于点H，如图 ， ， ， 设， ， ， ， ， 在中∶， ， 在中∶， ， ， ，， ， ， ， 设则， ， ， 令则， 在中：， 即， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定，相似三角形的性质及判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是作辅助线构造全等，证明相似．属于中考常见题型． 18. 如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数及勾股定理等知识；设菱形边长为x，由得的长，由建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设菱形边长为x， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含有特殊角的锐角三角函数值的实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别化简计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式即可； （2）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 或， 解得：或， ∴原方程的解为：，． 四、作图题(共6分) 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________． （2）在图（1）中，在线段上作出点，而且； （3）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称． 【答案】（1）； （2）如图，点为所求作图形， （3）作图如下： 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形ACW，直接根据正切的定义求解即可； （2）取格点，、连接，交点，该点就是所求的点； （3）取格点、，连接，平行于，取格点，连接交于一点，连接，连接，交于点，连接并延长交于点，则线段即为所求作线段，点即为所求的点． 【小问1详解】 如图， 在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：理由如下：如图，连接，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：理由如下：取格点、，，连接、、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、、三点共线， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，与关于直线成轴对称，即点与点关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴将绕点顺时针旋转，得到线段， ∵点与点关于直线成轴对称， ∴与关于直线成轴对称， ∴点与点关于成轴对称． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关键． 五、解答题(共52分) 21. 某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元．求购买的甲、乙两种奖品各有多少件？ 【答案】购买了甲种奖品10件，乙种奖品20件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 则： 解得： 答：购买了甲种奖品10件，乙种奖品20件． 22. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表： 分组 时间x（时） 人数 A 5 B 16 C a E 4 （1）分别写出a、b的值并补全条形统计图； （2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人? （3）学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少? 【答案】（1），， 补全图形如下： （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，列表法或树状图法求随机事件的概率，用样本估计总体，理解频数之和等于样本容量以及列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． （1）直接由表格中的数据求得a、b的值，据此可补全条形统计图； （2）根据样本估计总体即可求解； （3）结合题意画出树形图，可得共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，由此结合概率定义，便可以得到概率． 【小问1详解】 解：由图形知， 则； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：将七、八、九年级的学生分别记作、、、，画树形图如图所示： 共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况， ∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为． 23. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）S平行四边形ABCD =24 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键. 24. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线； （2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于G，则， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 25. 如图，相交于点E，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，进而结论得证； （2）由相似可得，即，求的长，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即，解得， ∴， ∴的长为． 26. 已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 27. 定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． （1）直接写出抛物线的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 【答案】（1） （2） （3）满足条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）首先确定点的坐标，设，根据“勾股点”的定义解得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，结合点的坐标，易得，，进而可得，，根据“勾股点”的定义易知，进而解得的值，即可确点坐标，设抛物线的函数表达式为， 将代入并解得的值，即可获得答案； （3）由，可知，然后分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于函数， 令，可得，解得， ∴， 设抛物线的勾股点的坐标为， 则，，， 由，化简得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴抛物线的勾股点的坐标为； 【小问2详解】 抛物线（）过原点， 即点的坐标为， 如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是抛物线的勾股点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴； 【小问3详解】 由，可知， ∴， ①当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； ②当时，， 解得， ， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“勾股点”、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，理解并掌握新定义“勾股点”是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $