2024年九年级中考数学总复习学案 版(1-5课)

第1课 数与式——实数的有关概念及运算 【目标】理解负数的意义.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小;了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一对应.能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小;能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.会求实数的相反数和绝对值;会用科学记数法表示数;了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算;理解乘方的意义;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算;能运用有理数的运算解决简单问题. 【考点一】实数的分类及其相关概念 1、实数的分类 按 定义分 实数 【温馨提示】 常见的4种无理数形式: (1)根号型:开方开不尽的数的方根,如:,等; (2)与π有关的数:如,π-1等; (3)有规律的无限不循环小数:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等; (4)三角函数型:如sin 60°,tan 30°等 按 大小分 实数　　注:0既不是正数,也不是负数 2、相关概念 （1）数轴 数轴的三要素:①　 　　、②　 　 　和③ 　　;  数轴上的点与实数④　 　　; 数轴上右边的点表示的数⑤　 　　左边的点表示的数;如图， 数轴上两点间的距离为:AB=⑥_____(用右边点表示的数减去左边点表示的数) （2）相反数 a的相反数是⑦　　　　;0的相反数是⑧　　　　;实数a,b互为相反数⇔a+b=⑨　　   相反数与绝对值的关系: (1)互为相反数的两个数的绝对值相同; (2)若|a|=|b|,则a=b或a=-b（如下图） 【注意】0没有倒数,倒数等于本身的数是±1 （3）绝对值 |a|:数轴上表示数a的点与原点的距离. |a|=⇒|a|⑪　　　0  （4）倒数 科学 记数法 表示形式:a×10n(1≤|a|<10,n为整数) 【注意】 当原数带有计数单位或计量单位时,可以先进行转化,如1万=104, 1亿=⑮ 　,1 mm=10-3 m,1nm=10-9 m等  n的确定(设原数为x): 当|x|≥10时,n等于原数的整数位数减⑭ 　　　; 当0<|x|<1时,n为负数,|n|等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包含小数点前的零) 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一位,常采用四舍五入法得到一个数的近似数 举例:如3.1415926精确到0.01是3.14,精确到0.001是3.142 a(a≠0)的倒数是⑫　　　;若a,b互为倒数,则ab=⑬　　　  【考点二】科学计数法与近似数 【考点三】实数的运算 运算 法则 加法 法则 同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加 异号两数相加:绝对值相等时,和为⑯　　　　;绝对值不相等时,取绝对值较 ⑰　　　　的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值  减法 法则 减去一个数等于加上这个数的相反数:a-b=a+(-b) 乘除 法则 两数相乘(除),同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(除);任何数同0相乘后得0;0除以任何不为0的数,仍得0 【注意】几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正 运算律 交换律 加法交换律:a+b=b+a,乘法交换律:ab=ba 结合律 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c),乘法结合律:(ab)c=a(bc) 分配律 a(b+c)=ab+ac 常见实 数运算 乘方 =an表示n个a相乘(注意 =na表示n个a相加) 幂的 运算 a0=⑱　　 (a≠0);a-n=,a-1=⑲　　　(a≠0,n为正整数); (-1)n= 常见 实数 运算 特殊角的 三角函数值 sin 30°=cos 60°=㉒　　　,sin 45°=cos 45°=㉓　 　　, sin 60°=cos 30°=㉔　　　　, tan 30°=㉕　　　,tan 45°=㉖　　　　,tan 60°=㉗　　　　  运算 顺序 先乘方,再乘除,最后加减;如有括号,先进行括号内的运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算,从左到右进行 【考点精练】 基础练-2022-2023各区中考模拟真题 1.[2023·东城一模改编] 将数据384288000000000用科学记数法表示应为 A.3.84288×1013 B.30.87×1013 C.0.384288×1015 D.3.84288×1014 2.[2022·东城九上期末改编]肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007 m,将数据0.0000007用科学记数法表示应为 A.7×10-6 B.0.7×10-6 C.7×10-7 D.0.7×10-7 3.[2023·朝阳一模]如图,若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个,则这个无理数是 A.- B. C. D.π 4.[2023·西城一模]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 A.a>-2 B.|a|<|b| C.ab>0 D.a<-b 5.[2023·朝阳一模]计算:(π-)0-2sin 45°+|-|+. 