专题07 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题07 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编之八大题型 目录 【题型一 矩形中折叠问题】 1 【题型二 菱形中折叠问题】 6 【题型三 正方形中折叠问题】 11 【题型四 矩形中旋转问题】 16 【题型五 菱形中旋转问题】 22 【题型六 正方形中旋转问题】 25 【题型七 特殊平行四边形中最值问题】 31 【题型八 特殊平行四边形中新定义问题】 38 【过关检测卷】 44 【期末题型】 【题型一 矩形中折叠问题】 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，将矩形纸片进行折叠，使折痕的两个端点P、F分别在边上，顶点B落在边的E点处．已知． (1)试求出的长度； (2)请求△PEF的面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为 ． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求的长． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．           图1                         图2 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【题型二 菱形中折叠问题】 例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．    2．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接． 独立思考：    （1）在图1中，若，则的长为__________． 实践探究： （2）在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）如图2，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． 【题型三 正方形中折叠问题】 例题：（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长为，分别是边上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【操作感知】如图①，在矩形纸片的边上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、．，则的大小为 　 　度． 【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点，连接． （1）判断与的关系并证明． （2）若正方形的边长为，点为中点，则的长为 　 　．    【题型四 矩形中旋转问题】 例题：（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是 ． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，两个全等的矩形和中，，，矩形绕C点旋转，点E在直线的上方，与相交于点H，    (1)求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)当与直线所成锐角为时，直接写出点F到的距离． 【题型五 菱形中旋转问题】 例题：（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，，，以点为顶点的一个的角绕点旋转，的两边分别交射线，射线于点，，且，不与，，重合，连接． （1）如图1，当点是线段的中点时，则__________． （2）在转动的过程中，的形状是否会发生改变？如果不会发生改变，请判断形状，并结合图2说明理由． （3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长． 【题型六 正方形中旋转问题】 例题：（21-22八年级下·湖南怀化·期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点. （1）求证：四边形是正方形； （2）= ； 【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，. （3）的比值是否会发生变化？说明理由； 【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点； （4）四边形是否是正方形?说明理由. 2．（22-23八年级下·四川内江·期末）如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）    (1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 【题型七 特殊平行四边形中最值问题】 例题：（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．    (1)求点C和点D的坐标． (2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【题型八 特殊平行四边形中新定义问题】 例题：（22-23八年级下·福建厦门·期末）数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接、． 根据以上操作，如图1，当点M在上时，连接，判断的形状并证明． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，且边长为，继续探究，过程如下： ①将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．如图2，当点M在上时，求的长； ②点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，的长为____． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将上方纸片沿折叠，点E落在点G处．若刚好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 4．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 5．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．    6．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 三、解答题 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 7．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．    (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求的长度． 8．（23-24九年级上·福建南平·期中）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．    (1)如图，连接． 求证：平分； 求证：是的中点； (2)如图，连接，若平分，，求的长． 9．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 10．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点；    (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点是的中点时，求线段的长： (3)如图3、在矩形中，，分别是、上的一点，，将沿翻折得，连接，若是以为腰的等腰三角形，则求此时的值． 11．（21-22八年级下·陕西西安·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形． 如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时． 概念理解 (1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外） (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）； 问题探究 (3)在（2）的条件下，连接，当平分时， ①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由； ②若，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编之八大题型 目录 【题型一 矩形中折叠问题】 1 【题型二 菱形中折叠问题】 6 【题型三 正方形中折叠问题】 11 【题型四 矩形中旋转问题】 16 【题型五 菱形中旋转问题】 22 【题型六 正方形中旋转问题】 25 【题型七 特殊平行四边形中最值问题】 31 【题型八 特殊平行四边形中新定义问题】 38 【过关检测卷】 44 【期末题型】 【题型一 矩形中折叠问题】 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，将矩形纸片进行折叠，使折痕的两个端点P、F分别在边上，顶点B落在边的E点处．已知． (1)试求出的长度； (2)请求△PEF的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键． （1）过P作于H，根据勾股定理求出，进而可以解决问题； （2）设，则，根据勾股定理求出x，得，，然后利用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过P作于H， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴△PEF的面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接BF，交交于点O，由折叠可知：，，可得，，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接，交于点O，如下图： 由折叠可知： ，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由矩形、折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．           