复习第03讲 解三角形及其应用-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）

第03讲 解三角形及其应用 1.掌握正弦定理及其变式，并会利用其解三角形； 2.掌握余弦定理及其变式，并会利用其解三角形； 3.掌握解三角形的常见题型及其解题方法. 1正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 变形 化边为角 化角为边 2 面积公式 3 余弦定理 ① 余弦定理 ② 变形 【题型一】 正弦定理、余弦定理解单个三角形 【典题1】 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小；(2)若，，求的周长. 变式练习 1.在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值；(2)求的值. 2.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B：(2)若AC边上的高，求. 【题型二】 多个三角形问题 【典题1】 记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 变式练习 1.如图，在△ABC中，点D在边BC上，. (1)若，，，求AB的值； (2)若△ABC是锐角三角形，，求证：. 2. 在中，角的对边分别为已知 . (1)求角的大小; (2)若，求的面积; (3)若为BC的中点，求AD的长. 3.已知的角，，的对边分别为，，，为锐角，满足． (1)求的大小； (2)在线段的延长线上取一点，使得，且的面积为，求线段的长度． 【题型三】 三角形最值、范围问题 角度1 边长、周长最值或范围问题 【典题1】在中，角所对的边分别为且满足． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为1，求的取值范围． 变式练习 1. 如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 角度2 面积最值或范围问题 【典题1】 在中，内角的对边分别是，且. (1)求的大小； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值. 变式练习 1. 设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧(如图所示)    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 2.在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为边上的动点(不包括端点)，且满足，求的面积的取值范围． 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知. (1)求证:； (2)若，求面积的取值范围. 【A组---基础题】 1.在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：. (2)若，，求的面积. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 3.元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路(长度均超过2千米)，在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 4.在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知，求的最大值. 5.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 6.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 【B组---提高题】 1.古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，(图1)，求线段长度的最大值； (2)若，，(图2)，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足(2)条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解三角形及其应用 1.掌握正弦定理及其变式，并会利用其解三角形； 2.掌握余弦定理及其变式，并会利用其解三角形； 3.掌握解三角形的常见题型及其解题方法. 1正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 变形 化边为角 化角为边 2 面积公式 3 余弦定理 ① 余弦定理 ② 变形 ③ 三角形类型的判断 · ； · ； · . 【题型一】 正弦定理、余弦定理解单个三角形 【典题1】 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小； (2)由余弦定理可得的值，进而求出三角形的周长． 【详解】(1)因为，由正弦定理可得， 整理得， 即， 在三角形中， 所以，又，所以， 所以，又，所以； (2)因为，，， 由余弦定理可得， 所以， 所以(负值已舍去)， 所以的周长． 变式练习 1.在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意，由余弦定理得出，即可求解； (2)由余弦定理，求得，求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】(1)解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 整理得，解得或(舍去)，所以的值为. (2)解：在中，由余弦定理得， 因为，可得， 又因为，所以 . 2.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小; (2)由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值. 【详解】(1)因为， 由正弦定理可得， 即 即， 所以， 在三角形中，， 所以， 即，因为，则 可得，则. (2)因为边上的高， 所以① 又② 由①②可得， 由正弦定理可得， 结合(1)中可得， 因为， 所以. 【题型二】 多个三角形问题 【典题1】 记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据条件，得到，从而有，利用正弦定理边转角，即可求出结果； (2)根据条件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，联立方程，即可求解. 【详解】(1)因为，又，所以， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得，所以． (2)由(1)知，， 在中，由余弦定理得①，②， 在中，由余弦定理得③， 由②③得，化简得， 把①代入得，即， 解得，于是的面积. 变式练习 1.如图，在△ABC中，点D在边BC上，. (1)若，，，求AB的值； (2)若△ABC是锐角三角形，，求证：. 【答案】(1)6 (2)证明见解析 【分析】(1)先在△ACD中由余弦定理解得CD，再在△ABD中用余弦定理即可求解； (2)根据正弦定理得到和的关系，利用的范围即可得证. 【详解】(1)在△ACD中，由余弦定理得， 即， 而，解得，则， 在△ABD中，， 由余弦定理得 ； (2)在锐角△ABC中，，且， 则， 由正弦定理得， 显然，即， 因此，即， 所以. 2. 在中，角的对边分别为已知 . (1)求角的大小; (2)若，求的面积; (3)若为BC的中点，求AD的长. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解； (2)根据余弦定理得，进而根据三角形面积公式即可求解； (3)根据向量的模长公式结合条件即可求解. 【详解】(1)， ， 即. 由正弦定理得，由余弦定理得， ； (2)， 由余弦定理得， ； (3)    在中，由余弦定理得， 即，又，得， 为BC的中点，， 两边平方得， ， 即中线AD的长度为. 3.已知的角，，的对边分别为，，，为锐角，满足． (1)求的大小； (2)在线段的延长线上取一点，使得，且的面积为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理将边化角，再由诱导公式及和角公式得到，从而得到，即可得解； (2)由面积公式求，再由余弦定理求出，正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数计算可得. 【详解】(1)因为， 由正弦定理可得， 又， 所以，又为锐角，所以， 所以，即，又， 所以，即， 所以. (2)因为，且的面积为， 所以，所以， 又，所以， 由余弦定理， 由正弦定理，即，解得， 所以， 则， 在中，所以. 【题型三】 三角形最值、范围问题 角度1 边长、周长最值或范围问题 【典题1】在中，角所对的边分别为且满足． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得； (2)首先求出的范围，再由正弦定理将边化角，最后由三角函数的性质计算可得. 【详解】(1)因为， 由正弦定理可得， 则， 即， 即， 又因为， 所以，又，所以 (2)因为、为锐角三角形， 所以，解得 ， 又外接圆半径， 由正弦定理， 所以 ， 其中，又， 所以，所以， 所以， 当时，． 当时，． 当时，． 所以. 