专题04 反比例函数期末复习题型【七大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题04 反比例函数期末复习之七大题型 目录 【题型一 反比例函数的定义】 1 【题型二 反比例函数的图象和性质】 2 【题型三 反比例函数与K值的几何意义】 4 【题型四 一次函数与反比例函数图象共存问题】 9 【题型五 一次函数与反比例函数交点问题】 11 【题型六 利用反比例函数解决实际问题】 16 【题型七 反比例函数与几何图形的综合问题】 20 【过关检测卷】 25 【期末题型】 【题型一 反比例函数的定义】 例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列关系式中，是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 反比例函数的图象和性质】 例题：（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东威海·期末）若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是(   ) A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【题型三 反比例函数与K值的几何意义】 例题：（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图, 正方形的顶点 的坐标为， 点 在反比例函数 的图象上， 点在反比例函数 的图象上，的中点在轴上，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，若，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为 ； （2）若的面积为，则 ． 【题型四 一次函数与反比例函数图象共存问题】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（　 　） A．  B．  C．  D．   【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（    ） A．  B．  C． D．   【题型五 一次函数与反比例函数交点问题】 例题：（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 2．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知正比例函数图象经过点， (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若，求反比例函数的解析式； (3)在第（2）小题的前提下，连接，试判断的形状，并说明理由． 【题型六 利用反比例函数解决实际问题】 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式； (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？ 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： 10 15 20 25 30 30 20 15 12 10 图①                     图② (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？ 【题型七 反比例函数与几何图形的综合问题】 例题：（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知四边形是矩形，反比例函数和一次函数的图象交于点，且点分别在上． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)请判断反比例函数的图象是否经过矩形的中心，并说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图像经过（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，y随x的增大而增大 4．（23-24九年级上·福建·期末）在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则点的坐标为 ． 7．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·山东日照·期末）在反比例函数图象上有两点、，，，则m的取值范围是 ． 9．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    10．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知：反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点都在该反比例函数的图象上，试比较大小． 12．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数与一次函数的图象都过． (1)求A点坐标； (2)若点在反比例函数的图象上，求m的值． 13．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，轴，垂足为． (1)求m，n的值； (2)求的长． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)观察图象，当时，请直接写出的取值范围； (3)求的面积． 15．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，直线交x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，且，以OB，OC为边作矩形ABOC，反比例函数的图象经过点A，CA的延长线交直线于点D．    (1)求反比例函数的解析式； (2)若点F在x轴上，且，求点F的坐标． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，一次函数经过的中点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上． 17．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．    (1)若，求的值； (2)若，求反比例函数关系式． 18．（20-21八年级下·四川资阳·期末）如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点． (1)求直线的解析式 (2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标； (3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数期末复习之七大题型 目录 【题型一 反比例函数的定义】 1 【题型二 反比例函数的图象和性质】 2 【题型三 反比例函数与K值的几何意义】 4 【题型四 一次函数与反比例函数图象共存问题】 9 【题型五 一次函数与反比例函数交点问题】 11 【题型六 利用反比例函数解决实际问题】 16 【题型七 反比例函数与几何图形的综合问题】 20 【过关检测卷】 25 【期末题型】 【题型一 反比例函数的定义】 例题：（23-24九年级上·陕西西安·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，是反比例函数，故该选项符合题意； B． ，是正比例函数，故该选项不符合题意；     C． ，是正比例函数，故该选项不符合题意； D． ，不是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、 是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是正比例函数，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列关系式中，是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：由反比例函数的定义可知，B选项符合题意； 故选：B 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是的反比例函数，不符合题意； B、，，y是x的反比例函数，符合题意； C、，y不是x的反比例函数，不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，不符合题意； 故选：B． 【题型二 反比例函数的图象和性质】 例题：（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 【详解】A．当代入，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴若，则，故结论正确，选项B不符合题意； C．∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项C符合题意； D．∵反比例函数， ∴该函数图象位于第二、四象限，故结论正确，选项D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．利用，在图象的每一支上，随的增大而减小，双曲线在第一三象限，分别分析即可得出答案． 【详解】解：， 双曲线在第一三象限，在图象的每一支上，随的增大而减小， ， ， 在第三象限， ， ， 故选：C． 3．（22-23九年级上·山东威海·期末）若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是(   ) A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴图象位于第二、四象限；故A错误； 点不在该函数图象上；故B错误； 当时，y随x的增大而增大，故C正确； 当时，或；故D错误； 故选：C 【题型三 反比例函数与K值的几何意义】 例题：（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵图像位于第二象限内， ∴， ∴该反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图, 正方形的顶点 的坐标为， 点 在反比例函数 的图象上， 点在反比例函数 的图象上，的中点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，作轴，轴，设，证得即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图所示： 设 ∵的中点在轴上， ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： 解得： 故答案为： 2．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数的几何意义是解决本题的关键．连接、，根据反比例函数中系数的几何意义，利用从而求得可得结果． 【详解】解：如图：连接、， ∵轴 ∴ ∵， ∴ ∴反比例函数中，． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为 ； （2）若的面积为，则 ． 【答案】 5 2 【分析】（1）根据点A和点B在反比例函数图象上，即可得到； （2）根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：（1）∵点和在反比例函数（）的图象上， ∴， 故答案为：5 （2）∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【题型四 一次函数与反比例函数图象共存问题】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（　 　） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：若，， 则经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限， 若，， 则经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限， 若，， 则经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限， 若，， 则经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题． 