专题05 平行四边形期末复习题型【七大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题05 平行四边形期末复习之七大题型 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 1 【题型二 判断能否构成平行四边形】 4 【题型三 添一个条件成为平行四边形】 7 【题型四 平行四边形中的折叠问题】 9 【题型五 利用平行四边形的性质作图】 13 【题型六 利用平行四边形的性质与判定综合】 18 【题型七 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 23 【过关检测卷】 28 【期末题型】 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（22-23八年级下·广东江门·期末）在平行四边形中，点在边上，且平分，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长是 ． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t= 时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【题型二 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【题型三 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    2．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【题型四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．    2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．    3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【题型五 利用平行四边形的性质作图】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得． (2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹） (3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．    (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，，若，，，求四边形的面积． 2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．    (1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）； (2)证明． 3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 【题型六 利用平行四边形的性质与判定综合】 例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．    (1)若，求的度数； (2)探索，和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【题型七 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．    3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作． (1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级下·广西梧州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则等于(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发，沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则的面积为（    ）    A． B． C．60 D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·福建三明·期末）如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．    7．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，平行四边形的周长是，其对角线，相交于点，过点的直线分别与、相交于点、，且，则四边形的周长是 ．    8．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为 ．    9．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，已知：平行四边形中，于，，，的平分线交于，连接．则的度数等于 ．    10．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知平面内有两点，P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标是 ． 三、解答题 11．（22-23八年级下·广西河池·期末）如图，已知，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 12．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，为边上一点，．    (1)用直尺和圆规作的平分线，分别交，于点和；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，求的度数． 13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 14．（17-18八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (2)当 时，的面积与四边形的面积相等； (3)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 15．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，于，于，交于．    (1)求证：： (2)如图2，平行四边形外部有一点，连接，满足，，求证：； (3)如图3，在上有一点，连接，将绕着点顺时针旋转得，连接点为的中点，连接若，，当最小时，直接写出线段的长度． 16．（22-23八年级下·四川雅安·期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．    (1)试探究四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的长； (3)如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M． ①试探究的形状，并说明理由； ②若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形期末复习之七大题型 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 1 【题型二 判断能否构成平行四边形】 4 【题型三 添一个条件成为平行四边形】 7 【题型四 平行四边形中的折叠问题】 9 【题型五 利用平行四边形的性质作图】 13 【题型六 利用平行四边形的性质与判定综合】 18 【题型七 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 23 【过关检测卷】 28 【期末题型】 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（22-23八年级下·广东江门·期末）在平行四边形中，点在边上，且平分，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，角平分线的定义，证明，，而，可得，，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，而， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，在平行四边形中，平分，，则平行四边形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是关键．由在平行四边形中，平分，易证得是等腰三角形，继而求得的长，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长是：． 故答案为：24． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的定义，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据垂直平分可得，，根据勾股定理求出，再证，推出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：中，， ， 由题意知 垂直平分， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t= 时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】2或6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，分两种情况：当为平行四边形的边时，由列出方程可求出t；当为平行四边形的对角线，由列出方程可求出t． 【详解】解：由题意知，可分两种情况： ①当为平行四边形的边，则P在D点左侧，， ∵， ∴， 解得； ②当为平行四边形的对角线，P在D点右侧，， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为：2或6． 【题型二 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不合题意； C、，，不能判断这个四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误，符合题意； C、∵，∴，又∵，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D、，根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ； ； ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又∵， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 【题型三 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键． 直接利用平行四边形的判定方法得出时四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，A、C分别为边、上的点，请在目前图形中添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．    