专题06 矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题06 矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编之八大题型 目录 【题型一 利用矩形的性质求角度或线段长】 1 【题型二 矩形的性质与判定综合问题】 4 【题型三 利用菱形的性质求角度或线段长】 10 【题型四 菱形的性质与判定综合问题】 14 【题型五 利用正方形的性质求角度或线段长】 20 【题型六 正方形的性质与判定综合问题】 23 【题型七 添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形】 33 【题型八 矩形、菱形、正方形中无刻度作图】 35 【过关检测卷】 40 【期末题型】 【题型一 利用矩形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ． 2．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ． 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，是延长线上一点，是上一点，满足，则与的比值为 ．    【题型二 矩形的性质与判定综合问题】 例题：（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．    (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，当线段最短时，，求此时的值． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·海南儋州·期末）如图，在平行四边形中，平分，平分，且，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求的长． 2．（22-23八年级下·青海西宁·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，于点F，过点O作交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，．求的长． 3．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．    (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)若，分别是，的中点， ①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形； ②当为何值时，四边形为矩形? 【题型三 利用菱形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．    【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，若,，则的长为 . 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ． 3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．    【题型四 菱形的性质与判定综合问题】 例题：（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长至点，连接交于点，若，求． 2．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在处，交于点．    (1)过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)若，求线段的长． 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）．    (1)如图2，连接，直接写出与的数量关系？ (2)如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出其面积． 【题型五 利用正方形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）在正方形的外侧以为边作等边，连接，则的度数是 ．    2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 【题型六 正方形的性质与判定综合问题】 例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形． (1)如图1，在正方形内部作，若，，则正方形的面积为________； (2)如图2，在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积； ①探究、、之间的数量关系，并证明你的结论； ②若，点恰好在线段上，求的值． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，边长为4的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接． (1)求证：； (2)若，直接写出的长． 3．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 【题型七 添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形】 例题：（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 【变式训练】 1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号） 2．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号） 3．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【题型八 矩形、菱形、正方形中无刻度作图】 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)使（保留画图痕迹）； (2)在上找到点G，使，作出等腰． 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．    (1)在图1中求作边的中点； (2)在图2中的边上求作点，使． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成） (2)在边上找点，使得；（在图2中完成） (3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 【过关检测卷】 一、单选题 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邢台·三模）如图，矩形的对角线交于点O，交的延长线于点E，若， ，则（    ） A． B． C． D．4 4．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为(　　) A．4 B． C． D． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·福建泉州·三模）在菱形中，，，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形，对角线交于点O，以为边向外作等边，连接交于点F，则 °． 8．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，在菱形中，，点以的速度沿边由A向B匀速运动，同时点F以的速度沿边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点运动 秒时，为等边三角形． 9．（2024·江西·二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．图1 是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2 是由该七巧板拼摆成的“叶问蹬”图，其中点C，D分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是 ． 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 三、解答题 11．（2024·广东东莞·三模）如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)①当平行四边形是__________形时，四边形是菱形； ②当平行四边形是__________形时，四边形是矩形． 12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______． 14．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． (1)证明：． (2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． (3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 15．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 矩形、菱形、正方形性质与判定期末真题汇编之八大题型 目录 【题型一 利用矩形的性质求角度或线段长】 1 【题型二 矩形的性质与判定综合问题】 4 【题型三 利用菱形的性质求角度或线段长】 10 【题型四 菱形的性质与判定综合问题】 14 【题型五 利用正方形的性质求角度或线段长】 20 【题型六 正方形的性质与判定综合问题】 23 【题型七 添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形】 33 【题型八 矩形、菱形、正方形中无刻度作图】 35 【过关检测卷】 40 【期末题型】 【题型一 利用矩形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，是矩形中边的中点，将沿折叠到在矩形内部，延长交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进行求解．