【详解】解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意； 当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（    ） A．  B．  C． D．   【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不合题意； B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不合题意； C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不合题意． 故选：C． 【题型五 一次函数与反比例函数交点问题】 例题：（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定的长度， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，即可求解．， 【详解】（1）在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得： 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或； （3）设点P的坐标为， 则， ， 解得：或， 点P的坐标或 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）本题考查了一次函数和反比例函数的求法，解题的关键是求出B点坐标，利用待定系数法即可求得； （2）本题考查了三角形面积的求法，解题的关键是求出直线与x轴的交点； （3）本题考查了函数的性质，解题的关键是利用函数图象的性质． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 当时，， ， 将，代入得，， 解得：， ； （2）如下图，直线与x轴相交与点C， 把代入得，，解得：， ， ； （3）如下图，由图象可得：当时，． 2．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知正比例函数图象经过点， (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若，求反比例函数的解析式； (3)在第（2）小题的前提下，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入可得其解析式，再利用正比例函数的性质可得m的值； （2）设反比例函数的解析式为，再求解，，再建立方程求解即可； （3）由，，，求解，再利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴正比例函数的解析式为把代入解析式得． （2）∵轴， ∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3， 设反比例函数的解析式为，分别代入得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （3）是等腰直角三角形． 理由如下：由（2）得：，，， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形，勾股定理的逆定理的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 【题型六 利用反比例函数解决实际问题】 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式； (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键： （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出x的值即为需要等待的时间． 【详解】（1）解：∵整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温y， ∵其图象过点， ∴， 解得， ∴在水温下降过程中，； （2）解：依题意，令，得， 解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： 10 15 20 25 30 30 20 15 12 10 图①                     图② (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解解析式是解题关键． （1）描点，连线即可作图； （2）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，设，把，代入即可求解； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：描点，连线如图所示： （2）解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数， 设， 把，代入得， ，将其余各点代入验证均适合， 与的函数关系式为； （3）解：把代入， 得， 当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是． 【题型七 反比例函数与几何图形的综合问题】 例题：（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知四边形是矩形，反比例函数和一次函数的图象交于点，且点分别在上． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)请判断反比例函数的图象是否经过矩形的中心，并说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)经过，理由见解析； (3)或． 【分析】（）用待定系数法求函数的解析式即可； （）求出，根据矩形的性质可得的中点为，再代入反比例函数的表达式计算即可判断是否在反比例函数图象上； （）根据直线图象在反比例函数图象上方的部分即为所求即可； 本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入中，得， ∴， 将点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：反比例函数的图象经过矩形的中心，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， ∴的中点为， 将点代入，得， ∴反比例函数的图象经过矩形的中心； （3）解：由图可得或． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．    (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，连接，求出的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由中点坐标公式求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解的表达式； （2）先求出点B的坐标，再求出点E的坐标，然后用割补法求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由菱形的性质知，点M是A，C的中点， ∵，， 由中点坐标公式，， 则， ， 即点， 将点代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数的表达式为：； （2）解：过E作于点H，交y轴于点P，如图所示：    设， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴，即， 设的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 则的解析式为， 联立①②式，即， 解得（舍去），， 即 那么． 【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示． (1)如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2）根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可． 【详解】（1）正方形的边长为4，，交于点， ， 点是的中点， ， 将点坐标代入双曲线， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）正方形边长为4， 由（1）知， ， ①当时， ，，，点、在反比例函数图象上， ， ； ②当时，点与点重合， ，，点、在反比例函数图象上， ， ； ③当时，点、不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的的值为2或． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图像经过（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象和性质，将点代入反比例函数中求解，再根据反比例函数的图象和性质判断，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图像经过二、四象限． 故选：C． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据反比例函数的定义：形如的函数称为反比例函数，回答即可． 【详解】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意； B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意； D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、因为，此选项正确，故不符合题意； B、当，y随x的增大而增大，此选项错误，故符合题意； C、，该函数图像位于第二、四象限，此选项正确，故不符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，此选项正确，故不符合题意， 故选：B． 4．（23-24九年级上·福建·期末）在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小．掌握反比例函数的增减性，利用增减性判断函数值大小，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴双曲线在二，四象限，且在每一个象限内，随值的增大而增大， ∵点，，在双曲线上，且， ∴； 故选：D． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象分布，正确掌握图象分布的规律是解题的关键． 【详解】根据题意，一次函数得图象分布在第一，第三，第四象限，反比例函数的图象分别在第一，第三象限， 故选C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是先根据正比例函数求出A点坐标，再利用A点坐标求出反比例函数的解析式，联立方程即可． 【详解】解：将代入正比例函数得，即，再将代入反比例函数得， 由题意得：， 解得：和， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）反比例函数的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象的一个分支在第三象限，可得，解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象的一个分支在第三象限， ， 解得， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山东日照·期末）在反比例函数图象上有两点、，，，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．由题意可得：双曲线在第一，三象限，反比例系数大于0，据此可列出不等式，求解即可． 【详解】解：当，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解答本题的关键．先求出，利用勾股定理求出，然后利用矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 10．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据即可求出k的值． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知： 的面积为：， ∵的面积为3， ