期末各名校真题复习（压轴必刷50题23考点）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末各名校真题复习（压轴必刷50题23考点） 一．多项式乘多项式（共1小题） 1．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 二．完全平方公式（共2小题） 2．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝　 　． 3．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 三．完全平方公式的几何背景（共2小题） 4．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系． 5．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 四．平方差公式的几何背景（共1小题） 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 五．整式的混合运算（共1小题） 7．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26， 则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　 　． 六．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 8．因式分解：x2+4xy﹣5y2 解：x2+4xy﹣5y2 ＝x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2 ＝（x+2y）2﹣9y2 ＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y） ＝（x+5y）（x﹣y） 我们把上述因式分解的方法称为“配方法”． （1）请用“配方法”分解因式：x2﹣5xy+6y2； （2）若x+y＝7，xy＝11，求的值； （3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x﹣3与x2+3x﹣4的大小，并说明理由． 七．因式分解的应用（共2小题） 9．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　 　． 10．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 八．二元一次方程组的解（共1小题） 11．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 　 　． 九．解二元一次方程组（共1小题） 12．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5 即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组． （i）求x2+4y2的值； （ii）求+的值． 一十．二元一次方程组的应用（共4小题） 13．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示： 体积（m3/件） 质量（吨/件） A型商品 0.8 0.5 B型商品 2 1 （1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？ （2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 14．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 15．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元． （1）求x、y的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？ 16．八（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表 参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数 A 19 0 1 B 17 2 1 C 15 2 3 D 17 1 2 E / / 7 （1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分； （2）最后获知A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）． 一十一．解三元一次方程组（共1小题） 17．阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 一十二．一元一次不等式的应用（共1小题） 18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少　 　个窗口． 一十三．解一元一次不等式组（共1小题） 19．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． （1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集； （2）求不等式＞0的解集． 一十四．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 20．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　 　． 21．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是　 　 22．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如：T（1，1）＝3m+3n． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8． ①求m，n的值； ②若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围； （2） 当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 一十五．一元一次不等式组的应用（共2小题） 23．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 　 　． 24．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 一十六．平行线的判定（共2小题） 25．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 　 　．（填序号） 26．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行． 一十七．平行线的性质（共12小题） 27．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 29．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论： ①EG⊥FG； ②∠P+∠PHB＝∠PGD； ③∠P＝2∠E； ④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 30． 如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去， 则∠Pn＝　 　度． 31．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为　 　． 32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　 　（填编号）． 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 34．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 35．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 36．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 37．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 38．（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 一十八．平行线的判定与性质（共2小题） 39．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°． （1）求证：AB∥DE； （2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由． 40．综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）∠DPC＝　 　； （2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？ 一十九．三角形（共1小题） 41．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　 　个． 二十．三角形的面积（共2小题） 42．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 43．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 　 　△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得 　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 　 　． （3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由． 二十一．三角形内角和定理（共5小题） 44．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　 　°． 45．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 46．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°； ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 47．直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数； （2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D． ①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝　 　度（直接写出结果，不需说理）； ②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数． 48．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A＝40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB＝　 　度，∠DBC+∠DCB＝　 　度，∠ABD+∠ACD＝　 　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 二十二．多边形（共1小题） 49．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 二十三．平移的性质（共1小题） 50．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E． （1）求∠AEC的度数； （2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数． （3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题复习（压轴必刷50题23考点） 一．