由沿折叠到，得出，由，求出，利用求解． 【详解】解：沿折叠到， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 故答案为：8． 2．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及题意可得，从而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质及垂直的定义可得，然后根据含度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形性质和等边三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，四边形为长方形，是延长线上一点，是上一点，满足，则与的比值为 ．    【答案】3 【分析】由，得，由，得，则；由矩形的性质得，则，所以，则，所以与的比值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、矩形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 【题型二 矩形的性质与判定综合问题】 例题：（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．    (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，当线段最短时，，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由矩形的性质可得，则当有最小值时，有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形 （2）解：如图，连接，    四边形是矩形， ， 当有最小值时，有最小值， 点在边上运动不与、两点重合， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·海南儋州·期末）如图，在平行四边形中，平分，平分，且，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，又由平行四边形的性质可得，从而得到，从而证明四边形是矩形； （3）先证明，从而得到，继而得到，再用容斥原理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ∴； （2）∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）∵四边形是矩形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等角对等边等知识，掌握相关定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·青海西宁·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，于点F，过点O作交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理得出，然后理由直角三角形斜边上中线的性质以及矩形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，交于点O， ∴点O是的中点（菱形的两条对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角）， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）， ∵又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵， ∴， ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，， ∴，，（菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角）， ∴， 在中 ， ∴（如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么）， ∴， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵四边形是矩形， ∴（矩形的对边平行且相等）． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．    (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)若，分别是，的中点， ①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形； ②当为何值时，四边形为矩形? 【答案】(1)，或； (2)①见解析；②当或4.5时，四边形为矩形． 【分析】（1）根据题意即可求出答案； （2）先根据矩形的性质证出，从而可以证明四边形是平行四边形，最后根据举行的判定即可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知：， 当和运动如图时，    则有：， 当和运动如图时，    则有：， 故答案为： ，或， （2）①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ②解：如图所示，连接．   ， 由（2）①可知四边形是平行四边形． ∵点，分别是矩形的边，的中点， ∴， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： ①，解得； ，     ②，解得．   ，   即当或时，四边形为矩形． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形和平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和平行四边形的判定和性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 【题型三 利用菱形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，若,，则的长为 . 【答案】5 【分析】利用菱形的面积公式求出，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长即可．本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵,， ∴， ∵菱形的对角线，相交于点， ∴， ∴， 故答案为：5． 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质．先根据菱形的性质得到，，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．    【答案】或或 【分析】利用为等腰直角三角形得到，所以，当点在上，，当点在上，过点作于点，如图1，证明为等腰直角三角形，所以，，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长；当点在上，过点于点，连接，如图2，由于，，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在上，， 当点在上，过点作于点，如图1，   四边形是菱形， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在 中，， ， 解得， ． 当点在上，过点于点，连接，如图2，   ，， ， ， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质． 【题型四 菱形的性质与判定综合问题】 例题：（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理； （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，得，而，则，则，，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，则，所以，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ∴的长为6． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长至点，连接交于点，若，求． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形； （2）过点作，交于点，则，得到，再由菱形的性质和勾股定理得，则，证明，得到，然后证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在四边形中，，， 四边形是平行四边形，           ， 平行四边形是菱形； （2），，，，， ，，， 如图，过点作，交于点， 则， ，              四边形是菱形， ，互相垂直平分，                    在中, ，， ，， ， ， ，， ， ， 点、、在同一条直线上， ， ，                   ，   ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 2．