图1                         图2 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ；[应用]（1）,理由见解析；（2）5 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：【猜想】矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：； 【应用】（1）；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 【题型二 菱形中折叠问题】 例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为 ． 【答案】或1 【分析】根据菱形的周长为8，可得菱形的边长为2，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得的值；②当时，点E落在菱形对角线上，推出为等边三角形，从而得到的值． 【详解】解：∵菱形的周长为8， ∴， ∵点M为的中点， ∴． 由翻折可知， ∴． ①当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； ②当时， 则：点E落在菱形对角线上， ∵点M为的中点，为折痕，此时于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 当或1时，是直角三角形． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．解题关键是熟练掌握各个知识点． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】根据折叠的性质可得，求出，根据，可得，证明，同理可得，结论得证． 【详解】证明：由折叠得， ∴， ∴， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明是解题的关键． 2．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接． 独立思考：    （1）在图1中，若，则的长为__________． 实践探究： （2）在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）如图2，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）  （2），理由见解析   （3）四边形是菱形，理由见解析 【分析】(1)先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出， 最后根据勾股定理求解，即可求出答案； (2)设, 进而得出, 由折叠知,, 进而得出, 再由折叠知,, 进而得出, 得出, 进而判断出, 即可得出结论; (3)先判断出是等边三角形，再判断出是等边三角形，即可得出结论. 【详解】(1) 在中, 点是的中点, , ∴ , 根据勾股定理得， ， 故答案为： (2), 理由: 设, 在中, 点是的中点, ∴, ∴, ∴, 由折叠知, , ∴， 由折叠知,, ∴, ， ∴, ∴, ∴； (3)四边形是菱形, 理由: 在中, , ∴, ∵点是的中点, ∴, ∴, ∴, 由折叠知, , 由折叠知, , ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴ , ∴, ∴四边形是菱形. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握折叠的性质是解本题的关键. 【题型三 正方形中折叠问题】 例题：（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长为，分别是边上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，作，分别交、于点、点，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，得，则，可证明四边形是平行四边形，得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，作，分别交、于点、点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 由折叠得点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 【答案】[探究]（1）；（2）；应用． 【分析】[探究] （1）连接，可推出，从而得出，进一步得出结果； （2）可证得，从而，进而得出结果； [应用]设，则，在中，，，，根据勾股定理得，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：[探究] （1）如图①，连接， 垂直平分， ， 由折叠得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由（1）可知：，，， ， ， ， ， ； 应用 设，则， 由（2）知：， 在中，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【操作感知】如图①，在矩形纸片的边上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、．，则的大小为 　 　度． 【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点，连接． （1）判断与的关系并证明． （2）若正方形的边长为，点为中点，则的长为 　 　．    【答案】【操作感知】30；【迁移探究】（1）全等，见解析；（2） 【分析】操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究：（1）根据证即可； （2）设的长为，则，，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，，，， ∵， ∴（）÷， ∴， ∴， 故答案为：； 【迁移探究】（1）判断：，理由如下： 证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴（）， 即； （2）设的长为， ∵正方形的边长为，点为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的判定及性质是解题的关键． 【题型四 矩形中旋转问题】 例题：（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得； （2）由全等三角形的性质得，等量代换可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】当矩形绕点O旋转，矩形四个顶点在上时，求出此时d的最小值，当矩形的边或的中点在上时，求出此时d的最大值，即可求解． 【详解】解：连接对角线， ∵矩形， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵点O为矩形对角线交点， ∴， ∵矩形绕点O旋转， ∴当矩形四个顶点在上时，此时d值最小，若点A在上，如图1， ∴， 当矩形的边或的中点在上时，此时d值最大，如的中点E在上，如图2， 连接，， ∵矩形，点O为矩形对角线交点， ∴， ∵E为边的中点， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，由题意得出当矩形四个顶点在上时，此时d的值最小，当矩形的边或的中点在上时，此时d的值最大是解题的关键． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，两个全等的矩形和中，，，矩形绕C点旋转，点E在直线的上方，与相交于点H，    (1)求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)当与直线所成锐角为时，直接写出点F到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或1 【分析】（1）连接，通过证明即可求解； （2）先证明，继而得出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在的上方时，作于T，作于W，交于R，可证明，求得，由勾股定理可得长度，同理可得长度，即可求解；当在的下方时，根据上述数据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，    连接， ∵矩形和全等，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，    当在的上方时， 作于T，作于W，交于R， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 如图3， 当在的下方时， 由上知：， ∴， 即F到的距离为：1， 综上所述：点F到的距离为：或1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等，熟练掌握知识点，并能够运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【题型五 菱形中旋转问题】 例题：（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形的面积，结合的长即可解决问题． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 令菱形的面积为， 又∵， ∴， ∴． 又∵由绕点D旋转得到， ∴，， ∴． 在中，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，，，以点为顶点的一个的角绕点旋转，的两边分别交射线，射线于点，，且，不与，，重合，连接． （1）如图1，当点是线段的中点时，则__________． （2）在转动的过程中，的形状是否会发生改变？如果不会发生改变，请判断形状，并结合图2说明理由． （3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长． 