复习第02讲 平面向量中的最值、范围问题-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）

02讲 平面向量中的最值、范围问题 1.掌握平面向量中数量积的最值、范围问题； 2.掌握极化恒等式，并会利用其处理平面向量的最值、范围问题； 3.掌握等和线的概念，并会利用等和线处理平面向量的最值、范围问题. 1 数量积 (1)平面向量的数量积：；； (2)向量位置关系 若 ，则；. 2 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 拓展 定比分点 线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点， 当时，点的坐标是. 3极化恒等式 (1)平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. (2)三角形模式：， 即向量的数量积等于中线长与半底边长的平方差. 极化恒等式把数量积转化为平面几何的线段长度问题.它可解决求数量积的值、数量积的取值范围、探求数量积的最值、处理长度问题等. 4平面向量三点共线定理 在讲等和线之前，我们先来看看平面向量三点共线定理: 如图，是平面内三个点，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得； 反过来，若，则 三点共线. 5 等和线 (1)等和线 设点是平面内任意一点，且， 由平面向量三点共线定理可知，当点落在直线时，； 那当点落在直线外呢？ 比如，点落在点，则，那的值有何变化？ 如下图直线和平行，则有， 设， 根据三点共线原理有:， 又，， 所以若有，点落在对于上的任意一点，它们对于基底 的系数和，其中 为三角形的相似比. 则直线可称之为的等和线，直线称之为的等和线. (2)等和线解题方法图解 若，则有； 若，则有； 若，则有； 【题型一】数量积的最值、范围问题 【典题1】 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点(含端点)，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为(   ) A．0 B． C． D． 2.已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3.已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是(    ) A． B．3 C．1 D．2 4.正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5.在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则(   ) A．2 B． C．6 D．4 【题型二】 模长的最值、范围问题 【典题1】 已知，，且，则的最大值为(    ) A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【典题2】已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为(    ) A．9 B．3 C． D．10 2.已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则(    ) A． B． C． D． 3.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 4.已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则(    ) A．8 B．10 C．19 D． 【题型三】 极化恒等式的运用 【典题1】 如图，已知等边 内接于半经为2的 ，点上的一个动点，则取值范围 . 【典题2】设为的重心，若，则的取值范围为 . 变式练习 1. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( ) A. -2 B. C. D. 2.如图，已知正六边形的边长为2 ，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1 ，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.半经为2的圆上有三点， 满足 ，点是圆内一点，则的取值范围是 . 4.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积；(2)若，求的值. 5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若，求的值； (2)若， ，求的值． 【题型四】 等和线的运用 【典题1】 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 变式练习 1. 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D． 2.在单位圆上，是两个给定的夹角为的向量，为单位圆上动点，设，且设的最大值为,最小值为,则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 3.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为(　　) A．5 B．3 C． D． 【A组---基础题】 1.已知菱形的边长为2，，点E在边BC上，且.若G为线段DC上的动点，则的最小值为(　　) A． B．0 C． D．4 2.如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为(    ) A．2 B． C．3 D． 4.中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是(    ) A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 5.如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 6.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为    7.已知是半径为2的圆上三个动点，①若，则的最大值为 ，②若，则的最小值为 . 8.阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【B组---提高题】 1.在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 2.如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动(包括端点)且，若的面积为．则的最小值为(   )    A． B． C． D． 3.已知在中，，，，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02讲 平面向量中的最值、范围问题 1.掌握平面向量中数量积的最值、范围问题； 2.掌握极化恒等式，并会利用其处理平面向量的最值、范围问题； 3.掌握等和线的概念，并会利用等和线处理平面向量的最值、范围问题. 1 数量积 (1)平面向量的数量积：；； (2)向量位置关系 若 ，则；. 2 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 拓展 定比分点 线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点， 当时，点的坐标是. 3极化恒等式 (1)平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. (2)三角形模式：， 即向量的数量积等于中线长与半底边长的平方差. 极化恒等式把数量积转化为平面几何的线段长度问题.它可解决求数量积的值、数量积的取值范围、探求数量积的最值、处理长度问题等. 