6.[2023·海淀二模改编]计算:()-1+|1-|-tan 60°-(π+2023)0. 7.[2023·通州一模]点M,N在数轴上的位置如图所示,点M,N表示的有理数为a,b.如果ab<0,a+b>0,那么下列描述数轴原点位置的说法正确的是 A.原点O在点M左侧 B.原点O在点N的右侧 C.原点O在点M,N之间,且|OM|>|ON| D.原点O在点M,N之间,且|OM|<|ON| 综合练 8.[2023·朝阳八上期末]在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律. (1)图②是2022年12月份的月历,我们用如图①所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图②中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:5×19-4×20=　 　　　, 2×16-1×17=　 　　　,不难发现,结果都等于　 　　　.  (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明. 证明: (3)如图③,在某月历中,正方形方框框住(阴影部分)9个位置上的数.如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数a=　　 　　.  第2课 数与式——数的开方与二次根式 【目标】了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根;了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根;了解二次根式、最简二次根式的概念;了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算;能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【考点一】平方根、算术平方根与立方根   a(a≥0) b(b<0) 【注意】(1)非负数才有平方根,任何实数都有立方根; (2)正数的平方根有两个,互为③　 　　　,正数的算术平方根只有一个且为④　 　　.规定:0的算术平方根是0;  (3)常见开方运算:=2,=2,=3, =4,=2,=3,=-2,=4 平方根 ± 无 算术平方根 ①____ 无 立方根 ②__ _ 【考点二】二次根式 二次根式的 相关概念 二次根式 一般地,我们把形如(a⑤　　0)的式子叫做二次根式 最简 二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如:,, 都不是最简二次根式 二次根式 的性质 (1)≥0,a≥0(双重非负性);(2)()2=⑥　　　　(a≥0);(3)=⑦　　　;  (4)·(a⑧　　　　0,b⑨　　　　0);(5) (a⑩　　　0,b⑪　　　0)  【考点三】二次根式的运算和估算 二次 根式 的运算 加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法运算:·(a⑫　　　0,b⑬　　　0);  除法运算:(a⑭　　　0,b⑮　　　0)  二次 根式 的估算 (1)一般先对根式进行平方;(2)找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数(整数); (3)对以上两个整数开方得到两个相邻整数;(4)这个根式的值在这两个相邻整数之间 【注意】常见无理数的近似值:≈1.414,≈1.732,≈2.236,π≈3.14 【考点精练】 基础练-2022-2023各区中考模拟真题 1.[2023·西城二模]比大且比小的整数可以是 A.1 B.3 C.5 D.7 2.[2022·通州八上期末]下列计算正确的是 A.=-3 B. C.=5 D.4÷=2 3.[2023·房山二模]已知262=676,272=729,282=784,292=841.若n为整数,且n-1<<n,则n的值是 A.26 B.27 C.28 D.29 4.[2023·西城一模]若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　 　　　.  5.[2022·平谷一模]若已知是一个无理数,且1<<3,请写出一个满足条件的a值　 　　　.  6.[2022·顺义二模]已知a<<b,且a,b为两个连续的整数,则a+b=　　 　　.  7.计算:+|-1|+. 提升练 8.[2023·丰台二模]已知3.52=12.25,3.62=12.96,3.72=13.69,3.82=14.44,那么精确到0.1的近似值是 A.3.5 B.3.6 C.3.7 D.3.8 综合练 9.如图K2-2,一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的,已知小正方形的面积和五边形的面积相等,并且图中线段a的长度为-2,则这块地砖的面积为 图K2-2 A.50 B.40 C.30 D.20 第3课 数与式——整式、分式与因式分解 【目标】借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义;能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式;会把具体数代入代数式进行计算;了解整数指数幂的意义和基本性质;理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理;能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数);了解代数推理;了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 【考点一】整式及其运算 一、代数式 代数式 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或字母也是代数式 列代数式 