【答案】 【分析】在中可得,即，添加，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：添加条件， 四边形是平行四边形， ， 即， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键． 2．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【答案】或 【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】设点P运动了t秒， ∴，，，， ①当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴； ②当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴， 综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【题型四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键； 由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答； 【详解】四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 故答案为： 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为 ．    【答案】/110度 【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明，得，由翻折可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：设，交于点F，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 2．（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】设，由折叠的性质得，①，再根据平行线的性质得到②，，通过计算即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，    ∵， ∴， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 得，即， 由平角的性质得， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问题． 3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明； （2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可． 【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴∠AEF=∠CEF，AE=EC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AF=EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AE=AF， ∴四边形AFCE为菱形． （2）如图，作AG⊥BE于点G， 则∠AGB=∠AGE=90°， ∵点D的落点为点D′，折痕为EF， ∴D'F=DF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC． 又∵AF=EC， ∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE． ∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=， ∴AG=GB=6． ∵四边形AFCE为平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠AEB=∠FCE=60°． ∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴GE==， ∴BE=BG+GE=， ∴D′F=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键． 【题型五 利用平行四边形的性质作图】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得． (2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹） (3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质； （1）取的中点，连接即可； （2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求； （3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，点即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形是平行四边形，连接．    (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法，即可解答； （2）证明为直角三角形，再证明四边形的面积等于的面积，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求图形，    （2）解：，，， ， ， 根据，可得， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 跟上述同理，可得， 四边形为平行四边形， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．（22-23八年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，平分交延长线于点．    (1)请用尺规作图法作于（只保留作图痕迹）； (2)证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线即可； （2）由平行线的性质以及角平分线的性质可得，在根据等腰三角形的三线合一可求得． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握过直线外一点作已知直线的垂线以及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 （1）连接，由得，结合平行线的性质可得，进而可得平分，即即为所求； （2）连接交于点O，连接并延长交点F，连接，为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：即为所求．    【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 【题型六 利用平行四边形的性质与判定综合】 例题：（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，进而证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点C作于H，由平行四边形的性质得到，证明为的中位线，得到，再证明，求出，则，利用勾股定理求出则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点C作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．    (1)若，求的度数； (2)探索，和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，然后证明，进而可求出的度数； （2）连接，过点 E作交于点G，证明，可得，，则是等腰直角三角形，求出即可得出答案； （3）证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，然后可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）； 理由：如图，连接，过点 E作交于点G，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， 由（1）可知， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ， ； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角的和差计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ； （2）证明：四边形为平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形为平行四边形； （3）如图，连接，，， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 【题型七 三角形的中位线与平行四边形的综合问题】 例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， 点为中点， 点为边的中点， 为的中位线， ． 故答案为：3 3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作． (1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形；理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，，由题意可知，可证得，进而可知，即可证得四边形是平行四边形； （2）延长，交于，取中点，连接，由平行线的性质可得，，由题意可知为的中位线，先证四边形为平行四边形，可得，进而证得，即可证明，可得，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 延长，交于，取中点，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，，即 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级下·广西梧州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一进行判断即可． 【详解】A、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则等于(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得，则有；再由角平分线知，由此即可得，由平行四边形的周长即可求解；关键是由平行四边形的性质及角平分线的定义得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的周长是26， ∴， 即， ∴， ∴； 故选：C． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明，可得，然后利用勾股定理可得求出的长，进而可得的值． 【详解】解：如图，作于点F， ∵点E是边上的中点， ∴， 由折叠可知：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， 在和中， 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴=， ∴， 故选D． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是(   )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵， ∴直角三角形中斜边最长，即， 故③错误； ∵， ∴平分，， ∴； 故⑤正确； 在中，， ∴； ∵， ∴ 故④正确； 故正确的有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键． 5．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发，沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则的面积为（    ）    A． B． C．60 D． 【答案】B 【分析】图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，解出，的面积，可得结论． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， 解得， 在中，，， ， 解得， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是确定对应关系：点对点，点对点，点对点，当点到点时，图2的点的纵坐标表示的意义：（点的纵坐标）． 二、填空题 6．（22-23八年级下·福建三明·期末）如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．    【答案】6 【分析】求出，则，再由，即可得出结论． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，证出是解题的关键． 7．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，平行四边形的周长是，其对角线，相交于点，过点的直线分别与、相交于点、，且，则四边形的周长是 ．    【答案】7 【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用求证，即可得出答案． 【详解】解：平行四边形的对角线，交于点， ，， ， 在和中， ， 故 ． 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 8．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为 ．    【答案】20 【分析】根据平行四边形的性质：邻角互补可求出的度数，进而得到的度数，再根据四边形的内角和为，可求出的度数，所以可求，即为旋转角的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、四边形的内角和定理，题目的综合性较强，难度中等． 9．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，已知：平行四边形中，于，，，的平分线交于，连接．则的度数等于 ．    【答案】/45度 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，求得，于是得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知平面内有两点，P点在y轴上，M点在直线上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】设，分别以为平行四边形的对角线，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意，设：， ∵以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形， ①当为对角线时：，解得：， ∴； ②当为对角线时：，解得：， ∴； ③当为对角线时：，解得：， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，以及中点坐标公式，是解题的关键，注意，分类讨论． 三、解答题 11．（22-23八年级下·广西河池·期末）如图，已知，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质证得，进而利用角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边证得结论； （2）先根据平行四边形的性质和平行线的性质求得，再等量代换可得到，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，又， ∴． ∴． 12．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，为边上一点，．    (1)用直尺和圆规作的平分线，分别交，于点和；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角平分线的基本作法作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求；      （2）四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质、平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）根据，求出的长即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，有， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在中，有， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识及运用数学结合思想． 14．（17-18八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (2)当 时，的面积与四边形的面积相等； (3)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)2秒或秒 【分析】（1）作于M，根据30度角的性质得到，利用勾股定理求出，由三角形面积公式计算即可； （2）由题意得：，则，根据面积公式列式可求； （3）由，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，分两种情况：①当Q运动到E和B之间，则得：②当Q运动到E和C之间，分别列方程求解． 【详解】（1）作于M，如图所示：则，    ∵， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴的面积为， 即； （2）由题意得：，则， ∵， ∴四边形的面积， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， 解得：， 即时，的面积与四边形的面积相等； 故答案为：； （3）∵，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵E是的中点， ∴， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得： ， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了动点问题，直角三角形30度角的性质，一次函数，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，勾股定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 15．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，于，于，交于．    (1)求证：： (2)如图2，平行四边形外部有一点，连接，满足，，求证：； (3)如图3，在上有一点，连接，将绕着点顺时针旋转得，连接点为的中点，连接若，，当最小时，直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而得到，进而得到，即，由同角的余角相等可得，由“”可证； （2）作于，作于，设与于点，连接，证明，从而得出，进而证得，从而得出，进一步证明得出结论； （3）作于交于，证明点在上运动，证得当点在时，最小，进而求得结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：作于，作于，设与于点，连接，     ， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ； （3）解：如图，连接，，作于交于，连接， ， 将绕着点顺时针旋转得到， ， ， 点在的平分线上运动， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， ， ， 将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 即点在上运动， 当点与重合时，有最小值， 点为的中点， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，确定点的轨迹是解题的关键． 16．（22-23八年级下·四川雅安·期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．    (1)试探究四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的长； (3)如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M． ①试探究的形状，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) (3)①等腰直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）根据角平分线得，利用平行四边形的性质推出，得，同理得，进而得到，由此得四边形是平行四边形； （2）过点A作于点P，得四边形是平行四边形，推出，设+在中，根据勾股定理求出x即可； （3）① 根据平行四边形的性质得，由此得到，由翻折可得，由此求出，由翻折可知从而证得是等腰直角三角形； ②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，证得和是等腰直角三角形， ，则，在中，根据勾股定理求得，再求出． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由： ∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 同理： ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点A作于点P，    ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形 设则 ∴ 在 ∴ ； （3）①解：是等腰直角三角形，理由： ∵分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ 由翻折可知 ∴ ∵ 由 ∵ ∴ 是等腰直角三角形； ②解：过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， 设 ∴ 在 ∴ 在 ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 在 ∴ ∴ ∵ ．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． 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