（朝阳卷）2023-2024学年北京市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年北京市朝阳区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：120分 考察范围：人教版八下第16-20章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（　　） A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5 2．（3分）若一个等腰三角形的顶角度数为y（度），底角度数为x（度），则它们的函数表达式应是（　　） A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝90﹣x C．y＝180x（0＜x＜90） D．y＝90+x 3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，AE⊥BC于E，交BD于F，已知AF＝3，则BE＝（　　） A． B． C． D． 4．（3分）某县为推进精准扶贫，政府给某农户无偿提供100只小鸡，经过一段时间饲养后可以出售了．出售时，这些鸡的质量的统计数据如表所示，则这100只鸡出售时的质量的众数是（　　） 质量/kg 1.5 1.6 1.8 2.0 2.5 频数 18 20 12 32 18 A．1.8 B．2.0 C．18 D．32 5．（3分）下列各式中，与化简（m＞0）所得结果相同的是（　　） A．n B．n C．﹣n D．﹣n 6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线l：y＝kx+b，对于直线l，下列判断正确的是（　　） A．点（﹣1，0）在直线l上 B．直线l不经过第四象限 C．直线l与y轴交于点（3，0） D．当2≤x≤4时，y的最大值为﹣3 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，下列说法错误的是（　　） A．AB＝2EF B．AF与DE互相平分 C． D．AE＝CE 8．（3分）如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿BC剪下△ABC．若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是36°），则图3中∠ABC的度数是（　　） A．108° B．114° C．126° D．144° 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　 　． 10．（3分）计算：　 　． 11．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？ 如图，设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列出关于x方程为：　 　． 12．（3分）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示： 根据统计图提供的信息，有下列三个结论： ①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位； ②4月7日到4月8日气温上升幅度最大； ③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 13．（3分）下列命题成立的是 　 　．（只填序号） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③矩形的对角线互相平分； ④矩形的对角线互相垂直； ⑤矩形具有平行四边形的一切性质． 14．（3分）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE＝EF，DG⊥EF交AB于点G，H为垂足，GH＝2，DH＝4，则线段HE的长度为 　 　． 15．（3分）如图，在菱形OABC中，∠AOC＝30°，OA＝4，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点P．则点P的坐标为 　 　． 16． （3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，y）在第二象限，且，点B（8，0），若△OAB的面积为20，则点A的坐标为 　 　． 三．解答题（本大题共10小题，共52分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（4分）计算：． 18．（5分）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P． （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 19．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论． 20．（6分）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F． （1）如图1，求证：△ADE≌△DAF； （2）如图2，AE、DF的延长线交于点G，AG交BC于点M，DG交BC于点N，若点E是BO的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的四条线段长度都是EM长度的3倍． 21．（5分）阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的： ∵（）（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， ∴． 问题：已知7． （1）求的值； （2）求x的值． 22．（5分）某单位为提高服务质量，对其下属某部门开展了服务对象满意度问卷调查，满意度从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档．调查人员从回收的调查问卷中随机抽取20份作样本，制成如下统计图． （1）求调查问卷样本评分的中位数、平均数； （2）调查人员从余下的调查问卷中又随机抽取了1份加入样本，重新计算后平均数高于3.6分．请分别求出所抽取的这份问卷评分为多少分？新样本的中位数为多少分？ 23．（5分）因西安、咸阳空气污染气象条件较差（4级），12月27日西安市公安局交通管理局发布关于重污染天气I级应急响应期间实施机动车单双号尾号限行交通管理措施的通告．某校举行了“雾霾改善措施”的知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示5.0～6.0分，B表示6.0～7.0分，C表示7.0～8.0分，D表示8.0～9.0分，E表示9.0～10.0分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）求抽取的学生总人数和m的值； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，求C所在扇形的圆心角的度数． 24．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是 　 　； （2）如表是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当x＞0时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数y＝kx（k≠0）的值，则k的取值范围是 　 　． 25．