例：打折问题:原价为a的商品打八折的价格为①　　　　;  增长率问题:原价为a的商品价格增长10%后的价格为②　　 　  二、单项式与多项式 类别 单项式 多项式 定义 数或字母的③　　　　组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的④　 　叫做多项式  次数 一个单项式中,所有字母的⑤　　　　叫做这个单项式的次数  多项式里,⑥　 　　　的项的次数,叫做这个多项式的次数  系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 无 项 无 多项式中,每个单项式叫做多项式的项 示例 三、整式的运算 类别 运算法则 加减运算 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项 整数指数 幂的运算 (1)am·an=⑦　　　　(m,n都是整数);(2)am÷an=⑧　　　(a≠0,m,n都是整数);  (3)(am)n=⑨　　　(m,n都是整数);(4)(ab)n=⑩　　　　(n为整数); (5)a-m=⑪　　　　(a≠0,m为整数);(6)a0=⑫　　　　(a≠0)  乘法 运算 单项式×单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 单项式×多项式 m(a+b+c)=⑬　　　　 　  多项式×多项式 (m+n)(a+b)=⑭　　　 　　  乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=⑮　　　  完全平方公式:(a±b)2=⑯　　　　　　.  除法 运算 单项式÷单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 多项式÷单项式 (am+bm)÷m=a+b 【考点二】分式及其运算 分式的 有关概念 分式 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式 最简分式 分子和分母没有公因式的分式 分式有意义 分式值为0 分式有意义的条件为　　　， =0的条件为　　 　  分式的 基本性质 ;(其中A,B,C是整式,B≠0,C≠0). 分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变 分式的 运算 加减 运算 (1)同分母:=㉒　　　　(分母不变,分子相加减);  (2)异分母:=㉓　　　　±㉔　　　　=  乘除 运算 (1)乘法法则:·=㉕　　　　(正确约分是求解的关键);  (2)除法法则:=㉖　　　　·㉗　　　　=  分式的 运算 乘方运算 )n=㉘　　　　(n为整数)  混合 运算 (1)实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算; (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式 【温馨提示】分式化简求值易错点:(1)通分时错误:分式通分时,防止分子漏乘;(2)去括号时,符号错误:当括号前是“-”号,去括号时要注意括号内各项均要改变符号;(3)不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉 【考点三】因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的㉙　　　的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解  方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 十字相乘法* x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q), 如x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2+5x-6=(x-1)(x+6) 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 【考点精练】 基础练-2021-2023各区中考模拟真题 1.[2022·西城校级模拟]单项式-xy2的次数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2023·东城八上期末]计算(2m+1)(3m-2),结果正确的 A.6m2-m-2 B.6m2+m-2 C.6m2-2 D.5m-1 3.[2023·东城二模]下列运算结果正确的是 A.(-a)2=a2 B.a6÷a2=a3 C.(a-2)2=a2- D.3a+a=4 4.[2023·延庆一模改编]如图1,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 . 5.[2023·东城二模]分解因式:2x2-8=　 . 6.[2023·朝阳一模]分解因式:3a2-6a+3=　　 　.  7.[2023·丰台一模]分解因式:xy2-2xy+x=　　　　　　　　　.  8.[2022·平谷一模]已知a2+2a-2=0,求代数式(a-1)(a+1)+2(a-1)的值. 图1 9.[2023·朝阳二模]已知a2+b2-3=0,求代数式(a+b)2-2b(a-b)+2a2的值. 10.要使分式有意义,则x的取值范围是 A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0 11.下列分式中是最简分式的是 A. B. C. D. 12.如果把分式中的m,n都扩大为原来的2倍,那么分式的值 A.变为原来的2倍 B.变为原来的 C.变为原来的4倍 D.不变 13.一项工作,甲单独完成需要a天,乙单独完成需要b天.如果甲、乙二人合作,那么每天的工作效率是 A.a+b B. C. D. 14.[2022·昌平二模]若a+b=1,则代数式（-1）·的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 15.[2023·朝阳二模]若分式的值为零,则x的值为　　 　　.  16.是物理学中的一个公式,其中各个字母都不为零且R1+R2≠0.用R1,R2表示R,则R=　　 　　.  17.[2021·石景山一模]若,则代数式的值是　 　　　.  18.[2023·石景山八上期末]下面是大山同学计算的过程: = [1] = [2] = [3] = [4] (1)运算步骤[2]为通分,其依据是　 ;  (2)运算结果的分子m应是代数式　 .  提升练 ※19.已知:当x=3时,代数式ax2023+bx2021-1的值是8,则当x=-3时,这个代数式的值是 A.-10 B.8 C.9 D.-8 20.已知x=-1,y=+1,那么代数式的值是 A.2 B. C.4 D.2 21.[2023·东城二模]先化简,再求值: （1-）÷,其中a=4. 第4课 方程(组)与不等式(组)——方程(组)的相关概念 【目标】能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义,经历估计方程解的过程.掌握等式的基本性质. 【考点一】等式的性质 性质1 如果a=b,那么a±c=b±c 性质2 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 【考点二】方程(组) 一、方程的概念 方程 含有未知数的①　 　   方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 解方程 求方程解的过程 二、方程(组)的分类 一次方程 一元一次方程 只含有②　　 　个未知数(元),未知数的次数都是③　 　　,等号两边都是整式的方程,一般形式为ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)  二元一次方程(组) 含有④　　 　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑤　　 　的方程,一般形式为(x,y为未知数) 一元二次方程 等号两边都是整式,只含有⑥　　 　未知数,并且未知数的最高次数是⑦　 　　的方程,一般形式为  分式方程 ⑧　 　　中含有未知数的方程,叫做分式方程  【考点精练】 基础练 1.下列等式的基本性质运用错误的是 (　　) A.如果,那么a=b B.若-a=-b,则2-a=2-b C.若ac=bc,则a=b D.若(m2+1)a=(m2+1)b,则a=b 2.下列方程是一元一次方程的是 (　　) A.x-1= B.2x-3=5 C.3a-3<1 D.2x2+1=5 3.若关于x的一元一次方程2x-a=3的解是1,则a的值是 (　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 4.方程2x2=8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是 (　　) A.2x2,8x,2 B.-2x2,-8x,-2 C.2x2,-8x,-2 D.2x2,-8x,2 5.若是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的一个解,则a的值等于 (　　) A.0 B.1 C.3 D.5 6.下列不是二元一次方程组的有 (　　) ① A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.在①x2-x+,②-3=x+4,③+5x=6,④=1中,其中关于x的分式方程的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.若关于x的分式方程=3的解为x=3,则m的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.5 9.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则3a+6b= (　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.-6 提升练 10.若关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为x=2023,则方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根为 (　　) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 11.已知关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0,问: (1)m取何值时,它是一元二次方程,并求方程的解; (2)m取何值时,它是一元一次方程? 第4课 方程(组)与不等式(组)——方程(组)的解法 【目标】能解一元一次方程.掌握消元法,能解二元一次方程组.能解简单的三元一次方程组.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.能解可化为一元一次方程的分式方程. 【考点】方程(组)的解法 方程 解法 一元一次方程 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 二元一次方程组 基本思想:消元——代入消元法,加减消元法 思路:二元一次方程组 一元一次方程 分式方程 基本思想:去分母 一元二次方程 基本思想:降次 开平方法:x2=m(m>0)⇒x=②　 　;(x+m)2=n(n>0)⇒x=③　　 　  配方法:先配方,再开方:ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+)2=,开方求解 公式法:先化为一般式,再代入公式求解:ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=④　　　 　　(b2-4ac≥0)  因式分解法:通过因式分解,转化为一次方程求解: ax2+bx+c=0(a≠0) (mx+n)(px+q)=0 mx+n=0或px+q=0,求得x的值 基础练-2022-2023各区真题 1.