变式练习 1. 如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)由已知可得，过作交于，求出，再利用余弦定理求解即得. (2)连接，，利用正弦定理、余弦定理建立关系，再借助三角恒等变换及正弦函数性质求出最大值. 【详解】(1)在四边形中，由，得，过作交于， 由，得，则四边形是平行四边形，， 而，因此，， 在中，由余弦定理得. (2)连接，由，，得， 设，， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得 ，其中锐角由确定，显然， 则当时，，即， 所以AE的最大值为. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)先用正弦定理边化角，再由两角和正弦公式即可进一步求出角B. (2)先由确定角B，然后用正弦定理边化角得，再利用和三角恒等变换公式化为一角一函数，接着利用三角函数的有界性即可求解. 【详解】(1)由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. (2)若，则, 所以由(1)，又， 所以由正弦定理得， 所以 ， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； (2)设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】(1)因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； (2)延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以,， 所以,， 所以,． 角度2 面积最值或范围问题 【典题1】 在中，内角的对边分别是，且. (1)求的大小； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得； (2)借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】(1)，，， 由正弦定理可得， ，， ，，，即，即； (2)依题意，， ，，， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 即，面积的最大值为. 变式练习 1. 设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧(如图所示)    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解； (2)根据(1)的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】(1)设，在中，由余弦定理得： ； (2)于是，四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 2.在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为边上的动点(不包括端点)，且满足，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据正、余弦定理和三角的恒等变换化简计算即可求解； (2)设，根据正弦定理可得、，结合三角形面积公式化简求解即可. 【详解】(1)，由正弦定理，得， 即， 又， ， 又， ， 由余弦定理得，， ，； (2)由(1)知，， 记，则， ， ， 在中，由正弦定理，得， 同理，， ， ， ， ． 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知. (1)求证:； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明； (2)由(1)得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解. 【详解】(1)， ， ，又， 则， ， ，即， 又，所以，即， 又，所以； (2)由(1)知，，得， 由，得，由正弦定理得， 得， 所以， 又，所以，又在上单调递增， 则，所以， 即的面积我取值范围为. 【A组---基础题】 1.在中，内角的对边分别为，且. (1)证明：. (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】(1)利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； (2)利用余弦定理及(1)的结论，三角形面积公式计算即可. 【详解】(1)根据正弦定理知， 整理得， 因为， 所以， 由正弦定理可得； (2)因为，所以， 由余弦定理可得，即， 则， 因为，所以，所以， 则，即， 解得或， 当时，，此时的面积， 当时，，此时的面积. 所以的面积为或. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； (2)利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【详解】(1)证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 (2)由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 3.元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路(长度均超过2千米)，在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)千米 (2)千米． 【分析】(1)在中，利用余弦定理得到； (2)设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值． 【详解】(1)在中，由余弦定理得， ， 所以千米． (2)设，因为，所以 在中，由正弦定理得，． 因为， 所以，， 因此， ， 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值． 故两条观光线路距离之和的最大值为千米． 4.在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小； (2)利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值. 【详解】(1)∵， 由正弦定理得， ，即， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴； (2)由正弦定理，得， ∴ ， 又∵，为锐角，∴的最大值为， ∴的最大值为. 5.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，再结合两角和差公式化简整理得，进而得到角A； (2)由余弦定理得，结合的周长，可求得,可求得三角形的面积． (3)由正弦定理可得，结合锐角三角形的条件计算可求其范围. 【详解】(1)由正弦定理，得， 即，即， 又，所以，所以， 因为,故． (2)在中，由余弦定理可得， 所以，又因为周长为6，所以， 所以，所以的面积. (3)因为为锐角三角形，则，则可得， 所以,所以， ，所以， 所以， 由正弦定理可得， ， 所以． 6.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； (2)在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， (3)利用余弦定理得，正弦定理得，结合(2)的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【详解】(1)在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； (2)在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， (3)在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 【B组---提高题】 1.古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，(图1)，求线段长度的最大值； (2)若，，(图2)，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足(2)条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【答案】(1) (2)时，四边形面积取得最大值，且最大值为． (3) 【分析】(1)由题意可得，进而求出的最大值； (2)由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积． (3)根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值. 【详解】(1)由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； (2)如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时 ． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．    (3)由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为 10 学科网（北京）股份有限公司 $$