4平面向量三点共线定理 在讲等和线之前，我们先来看看平面向量三点共线定理: 如图，是平面内三个点，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得； 反过来，若，则 三点共线. 5 等和线 (1)等和线 设点是平面内任意一点，且， 由平面向量三点共线定理可知，当点落在直线时，； 那当点落在直线外呢？ 比如，点落在点，则，那的值有何变化？ 如下图直线和平行，则有， 设， 根据三点共线原理有:， 又，， 所以若有，点落在对于上的任意一点，它们对于基底 的系数和，其中 为三角形的相似比. 则直线可称之为的等和线，直线称之为的等和线. (2)等和线解题方法图解 若，则有； 若，则有； 若，则有； 【题型一】数量积的最值、范围问题 【典题1】 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点(含端点)，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可. 【详解】以中点为原点，建立如图所示坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算. 【典题2】已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可. 【详解】如图所示    由图像可知，与夹角的范围为， 所以, 所以. 故选：D. 变式练习 1.已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为(   ) A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到，即可求出结果. 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 2.已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由题意点为的中点， 设， 则，， 故 ， 当时，取得最小值.    故选：A. 3.已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是(    ) A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，， 所以，， 则 ， 因为，所以， 即的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键. 4.正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，由点在不同的边上求出的表达式，分类讨论利用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质，得出有一解，有两解的情况，即可得的取值范围. 【详解】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， ，    若在上，设，， 则，， ∴， ∵， ∴． ∴当时有一解，当时有两解； 若在上，设，， 则，， ∴， ∵， ∴， 当或，有一解，当时有两解； 若在上，设，， 则，， ∴， ∵，∴， ∴当时有一解，当时有两解； ④若在上，设，， 则，， ∴， ∵，∴， ∴当或时有一解，当时有两解； 综上，若在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，则． 故选：D. 5.在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则(   ) A．2 B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，由，的面积为，得，则， 由是边的中点，是线段的中点，得， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 在中，由余弦定理得：， 所以. 故选：D 【题型二】 模长的最值、范围问题 【典题1】 已知，，且，则的最大值为(    ) A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式，结合以及已知数据，直接求解即可. 【详解】 ， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故 . 故选：A. 【典题2】已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 即，即，即， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 变式练习 1.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为(    ) A．9 B．3 C． D．10 【答案】C 【分析】根据条件得到，利用二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. 2.已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】易知， 由二次函数的单调性可知时上式取得最小值， 即， 所以. 故选：C 3.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题，即可求解. 【详解】设，共起点， 由，可得， 所以与垂直，如图 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上， 由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故的最小值为. 故选：. 4.已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则(    ) A．8 B．10 C．19 D． 【答案】B 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的模长公式先表示出，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】设，，则，， 设， 又点，为边的两个三等分点，点靠近点， 所以，， 所以，， ①， 因为，令， 所以，即， ①式可化为，， 根据二次函数的性质可知，时①取得最小值，当时①取得最大值， 当时， 取得最大值，当时，取得最小值， 即，， 所以． 故选：B． 【题型三】 极化恒等式的运用 【典题1】 如图，已知等边 内接于半经为2的 ，点上的一个动点，则取值范围 . 【答案】 【详解】 易得， 取中点， ， ， . 【典题2】设为的重心，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 又，所以， 因为为的重心，所以， 在中， ①， 在中， ②， ①+②得，即， 取中点， ， 又在中得，即， 则 所以. 变式练习 1. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( ) A. -2 B. C. D. 【答案】 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接， 由是边长为2的等边三角形，为中线 的中点， 则 ， 所以. 2.如图，已知正六边形的边长为2 ，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1 ，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】 【详解】如图，取的中点， 根据题意，是边长为2的正三角形，易得， ， 根据图形可知， 当点 位于正六边形各点的中点时， 有最小值，此时 ； 当点位于正六边形的顶点时， 有最大值 2 ，此时 ； 综上，. 故选: . 3.半经为2的圆上有三点， 满足 ，点是圆内一点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】 易知，且 ， 由平行四边形性质可知为菱形，且 与 均为等边三角形. 取中点，由极化恒等式得 ，易知， 的范围是. 4.