[2023·西城二模]方程组的解 A. B. C. D. 2.[2023·朝阳二模]方程的解是 A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=9 3.[2022·东城一模]方程的解是　　 　　. 4.[2023·燕山二模]方程组的解为　　 　　.  5.解方程(组): 北京市2024年版中考复习 毕业年级 班级:________ 姓名:____________ 3 学科网（北京）股份有限公司 (1)[2023·东城二模] (2)[2022·丰台期末]+1=; (3)[2022·东城期末]1+; 提升练 6.[2023·顺义八上期末]对于两个非零的实数a,b,定义新运算a※b=.例如:4※3=.则2※ (-2)=　　 　　;若2※(2x-1)=1,则x的值为　 　　　.  综合练 7.已知实数m,x1,x2满足:(mx1-2)(mx2-2)=4. (1)若m=,x1=9,则x2=　　　 　;  (2)若m,x1,x2为正整数,则符合条件的有序实数对(x1,x2)有　　 　　个.  8.[2023·东城九上期末]下面是小聪同学用配方法解方程:2x2-4x-p=0(p>0)的过程,请仔细阅读后,解答下面的 问题. 解:移项,得2x2-4x=p.① 二次项系数化为1,得x2-2x=.② 配方,得x2-2x+1=.③ 即(x-1)2=. ∵p>0, ∴x-1=±.④ ∴x1=1+,x2=1-.⑤ (1)第②步二次项系数化为1的依据是什么? (2)整个解答过程是否正确?若不正确,说出从第几步开始出现的错误,并直接写出此方程的解. $$第1课 数与式——实数的有关概念及运算 【目标】略 【考点一】实数的分类及其相关概念 1、实数的分类 按定义分 实数 【温馨提示】 常见的4种无理数形式: (1)根号型:开方开不尽的数的方根,如:,等; (2)与π有关的数:如,π-1等; (3)有规律的无限不循环小数:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等; (4)三角函数型:如sin 60°,tan 30°等 按大小分 实数　　注:0既不是正数,也不是负数 2、相关概念 （1）数轴 数轴的三要素:① 原点　　、②　正方向 　 　和③ 单位长度 　　;  数轴上的点与实数④一一对应　 　　; 数轴上右边的点表示的数⑤　大于　左边的点表示的数; 如图，数轴上两点间的距离为:AB=⑥b-a　 　　 (用右边点表示的数减去左边点表示的数) （2）相反数 a的相反数是⑦　-a　;0的相反数是⑧　0　;实数a,b互为相反数⇔a+b=⑨　　0   （3）绝对值 相反数与绝对值的关系: (1)互为相反数的两个数的绝对值相同; (2)若|a|=|b|,则a=b或a=-b（如下图） 【温馨提示】0没有倒数,倒数等于本身的数是±1 |a|:数轴上表示数a的点与原点的距离. |a|=⇒|a|⑪≥　0  （4）倒数 科学 记数法 表示形式:a×10n(1≤|a|<10,n为整数) 【温馨提示】 当原数带有计数单位或计量单位时,可以先进行转化,如1万=104, 1亿=⑮ 　108　　　,1 mm=10-3 m,1nm=10-9 m等  n的确定(设原数为x): 当|x|≥10时,n等于原数的整数位数减⑭ 　1　; 当0<|x|<1时,n为负数,|n|等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包含小数点前的零) 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一位,常采用四舍五入法得到一个数的近似数 举例:如3.1415926精确到0.01是3.14,精确到0.001是3.142 a(a≠0)的倒数是⑫　　　;若a,b互为倒数,则ab=⑬　　1　  【考点二】科学计数法与近似数 【考点三】实数的运算 运算 法则 加法法则 同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加 异号两数相加:绝对值相等时,和为⑯　0　　　;绝对值不相等时,取绝对值较 ⑰　大　　　的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值  减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数:a-b=a+(-b) 乘除法则 两数相乘(除),同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(除);任何数同0相乘后得0;0除以任何不为0的数,仍得0 【温馨提示】几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正 运算律 交换律 加法交换律:a+b=b+a,乘法交换律:ab=ba 结合律 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c),乘法结合律:(ab)c=a(bc) 分配律 a(b+c)=ab+ac 常见实 数运算 乘方 =an表示n个a相乘(注意 =na表示n个a相加) 幂的运算 a0=⑱　1　 (a≠0);a-n=,a-1=⑲　　　(a≠0,n为正整数); (-1)n= 常见实 数运算 特殊角的三角函数值 sin 30°=cos 60°=㉒　,sin 45°=cos 45°=㉓　 　　, sin 60°=cos 30°=㉔　　　　,tan 30°=㉕　　　, tan 45°=㉖　　1　,tan 60°=㉗　　　　  运算 顺序 先乘方,再乘除,最后加减;如有括号,先进行括号内的运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算,从左到右进行 【考点精练】 基础练 1-4 DCDD 5.[2023·朝阳一模]计算:(π-)0-2sin 45°+|-|+. =1-2×+2 =1+2. 6.