【答案】（1）；（2）的形状不会发生改变，是等边三角形，见解析；（3） 【分析】（1）先利用菱形的性质证明为等边三角形，由三线合一定理即可得到AE⊥BC，利用勾股定理即可求解； （2）连接，只需要证明得到AE=AF，即可证明△AEF是等边三角形； （3）作，由（1）知，先证明，即可得到，利用勾股定理求出AE的长，同理证明△AEB≌△AFC得到AE=AF，即可证明△AEF是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：（1）当点是线段的中点时，连接， ∵菱形中，，， ∴， ∴为等边三角形． 又∵， ∴，， 在中，由勾股定理得； （2）在转动的过程中，的形状不会发生改变，是等边三角形． 证明：如图2，连接， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）作，由（1）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可以证明△AEB≌△AFC（ASA）， ∴AE=AF， 又∵， ∴是等边三角形； ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【题型六 正方形中旋转问题】 例题：（21-22八年级下·湖南怀化·期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】根据正方形性质可得∠ODQ=∠OCP=45°，OC=OD，∠COD=90°，即可求得∠DOQ=∠COP，即可判定△DOQ≌△COP，可得S△DOQ=S△COP，即可求得两个正方形重叠部分的面积=S△COD． 【详解】解：如图，连接AC，BD，设OE交CD于点Q，OM交BC于点P， ∵点O为正方形ABCD的中心， ∴正方形ABCD的对角线相交于点O， ∴∠ODQ=∠OCP=45°，OD=OC，∠COD=90°， ∵四边形OMNE是正方形， ∴∠EOM=90°， ∵∠DOC=∠DOQ+∠COQ=90°，∠EOM=∠COQ+∠COP=90°， ∴∠DOQ=∠COP， 在△DOE和△AOF中， ， ∴△DOQ≌△COP（ASA）， ∴S△DOQ=S△COP， ∴四边形OPCQ的面积=S△OCP+S△QOC=S△ODQ+S△QOC=S△COD， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题时注意：全等三角形面积相等，本题中求证△DOQ≌△COP是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点. （1）求证：四边形是正方形； （2）= ； 【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，. （3）的比值是否会发生变化？说明理由； 【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点； （4）四边形是否是正方形?说明理由. 【答案】（1）详见解析； （2） （3）不变，理由见解析； （4）是，理由见解析． 【分析】（）根据正方形的性质和判定即可； （）根据正方形的性质求解即可； （）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可； （）根据正方形的性质和判定即可； 此题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， （2）由（）得：四边形是正方形， ∵四边形是正方形， ∴设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：； （）不变，理由： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过作于点，过作交于点 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 易得：， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）四边形是正方形，理由： 由（）得：， ∴， ∵点，，分别是，，的中点； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形． 2．（22-23八年级下·四川内江·期末）如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）    (1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明即可证明； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质用“”即可证明； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质证明，可得，进而求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴； ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题, 涉及全等三角形, 正方形及菱形的性质, 解答本题的关键是设计三角形全等, 巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 【题型七 特殊平行四边形中最值问题】 例题：（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，过点作于，证明，推出，设，则，可得，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出直线的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，    设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴时，的值最小， ∵定值， ∴当时，的值最小． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．    (1)求点C和点D的坐标． (2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，由四边形是菱形，则，，在中，，求出，即可得到点C和点D的坐标． （2）点B，D关于直线对称．设交于，连接，则，，即．则当点P和点重合时，的值最小．在中，，则，则，求出，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， ．， 四边形是菱形， ，， 在中，， 则， ∴， ∴， ∴， ，． （2）四边形是菱形， ，D关于直线对称． 设交于，连接，则，    ，即． 当点P和点重合时，的值最小． 在中， ， ∴， 则，即， ， ． 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)作图见解析，的最小值为6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点，    连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，    则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 【题型八 特殊平行四边形中新定义问题】 例题：（22-23八年级下·福建厦门·期末）数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接、． 根据以上操作，如图1，当点M在上时，连接，判断的形状并证明． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，且边长为，继续探究，过程如下： ①将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．如图2，当点M在上时，求的长； ②点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，的长为____． 【答案】(1)是等边三角形； (2)①② 【分析】（1）根据折叠性质可得，，再结合矩形的性质可求，即可证明； （2）①根据第一问中，可求，，从而求出，即可求出答案； ②根据面积公式得出，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 由折叠性质可得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：①∵四边形是正方形，且边长为， 由（1）得：，， ∴，， ∴， 由题意可得：， ∴， 由（1）得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ∴ ②如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长是， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，勾股定理解直角三角形，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握相关性质，并正确求解． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将上方纸片沿折叠，点E落在点G处．若刚好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， 故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值，， ， ， 线段的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题 4．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，通过作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键．作于，由，得，即、、三点共线时，最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，作于， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， 即、、三点共线时，最小值为， 将长方形沿对角线折叠，得， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为： 5．