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1)10 (2)240 【分析】 (1)利用数量积的定义求出，根据同角关系求出，代入三角形面积公式即可求解； (2)先利用极化恒等式得，由得，代入极化恒等式求解即可. 【详解】(1)因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； (2)因为，， 由极化恒等式得， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得. 5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若，求的值； (2)若， ，求的值． 【答案】(1)21；(2). 【分析】(1)利用极化恒等式，即可求解. (2)根据条件解出m、n即可求解. 【详解】解：(1)由“极化恒等式”知： ； (2)设， 因为由(1)知， ① 因为同理可得， ② 由①②解得， 于是有. 【题型四】 等和线的运用 【典题1】 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 变式练习 1. 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝，故选C.    2.在单位圆上，是两个给定的夹角为的向量，为单位圆上动点，设，且设的最大值为,最小值为,则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】可由等和线分析的取值范围 【详解】，由平面向量共线定理知： 当点在直线上时， 作图如图所示，当在时取最大值，当在时取最小值， ，故， 故选：C 3.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为(　　) A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果． 【详解】 如图，设，，设P是直线EF上一点， 令，则， ，又，所以 因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值， 设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1， 连接MP，连接并延长使之与EF交于点， 过M作，垂足为N， 因为，设，则， ， 则，由，得， 故的最大值为． 故选：D． 【A组---基础题】 1.已知菱形的边长为2，，点E在边BC上，且.若G为线段DC上的动点，则的最小值为(　　) A． B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义及运算律，结合向量的线性运算求解． 【详解】菱形的边长为2，，点E在边BC上，且，如图： ，设， ，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 2.如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得. 【详解】连接，，设，依题意，，，， 则 ， 由，得，所以. 故选：C 3.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可. 【详解】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 4.中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是(    ) A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D. 【详解】为正实数，， ，而共线，    ， 当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最小值为4，C正确； 又， 由于为正实数，，则， 则，时取最大值， 当趋近于0时，可无限趋近于0， 故，故无最大值，D错误， 故选：C. 5.如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】设，可得出，计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的最小值. 【详解】设， 则， 因为，，则， 所以 . 因此，的最小值为1. 故答案为：1． 6.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为    【答案】 【分析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，，把用表示，由和的范围，求2x＋2y的最大值. 【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，    设，则， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时, ， ∵，∴设，则，当点P为切点时, 有最大值, ，， ∴，，∴. 即2x＋2y的最大值为. 故答案为： 7.已知是半径为2的圆上三个动点，①若，则的最大值为 ，②若，则的最小值为 . 【答案】 6 【分析】①设的中点为，连接，由平面向量的运算律可得，当过圆心，即为等腰三角形时，取得最大值，代入即可得出答案；②由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值，求解即可. 【详解】①若，设的中点为，连接， 则， 当过圆心，即为等腰三角形时，取得最大值， 如下图， 则， 所以的最大值为. ②若为钝角时，取到最小值， 如图，为的中点，在上的投影向量为. 由可知当在上的投影长最长时， 即与圆相切时，可取到最小值. ， 当时，的最小值为. 故答案为：；. 8.阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【答案】(1)10； (2)240； (3)-32. 【分析】(1)结合数量积的定义和三角形面积公式求解； (2)根据“极化恒等式”列出式子计算即可 (3)连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【详解】(1)因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； (2)因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； (3)连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 【B组---提高题】 1.在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 2.如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动(包括端点)且，若的面积为．则的最小值为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设 ，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】如图，设，则，    所以， 得，又， 所以，得，解得， 所以，故，， 设 ，则， 所以， 则 ， 当时，取得最小值，且为. 故选：B 3.已知在中，，，，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 【详解】如图:    设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于, 过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,, ,其中,又, 所以, 当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,, 当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$