七年级（下）期末数学模拟试卷01-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

2023-2024学年七年级（下）期末数学模拟试卷（1） 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1． 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（﹣a3b）2＝a6b2 C．3a+5b＝8ab D．（a+2b）2＝a2+4b2 2．如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠C+∠ADC＝180° C．∠C＝∠CDE D．∠1＝∠2 3．观察下列作图痕迹，线段AD为△ABC的BC边上高的是（　　） A． B． C． D． 4．若a＜b，则下列式子正确的是（　　） A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3 5．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．关于x的不等式组有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5＜a≤﹣4 B．﹣5≤a＜﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 7．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则图中∠1+∠2等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 8．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2． 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为 　 　． 10．若am＝3，am﹣n＝12，则an＝　 　． 11．因式分解：3x2﹣12＝　 　． 12．一个正多边形的每个外角的度数是72°，则这个正多边形的边数是　 　． 13．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，则m+n＝　 　． 14．如图，直线m∥n，现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，若∠1＝27°，则∠2的度数为 　 　． 15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为 　 　； 16．将长为4，宽为a（a大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为 　 　． 三．解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： （1）； （2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3． 18． （6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 19． （6分）求不等式组的整数解． 20．（10分）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论； （2）若∠1＝80°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 21．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 22．（10分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 23．（10分）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y． 例：已知M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，其中a≠b，求证：M＞N． 证明：M﹣N＝a2﹣ab﹣ab+b2＝（a﹣b）2， ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0，故M＞N， 【新知理解】 （1）比较大小：x﹣3 　 　2+x．（填“＞”，“＝”，“＜”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为S1，S2．请比较S1，S2的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？ 24．（10分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 　； 图2表示：　 　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； （3）请直接写出下列问题答案： ①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝　 　； ②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　 　． （4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积． 25．（10分）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 　；②　 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB，BC． （1）求点C，D的坐标及△BCD面积； （2）若点E为y轴负半轴上的一动点，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2、∠3的数量关系？并说明理由； （3）在坐标轴正半轴上是否存在点M，使△BMD的面积是△BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 27．（10分）如图1，已知AB∥CD，直线EF交AB于点M，交CD于点N．点P是EF右侧一点，连接MP，NP，NQ平分∠PND，MQ平分∠AMP． （1）若∠BMP＝40°，∠PND＝30°，则∠MPN＝　 　°，∠MQN＝　 　°． （2）写出∠MPN与∠MQN之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当PM⊥PN时，若∠BMP＝40°，过点N作GN⊥NQ于N．将射线NG绕点N以每秒5°的速度顺时针旋转一周，经过t秒后，射线NG恰好平行于MP，请直接写出所有满足条件的t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年七年级（下）期末数学模拟试卷（1） 【苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1． 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（﹣a3b）2＝a6b2 C．3a+5b＝8ab D．（a+2b）2＝a2+4b2 【答案】B 【解答】解：（A）a2•a4＝a2+4＝a6，故A选项不合题意； （B）（﹣a3b2）＝a3×2b1×2＝a6b2，故B选项符合题意． （C）3a，5b非同类项，不可合并，故C选项不合题意； （D）（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故D选项不合题意； 故选：B． 