多项式乘多项式（共1小题） 1．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 二．完全平方公式（共2小题） 2．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝　0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1， ∴[（n﹣2019）+（2020﹣n）]2 ＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）（2020﹣n）+（2020﹣n）2 ＝1+2（n﹣2019）（2020﹣n） ＝1， ∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝0． 故答案为：0． 3．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 三．完全平方公式的几何背景（共2小题） 4．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b （2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49， 又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24， ∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25 （3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积 即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab． 5．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝23， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29， ∴S3＝×29＝． 四．平方差公式的几何背景（共1小题） 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　B　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y） 得：x﹣2y＝3； ②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） ＝××××××…×××× ＝× ＝． 五．整式的混合运算（共1小题） 7．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26， 则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算， 即3×449+5＝1352（偶数）， 需再进行F②运算， 即1352÷23＝169（奇数）， 再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数）， 再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数）， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数）， 再进行F②运算，即8÷23＝1， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…， 即第1次运算结果为1352，…， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8． 故本题答案为：8． 六．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 8．因式分解：x2+4xy﹣5y2 解：x2+4xy﹣5y2 ＝x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2 ＝（x+2y）2﹣9y2 ＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y） ＝（x+5y）（x﹣y） 我们把上述因式分解的方法称为“配方法”． （1）请用“配方法”分解因式：x2﹣5xy+6y2； （2）若x+y＝7，xy＝11，求的值； （3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x﹣3与x2+3x﹣4的大小，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣5xy+6y2 ＝x2﹣5xy++6y2 ＝（x﹣）2﹣ ＝（x﹣）（x﹣） ＝（x﹣2y）（x﹣3y）； （2）∵x+y＝7，xy＝11， ∴ ＝ ＝ ＝； （3）（2x2+2x﹣3）﹣（x2+3x﹣4） ＝2x2+2x﹣3﹣x2﹣3x+4 ＝x2﹣x+1 ＝＞0， ∴2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4． 七．因式分解的应用（共2小题） 9．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a+b﹣2＝0， ∴a+b＝2． ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b ＝2（a+b） ＝2×2 ＝4． 故答案为4． 10．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0， ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0， ∴（x+y）2+（y+1）2＝0， ∴x+y＝0，y+1＝0， 解得，x＝1，y＝﹣1， ∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1； （2）∵a﹣b＝4， ∴a＝b+4， ∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得 b2+4b+c2﹣6c+13＝0， ∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， ∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0， ∴b+2＝0，c﹣3＝0， 解得，b＝﹣2，c＝3， ∴a＝b+4＝﹣2+4＝2， ∴a+b+c＝2﹣2+3＝3． 八．二元一次方程组的解（共1小题） 11．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一： ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴将解代入方程组 可得m＝﹣1，n＝2 ∴关于a、b的二元一次方程组可整理为： 解得： 方法二： 关于x、y的二元一次方程组的解是， 由关于a、b的二元一次方程组可知 解得： 故答案为： 九．解二元一次方程组（共1小题） 12．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5 即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组． （i）求x2+4y2的值； （ii）求+的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19③， 把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2， 把y＝2代入①得：x＝3， 则方程组的解为； （2）（i）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2＝③， 把③代入②得：2×＝36﹣xy， 解得：xy＝2， 则x2+4y2＝17； （ii）∵x2+4y2＝17， ∴（x+2y）2＝x2+4y2+4xy＝17+8＝25， ∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5， 则+＝＝±． 一十．二元一次方程组的应用（共4小题） 13．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示： 体积（m3/件） 质量（吨/件） A型商品 0.8 0.5 B型商品 2 1 （1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？ （2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型商品x件，B型商品y件． 由题意可得． 解之得． 答：A型商品5件，B型商品8件． （2）①若按车收费：10.5÷3.5＝3（辆）， 但车辆的容积6×3＝18＜20，所以3辆汽车不够，需要4辆车． 4×600＝2400（元）． ②若按吨收费：200×10.5＝2100（元）． ③先用3辆车运送18m3，剩余1件B型产品，付费3×600＝1800（元）． 再运送1件B型产品，付费200×1＝200（元）． 共需付1800+200＝2000（元）． ∵2400＞2100＞2000 ∴先按车收费，用3辆车运送18m3，再按吨收费，运送1件B型产品，运费最少为2000元． 答：先按车收费，用3辆车运送18m3，再按吨收费，运送1件B型产品，运费最少为2000元． 14．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得 ， 解得． 答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆． （2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得 5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120， 化简得5a+2b＝20， 即a＝4﹣b， ∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数， ∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， ∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）． 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元． 15．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元． （1）求x、y的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元， 根据题意得：， （①+②）÷4，得：a+b+c＝190． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元． 16．八（1）班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表 参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数 A 19 0 1 B 17 2 1 C 15 2 3 D 17 1 2 E / / 7 （1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分； （2）最后获知A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝82.5（分）， 答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分是82.5分． （2）①设E同学答对x题，答错y题，由题意得 ， 解得， 答：E同学答对12题，答错1题． ②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题． 一十一．解三元一次方程组（共1小题） 17．阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） 将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④ 将①代入④得 3×7+4y＝11 y＝ 把y＝代入①得， ∴方程组的解为 （2） 由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③ 由②得2（x+4y）+z＝36 ④ ③×2﹣④×3得z＝2 一十二．一元一次不等式的应用（共1小题） 18．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少　9　个窗口． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设同时开n个窗口，依题意有 由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得10nx≥90x﹣2x， 所以n≥8.8． 因此，至少要同时开9个窗口． 故答案为：9 一十三．解一元一次不等式组（共1小题） 19．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． （1）求不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集； （2）求不等式＞0的解集． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负” 有①或②， 解不等式组①得x＞3， 解不等式组②得x＜﹣4， 所以一元二次不等式（2x+8）（3﹣x）＜0的解集是x＞3或x＜﹣4； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 有①或②， 解不等式组①得：﹣3＜x＜2， 解不等式组②无解， 所以不等式＞0的解集是﹣3＜x＜2． 一十四．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 20．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　﹣5≤m＜﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 解①得x＜﹣， 解②得x＞m， 则不等式组的解集是m＜x＜﹣． 不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4． 则﹣5≤m＜﹣4． 故答案为：﹣5≤m＜﹣4． 21．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是　2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：解不等式组得：m＜x≤6， ∵所有整数解的和是18，18＝6+5+4+3 ∴x＝6，5，4，3，因此不等式组的整数解为①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2 ∴2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2； 故答案为：2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2． 22．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如：T（1，1）＝3m+3n． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8． ①求m，n的值； ②若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围； （2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①由题意，得， ∴， ②由题意，得 解不等式①，得p＞﹣1． 解不等式②，得． ∴． ∵恰好有3个整数解，∴． ∴42≤a＜54． （2）由题意：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x）， ∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2， ∵对任意有理数x，y都成立， ∴m＝2n． 一十五．一元一次不等式组的应用（共2小题） 23．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 　131或26或5或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：我们用逆向思维来做： 第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656， 解得：x＝131； 第二个数是（5x+1）×5+1＝656， 解得：x＝26； 同理：可求出第三个数是5； 第四个数是， ∴满足条件所有x的值是131或26或5或． 故答案为：131或26或5或． 24．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得：， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需110万元． （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆， 由题意得， 解得：， 因为a是整数， 所以a＝4，5； 则共有两种购买方案： ①购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元； ②购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元； 购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元． 一十六．平行线的判定（共2小题） 25．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 　①②④　．（填序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2， ∴∠1＝∠3． ∴①正确． ②∵∠2＝30°， ∴∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE． ∴②正确． ③∵∠2＝30°， ∴∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝45°， ∴BC不平行于AD． ∴③错误． ④由②得AC∥DE． ∴∠4＝∠C． ∴④正确． 故答案为：①②④． 26．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　10或28　秒时，边CD恰好与边AB平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为100°÷10°＝10秒； ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角为270°+10°＝280°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为280°÷10°＝28秒； 综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行． 故答案为：10或28． 一十七．平行线的性质（共12小题） 27．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°， ∴∠EFC+∠EFC'＝200°， ∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°， 故选：A． 28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α， ∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD， ∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°， ∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β， 在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180° 故β﹣α＝40°， 而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°， 故选：B． 29．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论： ①EG⊥FG； ②∠P+∠PHB＝∠PGD； ③∠P＝2∠E； ④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD， ∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD， ∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝， 即EG⊥FG，故①正确； 设PG与AB交于M，GE于AB交于N， ∵AB∥CD， ∴∠PMB＝∠PGD， ∵∠PMB＝∠P+∠PHM， ∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确； ∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD， ∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD， ∵AB∥CD， ∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD， ∴∠PMB＝2∠ENB， ∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB， ∴∠P＝2∠E，故③正确； ∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC， ∠AHP﹣∠PGC＝∠F， ∴∠P＝∠F， ∵∠FGE＝90°， ∴∠E+∠F＝90°， ∴∠E+∠P＝90°， ∵∠P＝2∠E， ∴3∠E＝90， 解得∠E＝30°， ∴∠F＝∠P＝60°，故④正确． 综上，正确答案有4个， 故选：D． 30．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 31．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为　∠A+∠C﹣∠P＝180°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，作PE∥CD， ∵PE∥CD， ∴∠C+∠CPE＝180°， 又∵AB∥CD， ∴PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∴∠A+∠C﹣∠P＝180°， 故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°． 32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论　①②③　（填编号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ABO＝a°， ∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确； ②∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°， ∴∠BOF＝∠BOD， ∴OF平分∠BOD所以②正确； ③∵OP⊥CD， ∴∠COP＝90°， ∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°， ∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确； ∴∠POB＝90°﹣a°， 而∠DOF＝a°，所以④错误． 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 34．