[2023·海淀二模]计算:()-1+|1-|-tan 60°-(π+2023)0. =4+-1--1 =2. 7 D 综合练 8.[2023·朝阳八上期末]在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律. (1)图K1-7②是2022年12月份的月历,我们用如图①所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图②中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:5×19-4×20=　15　　　,2×16-1×17=　15　　　,不难发现,结果都等于　　15　　(请完成填空).  (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明. 证明:由题意可知位置A,B,D,E上的数依次为x-8,x-7,x+7,x+8, 由题意得,(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x2-49)-(x2-64)=x2-49-x2+64=15. (3)如图③,在某月历中,正方形方框框住(阴影部分)9个位置上的数.如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数a=　11　　　.  解析:中间位置上的数为a,则最小的数为a-8,最大的数为a+8.由题意得,(a-8) (a+8)=57,解得a=1或a=-11(舍去),∴a=11. 第2课 数与式——数的开方与二次根式 【目标】略 【考点一】平方根、算术平方根与立方根   a(a≥0) b(b<0) 【温馨提示】(1)非负数才有平方根,任何实数都有立方根; (2)正数的平方根有两个,互为③　相反数,正数的算术平方根只有一个且为④正数.规定:0的算术平方根是0;  (3)常见开方运算:=2,=2,=3, =4,=2,=3,=-2,=4 平方根 ± 无 算术平方根 1 ____ 无 立方根 ②_____ 【考点二】二次根式 二次根式的 相关概念 二次根式 一般地,我们把形如(a⑤≥　0)的式子叫做二次根式 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如:,, 都不是最简二次根式 二次根式 的性质 (1)≥0,a≥0(双重非负性);(2)()2=⑥　a　　　(a≥0);(3)=⑦　|a| ;  (4)·(a⑧≥　0,b⑨≥0);(5)(a⑩　≥　　0,b⑪ >　0)  【考点三】二次根式的运算 二次根式 的运算 加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法运算:·(a⑫　≥　0,b⑬　≥　0);  除法运算:(a⑭ ≥　　0,b⑮　>　　0)  二次根式 的估算 (1)一般先对根式进行平方; (2)找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数(整数); (3)对以上两个整数开方得到两个相邻整数; (4)这个根式的值在这两个相邻整数之间 【温馨提示】常见无理数的近似值:≈1.414,≈1.732,≈2.236,π≈3.14 【考点精练】 基础练 1-3 BDD 3[解析] ∵784<795<841,∴28<<29.∴n=29. 4.[2023·西城一模]若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　x≥1　　　.  5.[2022·平谷一模]若已知是一个无理数,且1<<3,请写出一个满足条件的a值2/3/4/5/6/7/8.  6.[2022·顺义二模]已知a<<b,且a,b为两个连续的整数,则a+b=　7　.  [解析]∵9<15<16, ∴3<<4.∴a=3,b=4. ∴a+b=3+4=7. 7.计算:+|-1|+. 解:=3-2+(-1)+3 =4. 提升练 8 B 综合练 9 B [解析] 如图. 根据题意易知,点O为正方形ABCD,正方形EFGH的中心,S正方形EFGH=4S△EOF, S正方形ABCD=4S正方形AMOP. ∵S五边形AMFEP=S正方形EFGH, ∴S五边形AMFEP=4S△EOF. ∵S五边形AMFEP=S正方形ABCD-S△EOF, ∴S正方形ABCD=5S△EOF. 第3课 数与式——整式、分式与因式分解 【目标】借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义;能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式;会把具体数代入代数式进行计算;了解整数指数幂的意义和基本性质;理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理;能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数);了解代数推理;了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 【考点一】整式及其运算 一、代数式 代数式 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或字母也是代数式 列代数式 例如：打折问题:原价为a的商品打八折的价格为①　0.8a　　　;  增长率问题:原价为a的商品价格增长10%后的价格为②　(1+10%)a  二、单项式与多项式 类别 单项式 多项式 定义 数或字母的③　积　　　组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的④和　 　叫做多项式  次数 一个单项式中,所有字母的⑤　指数和　　　叫做这个单项式的次数  多项式里,⑥次数最高　的项的次数,叫做这个多项式的次数  系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数   项   多项式中,每个单项式叫做多项式的项 示例 三、整式的运算 类别 