2．如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠C+∠ADC＝180° C．∠C＝∠CDE D．∠1＝∠2 【答案】D 【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行即可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； B、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； C、根据内错角相等，两直线平行即可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； D、根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥DC，故选项正确． 故选：D． 3．观察下列作图痕迹，线段AD为△ABC的BC边上高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据作图过程可知：线段AD为△ABC的BC边上高的是A选项． 故选：A． 4．若a＜b，则下列式子正确的是（　　） A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3 【答案】D 【解答】解：A选项，∵a＜b， ∴＜，故该选项不符合题意； B选项，∵a＜b， ∴﹣3a＞﹣3b，故该选项不符合题意； C选项，∵a＜b， ∴3a＜3b，故该选项不符合题意； D选项，∵a＜b， ∴a﹣3＜b﹣3，故该选项符合题意； 故选：D． 5．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：， 故选：C． 6．关于x的不等式组有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5＜a≤﹣4 B．﹣5≤a＜﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 【答案】D 【解答】解：， 解不等式①，得x＞a， 解不等式②，得x＜2， 所以不等式组的解集是a＜x＜2， ∵关于x的不等式组有且仅有5个整数解（是1，0，﹣1，﹣2，﹣3）， ∴﹣4≤a＜﹣3， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则图中∠1+∠2等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵沿EF向内折叠△AEF得到△DEF， ∴∠D＝∠A＝50°，∠AEF＝∠DEF，∠AFE＝DFE， 在△DEF中，∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°， ∴∠AED+∠AFD＝130°×2＝260°， ∵∠AED+∠1+∠AFD+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝100°， 故选：C． 8．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b） ＝6a2+6ab+2ab+2b2 ＝6a2+8ab+2b2， ∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张． 故选：C． 2． 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为 　1.64×10﹣6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6， 故答案为：1.64×10﹣6． 10．若am＝3，am﹣n＝12，则an＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵am＝3， ∴am﹣n＝am÷an＝12， ∴3÷an＝12， ∴， 故答案为：． 11．因式分解：3x2﹣12＝　3（x+2）（x﹣2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝3（x2﹣4） ＝3（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x+2）（x﹣2）． 12．一个正多边形的每个外角的度数是72°，则这个正多边形的边数是　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：360÷72＝5，那么它的边数是5． 13．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，则m+n＝　　． 【答案】． 【解答】解：（x+m）（x﹣n） ＝x2﹣nx+mx﹣mn ＝x2+（m﹣n）x﹣mn， ∵（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2， ∴m﹣n＝﹣4，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝16， m2+n2﹣2mn＝16， m2+n2﹣2×2＝16， m2+n2＝20， ∴（m+n）2 ＝m2+n2+2mn ＝20+2×2 ＝20+4 ＝24， ∴， 故答案为：． 14．如图，直线m∥n，现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，若∠1＝27°，则∠2的度数为 　63°　． 【答案】63°． 【解答】解：如图，作BD∥m， ∵m∥n， ∴BD∥n， ∴∠1＝∠DBA＝27°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠DBA＝63°， ∵BD∥m， ∴∠2＝∠CBD＝63°． 故答案为：63°． 15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为 　1　； 【答案】1． 【解答】解：对于方程组， ①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 又∵x﹣y＝4， ∴m+3＝4， 解得：m＝1． 故答案为：1． 16．将长为4，宽为a（a大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为 　或3　． 【答案】或3． 【解答】解：根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为4﹣a，长为a时， 得：4﹣a＜a， ∴a＞2， 当剩下的长方形宽为：a，长为：4﹣a时， 得：a＜4﹣a， ∴a＜2，2＜a＜4， ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：4﹣a，长为：a； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：4﹣a，长为：a﹣（4﹣a）＝2a﹣4时， 得：4﹣a＜2a﹣4， 解得：， ∴， 当剩下的长方形宽为：2a﹣4，长为：4﹣a时，得：4﹣a＞2a﹣4， 解得：，， ∵在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形， 且n＝3第三次操作后，当剩下的正方形边长为：4﹣a时， 得：4﹣a＝2a﹣4﹣（4﹣a）， 解得：a＝3， ∴2＜3＜， ∴a＝3符合题意； 当剩下的正方形边长为：2a﹣4 时，得：2a﹣4＝4﹣a﹣（2a﹣4）， 解得：， ∴，，符合题意； ∴a的值为：3或 ． 