（5分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离为 　 　； （2）请解释图中点B的实际意义为 　 　； （3）求慢车和快车的速度分别是 　 　和 　 　； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 　 　，并写出自变量的取值范围是 　 　； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程． 26．（6分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”． （1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由； （2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P． ①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北京市朝阳区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（　　） A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5 解：由图可知， 三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方， ∵1+2＝3，2+2＝4，3+4≠5，2+3＝5， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 2．（3分）若一个等腰三角形的顶角度数为y（度），底角度数为x（度），则它们的函数表达式应是（　　） A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝90﹣x C．y＝180x（0＜x＜90） D．y＝90+x 解：依题意，得y＝180﹣2x（0＜x＜90）． 故选：A． 3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，AE⊥BC于E，交BD于F，已知AF＝3，则BE＝（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，OAAC ∵∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AE⊥BC， ∴BE＝CEBC，∠CAE∠BAC＝30°， ∴BEAC＝AO＝AF•cos30°＝3， 故选：B． 4．（3分）某县为推进精准扶贫，政府给某农户无偿提供100只小鸡，经过一段时间饲养后可以出售了．出售时，这些鸡的质量的统计数据如表所示，则这100只鸡出售时的质量的众数是（　　） 质量/kg 1.5 1.6 1.8 2.0 2.5 频数 18 20 12 32 18 A．1.8 B．2.0 C．18 D．32 解：由表知，这组数据重2.0出现次数最多，有32次， 所以这组数据的众数为2.0， 故选：B． 5．（3分）下列各式中，与化简（m＞0）所得结果相同的是（　　） A．n B．n C．﹣n D．﹣n 解：原式 •， ∵﹣mn≥0，m＞0， ∴n≤0， ∴原式＝﹣n． 故选：D． 6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线l：y＝kx+b，对于直线l，下列判断正确的是（　　） A．点（﹣1，0）在直线l上 B．直线l不经过第四象限 C．直线l与y轴交于点（3，0） D．当2≤x≤4时，y的最大值为﹣3 解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线y＝﹣3x+3， ∴直线l为y＝﹣3x+3， A、当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6， ∵点（﹣1，6）在直线l上，故A错误，不合题意； B、∵k＝﹣3＜0，b＝3＞0， ∴直线l经过第一、二、四，不经过第三象限，故B错误，不合题意； C、令x＝0，则y＝﹣3x+3＝3， ∴直线l与y轴交于点（0，3），故C错误，不合题意； D、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤4时，y的最大值为y＝﹣3×2+3＝﹣3，故D正确，符合题意． 故选：D． 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，下列说法错误的是（　　） A．AB＝2EF B．AF与DE互相平分 C． D．AE＝CE 解：如图，连接DF， ∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴AE＝CE，EF、DF、DE都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，AB＝2EF，DF∥AC，DEBC， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分，故选项A、B、D不符合题意， 当BC＝AB时，DEAB，故选项C符合题意； 故选：C． 8．（3分）如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿BC剪下△ABC．若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是36°），则图3中∠ABC的度数是（　　） A．108° B．114° C．126° D．144° 解：将A，B，C标在展开图中，连接AB，AC，如图， ∵∠A36°， ∵正五角星的5个角都是36°， ∴∠ACB36°＝18°， ∵三角形内角和为180°， ∴∠ABC＝180°﹣18°﹣36°＝126°． 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　x　． 解：∵2x﹣3≥0， ∴x， 故答案为：x． 10．（3分）计算：　3　． 解：原式3． 故答案为：3． 11．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？ 如图，设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列出关于x方程为：　x2+32＝（10﹣x）2　． 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 故答案为：x2+32＝（10﹣x）2． 12．（3分）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示： 根据统计图提供的信息，有下列三个结论： ①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位； ②4月7日到4月8日气温上升幅度最大； ③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则． 其中所有正确结论的序号是 　①③　． 解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意； ②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为100%≈33.3%，4月24日到4月25日气温上升幅度约为100%≈46.7%，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意； ③由图可知，4月上旬（1日至10日）的最高气温在11℃至27℃徘徊，中旬（11日至20日）的最高气温在19℃至28℃徘徊，下旬（21日至30日）的最高气温在15℃至26℃徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以．故本结论正确，符合题意； 故答案为：①③． 13．（3分）下列命题成立的是 　①③⑤　．