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CB∥OA， ∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE＝∠EOF， ∵∠FOB＝∠AOB， ∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°； （2）∵CB∥OA， ∴∠AOB＝∠OBC， ∵∠FOB＝∠AOB， ∴∠FOB＝∠OBC， ∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值； （3）在△COE和△AOB中， ∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB， ∴∠COE＝∠AOB， ∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°， ∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°， 故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°． 35．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 【答案】（1）∠BED+∠D＝120°； （2）100°； （3）＝． 【解答】解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°， 证明：如图①，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠ABE＝120°， ∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°， ∴∠D+∠BED＝120°； （2）如图②， ∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE， 即∠CDE＝3∠CDF， 设∠BEF＝α，∠CDF＝β， ∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°， ∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD的度数为100°； （3）如图③， ∵BG⊥AB， ∴∠ABG＝90°， ∵∠ABE＝120°． ∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°， ∵∠CDE＝4∠GDE， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE， ∴∠G+30°＝∠E+∠CDE， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴∠CDE＝120°﹣∠E， ∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E）， ∴∠G＝∠E， ∴＝． 36．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图1，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）结论①的值不变是正确的， 设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴＝＝2（定值）， 即的值不变，值为2． 37．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN， ∴∠C＝∠CBG ∵AB⊥BC， ∴∠CBG＝90°﹣∠ABG， ∴∠C＝90°﹣∠ABG， ∵BG∥CN，AM∥CN， ∴AM∥BG， ∴∠DBG＝90°＝∠D， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABG， ∴∠ABD＝∠C； （2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x， 设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y， ∵BF平分∠DBC， ∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y， ∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC， ∴∠AFB+2x＝2x+y， ∴∠AFB＝y＝∠ABF； ②∵∠CBA＝90°，AF∥CN， ∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°， ∴， ∴， ∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°． 38．（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 【答案】（1）（2）见解析；（3）70°或290°． 【解答】【答案】 （1）证明：∵AB∥CD ∴∠AGP＝∠GPD． ∵∵CD∥EF， ∴∠DPH＝∠EHP． ∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）解：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°． 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠AGP+∠GPC＝180°． ∵CD∥EF， ∴∠CPH+∠EHP＝180°． ∵∠GPC+∠CPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°． （3）解：∠GQH＝70°． 当点Q在GH的左侧时，∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH＝70°； 当点Q在GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°， ∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°． 综上所述：∠AGQ+∠EHQ的值为70°或290°． 一十八．平行线的判定与性质（共2小题） 39．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°． （1）求证：AB∥DE； （2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵∠A+∠1＝90°， ∴∠B＝∠1， ∴AB∥DE． （2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB， ∵AB∥DE， ∴PG∥DE， ∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE， ∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP； 如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB， ∵AB∥DE， ∴PG∥DE， ∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE， ∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP； 如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB， ∵AB∥DE， ∴PG∥DE， ∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE， ∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP． 40．综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）∠DPC＝　75°　； （2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）如图1，此时，BD∥PC成立， ∵PC∥BD，∠DBP＝90°， ∴∠CPN＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APN＝30°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为3秒； 如图2，PC∥BD， ∵PC∥BD，∠PBD＝90°， ∴∠CPB＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APM＝30°， ∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为21秒， 综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； （3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， ∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°， ∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°， 当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°， 解得：t＝25， ∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒． 一十九．三角形（共1小题） 41．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　21　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21， 故答案为：21． 二十．三角形的面积（共2小题） 42．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m． ∵BD＝2AB， ∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m， ∵AC＝AF， ∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m， ∵EC＝3BC， ∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m， ∵AC＝AF， ∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m， ∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36， ∴m＝2， ∴△ABC的面积为2， 故选：A． 43．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 　＝　△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”） （2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得 　　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 　20　． （3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H， ∵AD是△ABC的BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴，， ∴S△ABD＝S△ACD， 故答案为：＝； （2）解方程组得， ∴S△AOD＝S△BOD＝10， ∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20， 故答案为：得，20； （3）如图3，连接AO， ∵AD：DB＝1：3， ∴S△ADO＝S△BDO， ∵CE：AE＝1：2， ∴S△CEO＝S△AEO， 设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y， 由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15， 可列方程组为：， 解得：， ∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13． 