复习第01讲 平面向量基本定理与数量积的应用-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量基本定理与数量积的应用 1.掌握平面向量的基本定理及其运用； 2.掌握数量积的概念及其性质，会求数量积与最值、范围问题. 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 2 数量积的概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 3 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) ， (3) 当与同向时，；当与反向时，. 特殊地，. (4) . 4平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 5 平面向量垂直 若 ，则. 【题型一】 平面向量的基本定理的运用 【典题1】 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为(    )    A．5 B．9 C． D． 2.在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则(    ) A． B． C． D．1 3.在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】 求数量积 【典题1】在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则(    ) A．3 B．6 C．7 D．9 【典题2】如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点(不含端点)，若，则(    )    A． B． C．4 D． 变式练习 1.如图圆中若，则的值等于(    ) A． B．3 C． D．-3 2.在矩形中，，，点是AB中点，点P在BC边上，若，则(    ) A． B． C． D． 3.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点(接近点)，点为的中点，则(    )    A． B． C． D． 4.在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则(    ) A．1 B． C．9 D． 5.在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 6.在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 【题型三】 求向量的夹角 【典题1】 已知向量满足，且，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知平面非零向量，，满足，且，则(    ) A． B． C． D．0 2.已知单位向量，满足，则与的夹角为(    ) A． B． C． D． 3.已知向量满足，，则向量的夹角为(   ) A．0 B． C．0或 D．0或 4.已知向量的夹角为 (1)求; (2)在上的投影数量; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【题型四】 数量积的综合运用 【典题1】 为所在平面内一点，且满足，则是的(    ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【典题2】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知向量a，b满足，，且对，，则=(    ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 2.已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 (   ) A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 3.已知点P在所在平面内，若，则点P是的(    ) A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 4.若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5.已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的(    ) A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心 C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心 【A组---基础题】 1.在中，，，，且，则(    ) A． B． C． D． 2.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则(    ) A． B． C． D． 3.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是(    ) A． B． C． D． 4.在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的(    ) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 5.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则(   ) A． B． C． D． 6.如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 7.如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 8.如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小；(2)求的余弦值． 【B组---提高题】 1.如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则(    ) A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 2.锐角中，的中点分别为，且所对的边分别为，若三角形内点满足，则(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量基本定理与数量积的应用 1.掌握平面向量的基本定理及其运用； 2.掌握数量积的概念及其性质，会求数量积与最值、范围问题. 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 2 数量积的概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 3 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) ， (3) 当与同向时，；当与反向时，. 特殊地，. (4) . 4平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 5 平面向量垂直 若 ，则. 【题型一】 平面向量的基本定理的运用 【典题1】 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线，三点共线，三点共线，用表示，可求的值. 【详解】由三点共线，设， 由三点共线，设， 则有，解得， 所以， 由三点共线，设， 则有. 故选：B. 变式练习 1. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为(    )    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    2.在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【详解】 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 故选：A 3.在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 将和都用和表示出来，然后利用列式计算即可. 【详解】由题意，， 则， 同理可得：， 因为直线和直线交于点, 所以存在使， 即，两式作商得 解得. 故选：C. 【题型二】 求数量积 【典题1】在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则(    ) A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】    因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【典题2】如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点(不含端点)，若，则(    )    A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先求出直线的方程，根据在线段上，设出点坐标，列出方程，再根据列方程，解方程组，得到点坐标，可求的长度. 【详解】如图：    点A，C在一次函数的图象上. 设， 则，，，解得舍去)， 所以，，. 故选：B 变式练习 1.如图圆中若，则的值等于(    ) A． B．3 C． D．-3 【答案】C 【分析】根据数量积的几何意义，分别作交于，于，可得分别为的中点，由即可得解. 【详解】如图分别作交于，于， 根据垂径定理可得分别为的中点， 所以 故选：C 2.在矩形中，，，点是AB中点，点P在BC边上，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，由已知求出点坐标，即可得出答案. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系. 由易知可得，，，，，， 设 ，则，，. 所以，，则，所以. 所以，. 故选：A. 3.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点(接近点)，点为的中点，则(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可推得， ， ，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果. 