（只填序号） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③矩形的对角线互相平分； ④矩形的对角线互相垂直； ⑤矩形具有平行四边形的一切性质． 解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意； ②对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题不成立，不符合题意； ③矩形的对角线互相平分，成立，符合题意； ④菱形的对角线互相垂直，故原命题不成立，不符合题意； ⑤矩形具有平行四边形的一切性质，成立，符合题意． 故答案为①③⑤． 14．（3分）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE＝EF，DG⊥EF交AB于点G，H为垂足，GH＝2，DH＝4，则线段HE的长度为 　　． 解：∵DE＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠EDF＝∠DEC， ∴∠EFD＝∠DEC， ∵DG⊥EF， ∴∠DHF＝90°， ∴∠EFD+∠FDH＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠DGA+∠FDH＝90°， ∴∠DGA＝∠EFD， ∴∠DGA＝∠DEC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（AAS）， ∴DE＝DG＝GH+DH＝2+4＝6， ∵DG⊥EF， ∴∠DHE＝90°， ∴， 故答案为：． 15．（3分）如图，在菱形OABC中，∠AOC＝30°，OA＝4，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点P．则点P的坐标为 　　． 解：延长BC交y轴于点D，MN与AB将于点E，如图， ∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝30°， ∴OA＝OC＝AB＝BC＝4，BCOA，∠ABC＝30°， ∴∠OCD＝∠AOC＝30°， ∴，即点P的纵坐标是2． ∴， ∴， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标为， 故答案为：． 16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，y）在第二象限，且，点B（8，0），若△OAB的面积为20，则点A的坐标为 　（﹣2，5）　． 解：∵点A（x，y）在第二象限，且，点B（8，0）， ∴A（x，），OB＝8， ∵△OAB的面积为20， ∴， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，5）． 故答案为：（﹣2，5）． 三．解答题（本大题共10小题，共52分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（4分）计算：． 解：原式＝42 ＝42 ＝5． 18．（5分）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P． （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0）， 可得：，解得， 则函数l1的解析式是y＝﹣3x+3； 同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2． （2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解． 19．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论． （1）证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠FCE， 在△EAD和△ECF中， ， ∴△EAD≌△ECF（ASA）， ∴DE＝EF， ∴四边形AFCD是平行四边形； （2）解：当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AFCD是菱形， 证明：∵∠BAF＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴FA＝FC， 又∵四边形AFCD是平行四边形， ∴四边形AFCD是菱形． 20．（6分）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F． （1）如图1，求证：△ADE≌△DAF； （2）如图2，AE、DF的延长线交于点G，AG交BC于点M，DG交BC于点N，若点E是BO的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的四条线段长度都是EM长度的3倍． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝DO＝CO， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AE⊥BD，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在△ADE和△DAF中， ， ∴△ADE≌△DAF（AAS）； （2）解：∵点E是BO的中点，AE⊥BO， ∴AB＝AO， 又∵AO＝OB， ∴AB＝AO＝OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABO＝∠AOB＝∠BAO＝60°， ∴∠BAE＝∠MBE＝30°， ∴BM＝2EM，AM＝2BM，∠DAG＝60°， ∴AM＝4EM， ∴AE＝3EM， ∵△ADE≌△DAF， ∴∠DAG＝∠ADG＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴DG＝AG， ∵DE⊥AE，AF⊥DG， ∴AE＝EG＝DF＝FG， ∴线段AE，EG，DF，FG都是EM长度的3倍． 21．（5分）阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的： ∵（）（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， ∴． 问题：已知7． （1）求的值； （2）求x的值． 解：（1）∵（）（） ＝（）2﹣（）2 ＝30﹣x﹣9+x ＝21， ∴21÷7＝3； ②∵3，7， ∴23+7， ∴5， ∴30﹣x＝25， 解得：x＝5； 经检验，x＝5是原方程的根， ∴x＝5． 22．（5分）某单位为提高服务质量，对其下属某部门开展了服务对象满意度问卷调查，满意度从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档．调查人员从回收的调查问卷中随机抽取20份作样本，制成如下统计图． （1）求调查问卷样本评分的中位数、平均数； （2）调查人员从余下的调查问卷中又随机抽取了1份加入样本，重新计算后平均数高于3.6分．请分别求出所抽取的这份问卷评分为多少分？新样本的中位数为多少分？ 解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分， ∴中位数为3.5（分）， 由统计图可得平均数为3.55（分）， ∴调查问卷样本评分的中位数是3.5分、平均数是3.55分； （2）所抽取的这份问卷评分为x分，则有 ， 解得x＞4.6， ∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档． ∴调查人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵4＜5， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分， ∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分， 即新样本的中位数为4分． 