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在处，交于点．    (1)过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据翻折性质可得，进而可以解决问题； （2）先用矩形和折叠的性质证明，，设，则，根据勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 将矩形沿对角线翻折， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由矩形的性质可知：， 将矩形沿对角线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）．    (1)如图2，连接，直接写出与的数量关系？ (2)如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出其面积． 【答案】(1) (2)①菱形，理由见解析；② 【分析】（1）根据平移可得，，可得四边形是平行四边形，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，由题意可证是平行四边形，即可得四边形是菱形；②根据四边形的面积，可求其面积． 【详解】（1）解：，理由如下： 平移， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）①四边形是菱形，理由如下： 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； ②，，， 四边形的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【题型五 利用正方形的性质求角度或线段长】 例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ． 【答案】/22.5度 【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）在正方形的外侧以为边作等边，连接，则的度数是 ．    【答案】/75度 【分析】由正方形和等边三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，求出的度数是解题的关键． 2．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．先过作，，然后利用正方形的性质得出≌，从而得到四边形的面积与四边形的面积相等，等于正方形面积的，即可得到大正方形的面积，从而求出的长． 【详解】解：过作，，如图： 四边形是正方形， 平分， ，， ， ， ， ， ， 四边形的面积是， 正方形的面积为， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短， ∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，， ∴， ∴线段取最小值为6． 故答案为：6． 【题型六 正方形的性质与判定综合问题】 例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形． (1)如图1，在正方形内部作，若，，则正方形的面积为________； (2)如图2，在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积； ①探究、、之间的数量关系，并证明你的结论； ②若，点恰好在线段上，求的值． 【答案】(1)4 (2)①，证明见详解② 【分析】（1）结合全等三角形的性质解得，然后根据正方形面积公式求解即可； （2）设，，，求得的值，再证明四边形为正方形，进而求得得值，在中，由勾股定理可得，即可证明结论；②连接，首先证明，设，进而表示出，的值，在中，由勾股定理可得，代入求值解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为． 故答案为：4； （2）①，证明如下： 设，，， 则，，， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形的面积为， 在中， ∵， ∴， ∴； ②如下图，连接， ∵点恰好在线段上，为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得（舍去），， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、整式混合运算等知识，难度较大，灵活运用勾股定理是解题关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形； （2）先证明，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，边长为4的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接． (1)求证：； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先利用正方形的对称性可得到，然后在证明又，通过等量代换可得到； （2）①当点在边上时，过点作，交于．依据等腰三角形的性质可得到，从而可得到的长，然后可得到的长，在中可求得的长；②点在延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明，然后再按照①中的思路进行证明即可． 【详解】（1）①证明：正方形关于对称， ， ． 又， ， ， ． （2）①当点在边上时，过点作，垂足为，交于． ， 是的中点． ，边长为4 ，． 又四边形是矩形，为等腰直角三角形， ， ． ②点在延长线上时，如图所示：过点作，垂足为，交于． 正方形关于对称， ， ． 又， ， ， ． ． 又， ， ， ， ， 综上所述：为或． 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键． 3．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 【答案】(1)67.5° (2)40 (3) 【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF= ×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数； （2）延长BC到点K，使，连接DK，构造全等三角形，证明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周长； （3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°， ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠EDF=45°， ∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°， ∴∠CDF+∠CDF=45°， ∴∠CDF=22.5°， ∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°． （2）如图2，延长BC到点K，使，连接DK， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40； （3）如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM， ∵，， ∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 【题型七 添加一个条件使四边形是矩形、菱形、正方形】 例题：（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】根据题意可证明，再由可得，再证明得，进而证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的关键． 2．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号） 【答案】② 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件可证得到，能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 3．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 【题型八 矩形、菱形、正方形中无刻度作图】 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可； 【详解】（1） 点G即为所求； （2） 点P即为所求； 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)使（保留画图痕迹）； (2)在上找到点G，使，作出等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接交交于点，连接，延长交于点，此时； （2）连接交于点，与相交于点M，连接交于点G，连接交于点F，连接，此时，是等腰三角形． 【详解】（1）如图所示：    （2）如图所示： 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．    (1)在图1中求作边的中点； (2)在图2中的边上求作点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定： （1）连接，过的交点与点E作直线，交于点F，即可； （2）方法一：连接，并延长交于点P，连接交于点H，即可；方法二：连接，交于点Q，连接，并延长交于点H，即可； 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点H即为所求．    