预习第01讲 空间向量及其线性运算-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其线性运算 1.掌握空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算； 3.理解空间共线向量和共面向量，并会证明空间四点共面. 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 4 共面向量 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 【题型一】 空间向量的概念 相关知识点讲解 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 【典题1】 (多选)下列命题中，是真命题的为    (    ) A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 变式练习 1. 给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是(    )． A．1 B．2 C．3 D．0 2.(多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 3.(多选)下列命题中正确的是    (    ) A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【题型二】 空间向量的线性运算 相关知识点讲解 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【典题1】 在四棱柱中，设，，，，，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于(    ) A． B． C． D． 2.在三棱柱中，是的中点，，则(    ) A． B． C． D． 3.在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=(    ) A． B． C． D． 4.在四面体中，点满足，若，则(    ) A． B． C． D．1 【题型三】 共线向量 相关知识点讲解 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与； ③与；④与； 【典题1】 如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是(　　) A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 变式练习 1. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 2.若空间四点满足，则(    ) A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 3.在长方体中，，，点分别在棱上，，，则(    ) A． B． C． D． 4.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，下面选项错误的是(    ) A．当时，点在线段上 B．当时，点在棱上 C．当时，点在线段上 D．当时，点在棱上 【题型四】 共面向量 相关知识点讲解 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【典题1】 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝(    ) A． B． C． D． 【典题3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 变式练习 1. 有下列命题： ①若与平行，则与所在的直线平行； ②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面； ③若、、两两共面，则、、一定也共面； ④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知向量，不共线，，，，则(    ) A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 3.已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点(    ) A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 4.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则(    ) A． B． C． D． 5.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则(    ) A．1 B． C． D． 6.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为(    ) A． B． C．2 D．4 7.如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【A组---基础题】 1.在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则(    ) A． B． C． D． 2.在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是(    )． A． B． C． D． 3.已知是空间两个不共线的向量，，那么必有(    ) A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 4.已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为(　　) A． B．2 C． D． 5.(多选)如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则(    )    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 6.①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .(填写序号) 7.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝ ；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为 ． 8.如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 9.四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 10.如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【B组---提高题】 1.在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则(    ) A． B． C． D． 2.在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 3.已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其线性运算 1.掌握空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算； 3.理解空间共线向量和共面向量，并会证明空间四点共面. 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 4 共面向量 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 【题型一】 空间向量的概念 相关知识点讲解 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 【典题1】 (多选)下列命题中，是真命题的为    (    ) A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 变式练习 1. 给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是(    )． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 2.(多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 3.(多选)下列命题中正确的是    (    ) A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 【题型二】 空间向量的线性运算 相关知识点讲解 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【典题1】 在四棱柱中，设，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 故选：C 变式练习 1. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量加法定义的运用. 2.在三棱柱中，是的中点，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 3.在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解. 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D    4.在四面体中，点满足，若，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 【题型三】 共线向量 相关知识点讲解 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与； ③与；④与； 【典题1】 如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是(　　) A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 变式练习 1. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.若空间四点满足，则(    ) A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点(如下图所示). 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 3.在长方体中，，，点分别在棱上，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解； 【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以； 故选：D 4.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，下面选项错误的是(    ) A．当时，点在线段上 B．当时，点在棱上 C．当时，点在线段上 D．当时，点在棱上 【答案】D 【分析】 求得时点所在位置判断选项A；求得时点所在位置判断选项B；求得时点所在位置判断选项C；求得时点所在位置判断选项D. 【详解】当时，， 则点落在线段上，故选项A判断正确； 当时，，则， 则，， 则点在棱上，故选项B判断正确； 当时， ， 则，则， 则，，即点在线段上，故选项C判断正确； 当时，，则，则, 则，，故点在棱上，故选项D判断错误. 故选：D 【题型四】 共面向量 相关知识点讲解 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【典题1】 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 【典题2】如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 【典题3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】利用共面向量定理证明，由可得四点共面. 【详解】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 故E，F，G，H四点共面，证毕. 变式练习 1. 有下列命题： ①若与平行，则与所在的直线平行； ②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面； ③若、、两两共面，则、、一定也共面； ④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可； 【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确； ②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确； ③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面， 可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确； ④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点， 但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误． 故选：A 2.已知向量，不共线，，，，则(    ) A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立， 与不共线，A错误； 对于B， ，， ， 又，不存在实数，使得成立， 与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 3.已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点(    ) A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况. 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A 4.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由空间向量运算表示出，结合四点共面，得，解出即可. 【详解】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 5.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 6.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为(    ) A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 7.如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】(1)结合空间向量的线性运算即可求出结果； (2)证得，即可得出结论. 【详解】(1) 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． (2)因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 【A组---基础题】 1.在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 2.在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确； 因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确； 因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确； 因为，所以D不正确． 故选：D 3.已知是空间两个不共线的向量，，那么必有(    ) A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 4.已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为(　　) A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 5.(多选)如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则(    )    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内(含边界)， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使 平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得 平面，故D错误. 故选：ABC.    6.①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .(填写序号) 【答案】④ 【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可. 【详解】①错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的. ②错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向. ③错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反. ④正确.由相反向量的概念可知正确. ⑤错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 故答案为：④ 7.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝ ；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为 ． 【答案】 －1 0 【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n. 【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由，得， 由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0． 故答案为：-1；0. 8.如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【答案】(1)、、；， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案. (2)根据向量的加减运算即可得答案. (3)利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案. 【详解】(1)根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的相反向量有：、． (2)用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有， ，，．(答案不唯一) (3)用“首尾规则”求解，则，． (答案不唯一) 9.四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】(1)借助空间向量的线性运算计算即可得； (2)借助向量共线定理证明即可得. 【详解】(1)因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； (2)因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 10.如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； (2)根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】(1)证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． (2)由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 【B组---提高题】 1.在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 2.在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案. 【详解】由，，，则； 由，，，则； 由，，，则； 显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为， 结合题意可作图如下： 在底面连接，作图如下： 由，即，则，易知； 由，即，则，易知； 由，即，则； 由，，则，易知； ，； . 故答案为：. 3.已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 【答案】 【分析】分别用基底和表示出,根据四点共面得出的值. 【详解】是等边三角形，是的重心， 如图，延长交于点，则为的中点，， 故 ， 设， 则， 四点共面，，即， 又，，， ，． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$