运算法则 加减运算 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项 整数指数 幂的运算 (1)am·an=⑦　am+n　　　(m,n都是整数);(2)am÷an=⑧　am-n　　(a≠0,m,n都是整数);  (3)(am)n=⑨　amn　　(m,n都是整数);(4)(ab)n=⑩　anbn　　　(n为整数); (5)a-m=⑪　 　　　(a≠0,m为整数);(6)a0=⑫　1　　　(a≠0)  乘法 运算 单项式×单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 单项式×多项式 m(a+b+c)=⑬ma+mb+mc 　  多项式×多项式 (m+n)(a+b)=⑭　ma+mb+na+nb　　 　　  乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=⑮　a2-b2　　  完全平方公式:(a±b)2=⑯　a2±2ab+b2　　　　　.  除法 运算 单项式÷单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 多项式÷单项式 (am+bm)÷m=a+b 【考点二】分式及其运算 分式的 有关概念 分式 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式 最简分式 分子和分母没有公因式的分式 分式有意义 分式有意义的条件为　B≠0　  分式值为0 =0的条件为　　A=0且B≠0 分式的 基本性质 ;(其中A,B,C是整式,B≠0,C≠0). 分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变 分式的 运算 加减 运算 (1)同分母:=㉒　 　(分母不变,分子相加减);  (2)异分母:=㉓　 　±㉔　 　　=  乘除 运算 (1)乘法法则:·=㉕　　 　(正确约分是求解的关键);  (2)除法法则:=㉖　 　　·㉗　　　　=  分式的 运算 乘方运算 )n=㉘　 　　　(n为整数)  混合运算 (1)实数的运算法则、运算顺序、各种运算律也适用于分式的运算; (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式 【温馨提示】分式化简求值易错点:(1)通分时错误:分式通分时,防止分子漏乘;(2)去括号时,符号错误:当括号前是“-”号,去括号时要注意括号内各项均要改变符号;(3)不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,随意将分母去掉 【考点三】因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的㉙　积　　的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解  方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 十字相乘法* x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q), 如x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2+5x-6=(x-1)(x+6) 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 【考点精练】 基础练 1-3 DAA 4.[2023·延庆一模改编]如图,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 (a+b)2=a2+2ab+b2. 5.[2023·东城二模]分解因式:2x2-8=2(x+2)(x-2) .  6.[2023·朝阳一模]分解因式:3a2-6a+3=3(a-1)2.  7.[2023·丰台一模]分解因式:xy2-2xy+x=\x(y-1)2 　　　　　　　.  8.[2022·平谷一模]已知a2+2a-2=0,求代数式(a-1)(a+1)+2(a-1)的值. 解:(a-1)(a+1)+2(a-1)=(a-1)(a+1+2)=(a-1)·(a+3)=a2+2a-3. ∵a2+2a-2=0,∴a2+2a=2. ∴原式=2-3=-1. 9.[2023·朝阳二模]已知a2+b2-3=0,求代数式(a+b)2-2b(a-b)+2a2的值. 解:∵a2+b2-3=0, ∴a2+b2=3. ∴(a+b)2-2b(a-b)+2a2 =a2+2ab+b2-2ab+2b2+2a2 =3a2+3b2 =3(a2+b2) =3×3 =9. 10-14 BBDBC 14[解析](-1)··,将a+b=1代入上式可得原式==1. 15.[2023·朝阳二模]若分式的值为零,则x的值为　3　.  16.是物理学中的一个公式,其中各个字母都不为零且R1+R2≠0.用R1,R2表示R,则R=　 　　.  17.[2021·石景山一模]若,则代数式的值是　-　　　.  [解析] ∵,∴设x=2t,y=3t.∴=-. 18.[2023·石景山八上期末]下面是大山同学计算的过程: = [1] = [2] = [3] = [4] (1)运算步骤[2]为通分,其依据是　 分式的基本性质 ;  (2)运算结果的分子m应是代数式　3x .  提升练 19 A [解析] ∵当x=3时,代数式ax2023+bx2021-1的值是8,∴32023a+32021b-1=8. ∴32023a+32021b=9. 当x=-3时,ax2023+bx2021-1=a×(-3)2023+b×(-3)2021-1=-(32023a+32021b)-1=-9-1=-10. 20.D [解析] 原式==x+y,当x=-1,y=+1时,原式=-1+ +1=2. 21.[2023·东城二模]先化简,再求值: （1-）÷,其中a=4. 解:原式=()÷ =· =. 当a=4时,原式==1. 