故答案为：或3． 三．解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： （1）； （2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3． 【答案】（1）2． （2）﹣20a3b3． 【解答】解：（1）原式＝（﹣2）2+1×1﹣3 ＝4+1﹣3 ＝2． （2）原式＝﹣12a3b3﹣8a3b3 ＝﹣20a3b3． 18． （6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x），其中． 【答案】﹣2x﹣7，﹣6． 【解答】解：（x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+2x（2﹣x） ＝x2﹣6x+9+x2﹣16+4x﹣2x2 ＝﹣2x﹣7， 当时， 原式＝． 19． （6分）求不等式组的整数解． 【答案】﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 【解答】解：解不等式7（x﹣1）＜4x+3，得：x＜， 解不等式6（2/3x+1）≥2x﹣5，得：x≥， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． ∴原不等式组的整数解为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3 20．（10分）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论； （2）若∠1＝80°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 【答案】（1）CF∥DB，见解析； （2）50°． 【解答】解：（1）CF∥DB，理由： ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE， ∴∠3+∠CBD＝180°， 又∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝∠CBD， ∴CF∥DB． （2）∵CF∥DB， ∴∠1＝∠ABD＝80°， 又∵BC平分∠ABD， ∴， ∴∠2＝∠DBC＝40°， 又∵BC⊥AG， ∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣40°＝50°． 21．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 【答案】（1）（x+4）（x﹣2）； （2）多项式x2+4x﹣2020的最小值为﹣2024． （3）△ABC的周长＝3+4+5＝12． 【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣9 ＝（x+1）2﹣32 ＝（x+1+3）（x+1﹣3） ＝（x+4）（x﹣2）； （2）x2+4x﹣2020 ＝x2+4x+22﹣22﹣2020 ＝（x+2）2﹣2024， ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2﹣2024≥﹣2024， ∴多项式x2+4x﹣2020的最小值为﹣2024． （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8a+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12． 22．（10分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【答案】（1）A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元； （2）至少购进A种商品100件． 【解答】（1）设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． （2）设A种商品购进a件，则乙种商品（200﹣a）件， 根据题意，得10（a﹣30）+0.8×10[200﹣（a﹣30）]﹣5a﹣6（200﹣a）≥640， 解得：a≥100， 答：至少购进A种商品100件． 23．（10分）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y． 例：已知M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，其中a≠b，求证：M＞N． 证明：M﹣N＝a2﹣ab﹣ab+b2＝（a﹣b）2， ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0，故M＞N， 【新知理解】 （1）比较大小：x﹣3 　 　2+x．（填“＞”，“＝”，“＜”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为S1，S2．请比较S1，S2的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？ 【答案】（1）＜； （2）S1＞S2； （3）当游泳次数多于10次时，选择B方案；当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；当游泳次数少于10次时，选择A方案． 【解答】解：（1）∵x﹣3﹣2﹣x＝﹣5＜0， ∴x﹣3＜2+x， 故答案为：＜； （2）S1＝（a+7）（a+1）＝a2+8a+7， S2＝（a+4）（a+2）＝a2+6a+8， S1﹣S2 ＝a2+8a+7﹣（a2+6a+8） ＝a2+8a+7﹣a2﹣6a﹣8 ＝2a﹣1， ∵a为正整数， ∴a≥1， ∴2a≥2， ∴2a﹣1≥1＞0， ∴S1＞S2； （3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次， 则A方案的费用＝ax•90%＝0.9ax； B方案的费用＝5a+a（x﹣5）•80%＝0.8ax+a； ∵0.9ax﹣（0.8ax+a）＝0.1ax﹣a， ∴当0.1ax﹣a＞0时，即x＞10时，0.9ax＞0.8ax+a； 当0.1ax﹣a＝0时，即x＝10时，0.9ax＝0.8ax+a； 当0.1ax﹣a＜0时，即x＜10时，0.9ax＜0.8ax+a； ∴当游泳次数多于10次时，选择B方案； 当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以； 当游泳次数少于10次时，选择A方案． 24．（10分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 　； 图2表示：　 　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； （3）请直接写出下列问题答案： ①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝　 　； ②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　 　． （4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （2）12． （3）①±1；②13． （4）． 