【详解】由已知，，，， 所以 . 由已知是的中点，所以， ，. 所以 ， ， 所以， . 故选：B. 4.在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则(    ) A．1 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】利用共线定理的推论求得，然后以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标运算求得，然后由数量积的坐标表示可得. 【详解】由可得：， 因为B，C，D三点共线，故，即， 所以， 以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示， 因为，，则， 因为，故设， 则 由得， 解得，故，， 所以. 故选：C 5.在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解. 【详解】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故 ， 故选：A. 6.在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解； (2)用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得. 【详解】(1)当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以. (2)因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 【题型三】 求向量的夹角 【典题1】 已知向量满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 变式练习 1. 已知平面非零向量，，满足，且，则(    ) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由向量数量积表示垂直，再结合数量积的定义计算即可. 【详解】因为非零向量，，满足，且， 所以， 即， 所以， 故选：A. 2.已知单位向量，满足，则与的夹角为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，进而可得，，结合夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为，解得， 则，即， ， 可得， 且，所以与的夹角为． 故选：D． 3.已知向量满足，，则向量的夹角为(   ) A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】A 【分析】由，两边同时平方，利用向量数量积和向量的模，求向量的夹角. 【详解】向量满足，设向量的夹角为，， ，则， ， 得，有或(舍去)， 由，得. 故选：A. 4.已知向量的夹角为 (1)求; (2)在上的投影数量; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】(1)根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； (2)计算，，结合投影数量的定义求解即可； (3)将条件转化为且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】(1)由已知， 所以. (2)因为， ， 所以在上的投影数量为， (3)由于， 若与反向，可得，， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以且， 即且. 所以的取值范围是. 【题型四】 数量积的综合运用 【典题1】 为所在平面内一点，且满足，则是的(    ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 【典题2】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，由“奔驰定理”：可知成立并进行证明，利用对应系数相等得到面积比，求解即可. 【详解】   如图，延长交于点，设， 易知，可得， 又，得，故， 可知， 同理，可得， 结合可得， 整理得成立， 而由题意得，故， 设即，，故，故C正确. 故选：C 变式练习 1.已知向量a，b满足，，且对，，则=(    ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】对两边平方，根据二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为对，， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 2.已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 (   ) A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 3.已知点P在所在平面内，若，则点P是的(    ) A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得. 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 4.若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状. 【详解】 ，， ，即， 即， 故， ， 故为直角三角形， 因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形. 故选：D. 5.已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的(    ) A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心 C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案. 【详解】 因为，所以， 设AB的中点D，则，所以 ， 所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且， 所以G为的重心． 因为，所以，所以O为的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得：，，所以H为的垂心. 故选：C. 【A组---基础题】 1.在中，，，，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算将用、表示，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，则，可得， 在中，，，， 由平面向量数量积的定义可得， 因此，. 故选：C. 2.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 3.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为向量在向量上的投影向量是， 所以， 即，所以， 又因为， 所以与的夹角是. 故选：A. 4.在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的(    ) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【分析】根据向量的运算化简，可证明，则点轨迹为三角形边的中垂线，可得解. 【详解】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 故选：C 5.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助外心性质与投影定义可得，结合向量的线性运算计算可得，即可得解. 【详解】因为是的外心，为的中点， 设的中点为，连接， 所以，，， . 故选：B. 6.如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 7.如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】(1)结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； (2)结合(1)中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】(1)过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； (2)因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 8.如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由，边上的两条中线相交于点,可得，得到； (2)表示出，求解，，即可求解的余弦值. 【详解】(1)为的中点， ， ． ，，， ， ． 又，． (2)为的中点， ， ， ， ， 又与向量，的夹角相等， 故的余弦值为． 【B组---提高题】 1.如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则(    ) A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【答案】B 【分析】设，用表示出，然后利用三角函数的性质求最值. 【详解】设， 由余弦定理得 过点作轴，设垂足为， 在中，， 所以 在中， ， 所以 由 即 得， 所以， 当且仅当时取最小值，没有最大值． ， 其中， 因为，所以， 所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值． 故选：B. 2.锐角中，的中点分别为，且所对的边分别为，若三角形内点满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算，化简条件等式，证明点为的垂心，连接并延长交与点，由此可求. 【详解】因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以点为的垂心， 连接并延长交与点， 所以， ， 所以， 故选：C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$