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】4或 【分析】分两种情况①当时，连接，作于，由菱形的性质得出，，，得出，，，求出，，由折叠的性质得，，，证明，得出，证出、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，，此时点与重合，与点重合，，是等边三角形，（含这种情况）． 【详解】解：分两种情况： 当时，连接，作于，如图1所示：    四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， 为的中点， ， 由折叠的性质得：，，， 在和中，， ， ， ， 、、三点共线， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即； 当时，，此时点与重合，与点重合，如图2所示：    ，是等边三角形，（含这种情况）； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或4； 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 【答案】 2 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴（） ∴，， ∴点垂直平分，点垂直平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式． （1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出； （2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，可得， 是长方形， ， ， ， ． （2）设，则， 在中， ，即：， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由（1）可知，， 又，， ，， ， 在中， ，即， 解得：，（舍）， 故：，． 7．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．    (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，和，从而证明； （2）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，，在中，利用勾股定理求出长度，从而求出长度． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是长方形， ，，， ， 沿折叠后为， ， ，， 在与中， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， ， 在中，由勾股定理有， ． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识，找准对应边、对应角是解题关键． 8．（23-24九年级上·福建南平·期中）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．    (1)如图，连接． 求证：平分； 求证：是的中点； (2)如图，连接，若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)． 【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解； 过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可； （）作于点，由（）得出，，再通过性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    由旋转性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 如图，过点作于点，    由①可知， 又∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点， （2）解：如图，作于点，    由()可知，， ∴，， ∵，平分， ∴ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 9．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解； （3）分在和在上，两种情况进行求解，即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴“折痕”一定是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）“折痕”，如图所示：    ∵点F与点C重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当F在边上时，如图②所示，，    即当F与C重合时，此时，面积最大为4． ②当F在边上时，如图③所示，过F作交于点H，交于K，    ∵，， ∴．即当F为中点时，此时，面积最大为4． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 10．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点；    (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点是的中点时，求线段的长： (3)如图3、在矩形中，，分别是、上的一点，，将沿翻折得，连接，若是以为腰的等腰三角形，则求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先确定出，再利用含的直角三角形边的关系与勾股定理求解即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）设，则，由翻折得：．由等腰三角形性质分情况讨论如下：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平方可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠知，， 在中，，，，设，则，由勾股定理可得， ； （2）解：连接，如图所示：    是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中，， 由对称性可知， 在和中， ， ， ， 沿折叠后得到， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ； （3）解：设，则， 由翻折得：，根据是以为腰的等腰三角形， 当时，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：，解得：； 当时，作，如图所示：    ， ， ， 沿翻折得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 解得； 综上所述：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解（1）的关键是求出，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题． 11．（21-22八年级下·陕西西安·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形． 如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时． 概念理解 (1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外） (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）； 问题探究 (3)在（2）的条件下，连接，当平分时， ①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)∠ABD，∠ACD； (2)是 (3)①四边形ACEF为正方形，理由见解析；②． 【分析】（1）以AD为公共边，有∠ABD＝∠ACD； （2）由菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝90°，可得四边形ABCD是损矩形； （3）①由可得∠ABD＝∠CBD＝45°，由四边形ABCD为损矩形可得∠ACD＝∠ABD＝45°，然后利用菱形的性质求出∠ACE＝2∠ACD＝90°，可得结论； ②过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出AD，进而可得AF，然后根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】（1）解：由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD； 故答案为：∠ABD，∠ACD； （2）∵四边形ACEF是菱形， ∴AE⊥CF， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是损矩形， 故答案为：是； （3）①四边形ACEF为正方形， 理由：如图3，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵四边形ABCD为损矩形， ∴∠ACD＝∠ABD＝45°， ∴∠ACE＝2∠ACD＝90°， ∴四边形ACEF为正方形； ②过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，如图4， ∵∠ABD＝45°，， ∴△HBD是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ACEF为正方形， ∴， ∴四边形的面积＝． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了新定义，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，认真阅读理解新定义，作辅助线构建直角三角形是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$