【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2， S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab， 由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和， 即（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab． 图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）] ∵x+y＝8，x2+y2＝40， ∴xy＝（64﹣40） ＝12． （3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn， ∵2m+3n＝5，mn＝1， ∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1， ∴2m﹣3n＝±1． 故答案为：±1． ②由图1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m）， ∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m）， ∵（4﹣m）（5﹣m）＝6， ∴原式＝1+2×6＝13． 故答案为：13． （4）由题意得AB＝AC+CB， ∵AB＝7， ∴AC+CB＝7， ∵S1+S2＝16， ∴AC2+CB2＝16， ∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC•CB， ∴AC•CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）] ＝（49﹣16） ＝， ∴S阴影＝CD•CB＝AC•CB＝． 即图中阴影部分的面积为． 25．（10分）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 　；②　 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）△ABC与△CBD，△ACD与△CBD； （2）证明过程见解答； （3）60°；30°；（）°；（）°． 【解答】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△CBD，△ACD与△CBD； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线； （3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B＝， 当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x＝°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB，BC． （1）求点C，D的坐标及△BCD面积； （2）若点E为y轴负半轴上的一动点，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2、∠3的数量关系？并说明理由； （3）在坐标轴正半轴上是否存在点M，使△BMD的面积是△BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）C（﹣1，0），D（3，0），4； （2）证明过程见解析； （3）M（，0）或M（0，1）． 【解答】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴A（0，2），B（4，2），， 根据点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位， ∴C（0﹣1，2﹣2），D（4﹣1，2﹣2）， ∴C（﹣1，0），D（3，0）， ∴＝4； （2）证明：如图：设BE与x轴交于点F， ∵A（0，2），B（4，2）， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠2+∠3． （3）解：当点M在x轴的正半轴上时，设点M坐标为（x，0）， 根据题意，得， 解得：（舍去）或， ∴M（，0）； 当点M在y轴的正半轴上时，设点M坐标为（0，y）， 过点B作BN⊥x轴，垂足为N，则四边形ONBA为矩形， ∵D（3，0），B（4，2）， ∴DO＝3，ON＝BC＝4，DN＝1，BN＝2，OM＝y， ∴， 即：＝， 解得：y＝1， ∴M（0，1）； 综上所述，M（，0）或M（0，1）． 27．（10分）如图1，已知AB∥CD，直线EF交AB于点M，交CD于点N．点P是EF右侧一点，连接MP，NP，NQ平分∠PND，MQ平分∠AMP． （1）若∠BMP＝40°，∠PND＝30°，则∠MPN＝　 　°，∠MQN＝　 　°． （2）写出∠MPN与∠MQN之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当PM⊥PN时，若∠BMP＝40°，过点N作GN⊥NQ于N．将射线NG绕点N以每秒5°的速度顺时针旋转一周，经过t秒后，射线NG恰好平行于MP，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】70，125；∠MQN＝90°+∠MPN；t＝31或67． 【解答】解：（1）如图（1）所示： 过点P作 PH∥AB，过点Q作 KQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥QK∥CD， ∵∠BMP＝40°，∠PND＝30°， ∴∠BMP＝∠MPH＝40°，∠HPN＝∠PND＝30°， ∴∠MPN＝∠MPH+∠HPN＝40°+30°＝70°， ∵∠BMP＝40°， ∴∠AMP＝180°﹣∠BMP＝140°， ∵MQ平分∠AMP， ∴∠AMQ＝∠AMP＝70°， ∵NQ平分∠PND， ∴∠QND＝∠PND＝15°， 由 AB∥QK，得∠MQK＝180﹣∠AMQ＝110°， 由 QK∥CD，得∠KQN＝∠QND＝15°， ∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝110°+15°＝125°， （2）∠MQN＝90°+∠MPN， 理由如下：由（1）得∠MPN＝∠BMP．+∠PND， ∠MQK＝180°﹣∠AMQ＝180°﹣（180°﹣∠BMP）＝180°﹣90°+∠BMP＝90°+∠BMP， ∵∠KQN＝∠PND， ∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝90°+∠BMP+∠PND＝90°+（∠BMP+PND）， ∴∠MQN＝90°+∠MPN， （3）如图（2）所示： NG的初始位置为 NG，当NG旋转至 NG1，NG2处时平行于MP， ∵PM⊥PN， ∴∠MPN＝90°， ∵∠BMP＝40°且由（1）知∠MPN＝∠BMP+∠PND， ∴∠PND＝∠MPN﹣∠BMP＝90°﹣40°＝50°， ∵NQ平分∠PND， ∴∠PNQ＝∠QND＝∠PND＝×50°＝25°， ∵GN⊥NQ， ∴∠GNQ＝90°， ∴∠GNP＝∠GNQ﹣∠PNQ＝90°﹣25°＝65°， ①若 NG1∥MP时，∠MPN＝∠PNG1＝90°， ∴∠GNG1＝∠GNP+∠PNG1＝65°+90°＝155°， 故此时，5t＝155，解得t＝31， ②若 NG2∥MP时，则5t＝155+180，解得t＝67， 综上所述，当t的值为31或67秒时，NG与MP平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$