第4课 方程(组)与不等式(组)——方程(组)的相关概念 【目标】略 【考点一】等式的性质 性质1 如果a=b,那么a±c=b±c 性质2 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 【考点二】方程(组) 一、方程的概念 方程 含有未知数的①　 等式 　   方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 解方程 求方程解的过程 二、方程(组)的分类 一次方程 一元一次方程 只含有②　　一 　个未知数(元),未知数的次数都是③　 1 　　,等号两边都是整式的方程,一般形式为ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)  二元一次方程(组) 含有④　两 　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑤　1 　的方程,一般形式为(x,y为未知数) 一元二次方程 等号两边都是整式,只含有⑥　　 一个 　未知数,并且未知数的最高次数是⑦　 2 　　的方程,一般形式为  分式方程 ⑧　 分母 　　中含有未知数的方程,叫做分式方程  【考点精练】 基础练 1-5 CBACD 5[解析] 将代入方程ax+y=3,得a-2=3,解得a=5. 6-9 CBAC 6[解析] ①是二元一次方程组;②含有三个未知数,不是二元一次方程组,故符合题意;③含有未知数的项的最高次数是2,不符合定义,故符合题意;④方程组中的方程不是整式方程,不符合定义,故符合题意.故不是二元一次方程组的是②③④.故选C. 7[解析] ①x2-x+是分式,不是分式方程;②-3=x+4是关于x的分式方程;③+5x =6是一元一次方程;④=1是关于x的分式方程.故选B. 8[解析] 把x=3代入方程=3中,得=3, ∴m+2=3,解得m=1. 9[解析] 把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,所以a+2b=-1.所以3a+6b= 3(a+2b)=3×(-1)=-3. 提升练 10 D [解析] a(x-1)2+bx-3=b可化为a(x-1)2+b(x-1)-3=0,∵关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为x=2023,∴把x-1看作一个整体,则x-1=2023, ∴x=2024,即a(x-1)2+bx-3=b有一根为x=2024. 11.已知关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0,问: (1)m取何值时,它是一元二次方程,并求方程的解; (2)m取何值时,它是一元一次方程? 北京市2024年中考总复习 毕业年级 班级:________ 姓名:____________ 3 学科网（北京）股份有限公司 解:根据题意得 解得m=1. 当m=1时,原方程可化为2x2-x-1=0, 解得x1=1,x2=-. 解:当m2+1=1,即m=0时,方程为-x-1=0; 当m2+1≠1时,则m+1=0,即m=-1, 此时方程为-3x-1=0. 故m=0或m=-1. 第4课 方程(组)与不等式(组)——方程(组)的解法 【目标】略 【考点】方程(组)的解法 方程 解法 一元一次方程 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 二元一次方程组 基本思想:消元——代入消元法,加减消元法 思路:二元一次方程组 一元一次方程 分式方程 基本思想:去分母 一元二次方程 基本思想:降次最简公分母 开平方法:x2=m(m>0)⇒x=②　 　;(x+m)2=n(n>0)⇒x=③　　 　  配方法:先配方,再开方:ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+)2=,开方求解 公式法:先化为一般式,再代入公式求解:ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=④(b2-4ac≥0)  因式分解法:通过因式分解,转化为一次方程求解: ax2+bx+c=0(a≠0) (mx+n)(px+q)=0 mx+n=0或px+q=0,求得x的值 基础练-2022-2023各区真题 1-2 CD 3.[2022·东城一模]方程的解是 x=9 . 4.[2023·燕山二模]方程组的解为　　 　.  5.解方程(组): 北京市2024年版中考复习 毕业年级 班级:________ 姓名:____________ 3 学科网（北京）股份有限公司 (1)[2023·东城二模] 解: ②-①,得3y=3,解得:y=1. 把y=1代入①,得x=3. 则原方程组的解为 (2)[2022·丰台期末]+1=; 解:方程两边同乘3(x+1)得:2x+3(x+1)=3x, 解得x=-1.5. 经检验x=-1.5是原分式方程的解. 所以x=-1.5. (3)[2022·东城期末]1+; 解:分式方程变形得:1+=-. 去分母,得x-5+4=-2x. 化简,得3x=1.解得x=. 检验:把x=代入最简公分母,得x-5≠0. 所以x=是原分式方程的解. 提升练 6.[2023·顺义八上期末]对于两个非零的实数a,b,定义新运算a※b=.例如:4※3=.则2※ (-2) = -1 ;若2※(2x-1)=1,则x的值为 .  综合练 7.[2023·东城九上期末]下面是小聪同学用配方法解方程:2x2-4x-p=0(p>0)的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题. 解:移项,得2x2-4x=p.① 二次项系数化为1,得x2-2x=.② 配方,得x2-2x+1=.③ 即(x-1)2=. ∵p>0,∴x-1=±.④ ∴x1=1+,x2=1-.⑤ (1)第②步二次项系数化为1的依据是什么? (2)整个解答过程是否正确?若不正确,说出从第几步开始出现的错误,并直接写出此方程的解. 解:(1)等式两边同除以同一个不为0的数,等式仍然成立. (2)解答过程不正确.从第③步开始出现的错误. 方程的解为x1=1+,x2=1-. $$