二十一．三角形内角和定理（共5小题） 44．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　35　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD， 又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD， ∴∠FCB＝∠B， ∴EF∥AB， ∴∠ECG＝∠BGC＝70°， ∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N， ∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG， ∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°， 故答案为：35． 45．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　∠A+∠D＝∠C+∠B　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B， 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝50度，∠B＝40度， ∴2∠P＝50°+40°， ∴∠P＝45°； （4）关系：2∠P＝∠D+∠B． ∠D+∠1＝∠P+∠3① ∠B+∠4＝∠P+∠2② ①+②得： ∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， ∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B． 46．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　135　°； （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝60°，则∠D＝　45　°； ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°， ∴∠AEB＝135°； 故答案为：135°； （2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴∠ABN＝150°， ∵BC是∠ABN的平分线， ∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°， ∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB＝30°， ∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°， 故答案为：45； ②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD＝α， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO＝2α， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC＝45°+α， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠OBD﹣∠ABO＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°， 故答案为：45； （3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， ∴∠AOE＝135°， ∴， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， ∴， 在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°； ②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°， 此时∠ABO＝120°＞90°，舍去； ③当∠F＝3∠E时，得， 此时∠ABO＝45°； ④当∠E＝3∠F时，得， 此时∠ABO＝135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°． 47．直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数； （2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D． ①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝　45　度（直接写出结果，不需说理）； ②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数． 【答案】（1）135°； （2）①45°； ②不变，45°； （3）45°或36°． 【解答】解：（1）如图1中， ∵MN⊥PQ， ∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°， ∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°， ∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO， ∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°． （2）如图2中， ①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°， ∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM， ∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°， ∵∠CBA＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝45°， 故答案为：45． ②不变， 理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°， ∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°． （3）如图3中， ∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F， ∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP， ∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°， ∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO， ①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°， ∴∠ABO＝2∠D＝45°． ②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°， ∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）． ③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°， ∴∠ABO＝2∠D＝36°． ④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°， ∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）． 综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍． 48．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A＝40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB＝　140　度，∠DBC+∠DCB＝　90　度，∠ABD+∠ACD＝　50　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 故答案为：140；90；50． （2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A． 在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°． ∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°． ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A． （3）∠ACD﹣∠ABD＝90°﹣∠A． 二十二．多边形（共1小题） 49．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 【答案】C 【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An， 若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1， 因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：C． 二十三．平移的性质（共1小题） 50．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E． （1）求∠AEC的度数； （2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数． （3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°， ∴∠ADC＝∠QAD＝30°， ∴∠PAD＝150°， ∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD， ∴∠PAE＝75°， ∴∠CAE＝25°， 可得∠PAC＝∠ACN＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECA＝25°， ∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°； （2）如图2所示： ∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN， ∴∠QA1D1＝30°， ∴∠PA1D1＝150°， ∵A1E平分∠AA1D1， ∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°， ∵∠PAC＝50°，PQ∥MN， ∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°， ∵CE平分∠ACD1， ∴∠ACE＝25°， ∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°； （3）如图3所示： 过点E作FE∥PQ， ∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN， ∴∠QA1D1＝30°， ∵A1E平分∠AA1D1， ∴∠QA1E＝∠2＝15°， ∵∠PAC＝50°，PQ∥MN， ∴∠ACN＝50°， ∵CE平分∠ACD1， ∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°， ∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$