23．（5分）因西安、咸阳空气污染气象条件较差（4级），12月27日西安市公安局交通管理局发布关于重污染天气I级应急响应期间实施机动车单双号尾号限行交通管理措施的通告．某校举行了“雾霾改善措施”的知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示5.0～6.0分，B表示6.0～7.0分，C表示7.0～8.0分，D表示8.0～9.0分，E表示9.0～10.0分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）求抽取的学生总人数和m的值； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，求C所在扇形的圆心角的度数． 解：（1）抽取的学生总人数为1050（人）， ∵m%100%＝30%， ∴m的值为30； （2）C组的人数为50﹣5﹣10﹣15﹣13＝7（人）， 补全频数分布直方图如图所示： （3）360°50.4°， 答：C所在扇形的圆心角的度数为50.4°． 24．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是 　任意实数　； （2）如表是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1　＜　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当x＞0时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数y＝kx（k≠0）的值，则k的取值范围是 　k　． 解：（1）函数中自变量x可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当x＝0时，0， ∴m＝0． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若0＜x1＜x2，则y1＜y2； ②当x＞0时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数y＝kx（k≠0）的值，则k的取值范围是k． 故答案为：＜；k． 25．（5分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离为 　900km　； （2）请解释图中点B的实际意义为 　当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇　； （3）求慢车和快车的速度分别是 　75km/h　和 　150km/h　； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是 　y＝225x﹣900　，并写出自变量的取值范围是 　4≤x≤6　； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少h？写出解题过程． 解：（1）由图象可知：甲、乙两地之间的距离：900km， 故答案为：900km； （2）B的实际意义为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇， 故答案为：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇； （3）由图象可知慢车行驶900km，用12h， ∴慢车的速度：900÷12＝75（km/h）， ∵行驶4小时时，慢车和快车相遇， ∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（km/h）， ∴快车的速度：225﹣75＝150（km/h）， 故答案为：75km/h，150km/h； （4）∵快车走完整个路程所需要的时间：900÷150＝6（h）， 慢车6h行驶距离：75×6＝450（km）， ∴C（6，450）， 设线段BC距离所表示的关系式为：y＝kx+b， 把（6，450），（4，0）代入得， ， 解得， ∴线段BC的函数关系式是：y＝225x﹣900，自变量的取值范围是 4≤x≤6； （5）∵第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，此时慢车行驶的时间为4.5， 把x＝4.5代入y＝225x﹣900， 得y＝112.5， ∴慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5 km， ∴两列快车出发的间隔时间：112.5÷150＝0.75（h）， ∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75 h． 26．（6分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”． （1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由； （2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P． ①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下： ∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2， ∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1）， ∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”； （2）①由得， ∴P（2p+1，p﹣1）， ∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）， ∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n）， ∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方， ∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n）， ∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0， ∵m+n＞1， ∴1﹣m﹣n＜0， ∴p﹣1＜0， ∴p＜1； ②存在m时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下： 由①知，P（2p+1，p﹣1）， ∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P， ∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）， ∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0， ∵p≠1， ∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m， ∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m， 令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0， 变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0， ∴当3﹣4m＝0，即m时，x0， ∴x＝3， ∴m时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$