3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成） (2)在边上找点，使得；（在图2中完成） (3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解； （2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形； （3）在第（2）问所作图的基础上构造，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，得到，即可作出所作图形． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）旋转后的三角形为，如图所示： 【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形． D、正确．可以证明平行四边形的邻边相等，即可判定是菱形． 故选：C． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据矩形的性质可得对角线相等，进而根据已知可得垂直平分，根据等边对等角得出，进而可得，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 3．（2024·河北邢台·三模）如图，矩形的对角线交于点O，交的延长线于点E，若， ，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】作于点F，由矩形的性质可得，．由，可得四边形是平行四边形，则可得，进而可得，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 ∵四边形是平行四边形， ，，，，， ， 作于点F， 则， 是的中位线， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴． 故选A． 4．（2024·山东菏泽·二模）如图，菱形的边长为，，是的中点，是对角线上一点，则的长为(　　) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，勾股定理，取的中点，连接，由中位线性质可得，再根据，可得出，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示：取的中点，连接， ， 点是中点， 是的中位线， ，， ，四边形是菱形， ，， ， ， ∴ 故选：C． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．先求出，再根据平移性质得，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由平移性质得， ∴点D，之间的距离为， 故选：D． 二、填空题 6．（2024·福建泉州·三模）在菱形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形对角线平分且垂直，结合勾股定理列式运算求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形，对角线交于点O，以为边向外作等边，连接交于点F，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形中角的计算，解题关键是找准等腰三角形． 先求出的度数，然后根据等边对等角可以得出的度数，根据三角形的外角定理得出的度数即可解题． 【详解】∵正方形, 等边, ∴,，， ∴, ∴, ∴. 故答案为:． 8．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，在菱形中，，点以的速度沿边由A向B匀速运动，同时点F以的速度沿边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点运动 秒时，为等边三角形． 【答案】6 【分析】连接．易证，即可推出，列出方程即可解决问题． 【详解】解：连接．如图： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（2024·江西·二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．图1 是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2 是由该七巧板拼摆成的“叶问蹬”图，其中点C，D分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是 ． 【答案】 【分析】此题考查了七巧板中的图形的构成和等腰直角三角形的性质，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键． 过点G作，过点C作，根据等腰直角三角形的性质分别求出，，，的长度，然后相加即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点C作 ∵图1中正方形的边长为4 ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵点D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵图1中正方形的边长为4 ∴， ∵点C是的中点 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点 A到的距离 ∴图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解题的关键． 分“，点在点的左侧时”和“时”和“，点在点的右侧时”三种情况讨论，过点作轴于点，根据坐标与图形、利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，，点是的中点， ∴，，， 如图，，点在点的左侧时， 过点作轴于点，则． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴此时点坐标为； 如图，时， 过点作轴于点，则． 在中，由勾股定理得：， ∴此时点坐标为； 如图，，点在点的右侧时， 过点作轴于点，则． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴此时点坐标为． 综上所述，点的坐标为或或； 故答案为：或或． 三、解答题 11．（2024·广东东莞·三模）如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)①当平行四边形是__________形时，四边形是菱形； ②当平行四边形是__________形时，四边形是矩形． 【答案】(1)四边形为平行四边形．理由见解析 (2)①矩；②菱 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，，则可得出结论； （2）①由菱形的判定可得出结论．②由矩形的判定可得结论． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形． 理由：四边形为平行四边形， ，， 以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ，， 四边形为平行四边形； （2）①当是矩形时，四边形是菱形 ，理由如下： ∵是矩形， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形 ， ∴四边形是菱形． ②当是菱形时，四边形是矩形 ，理由如下： ∵是菱形， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形 ， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论； （2）由菱形的性质可得,，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，计算出的长，最后再由勾股定理计算出AE的长即可． 【详解】（1）证明: ∵四边形是菱形, ∴且, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形, ∴,, ∵, ∴, ∴, ，即， ， ． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再根据列方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）∵，平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴, 解得，． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． (1)证明：． (2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． (3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； （3）连接，由（2）可知：，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又点分别为的中点， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：过点作交于点，交于点． 四边形是平行四边形 ， ， ； （3）连接，由折叠可知 由（2）可知 点是的中点， 在Rt中，由勾股定理得 的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为 (2)或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； （2）解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$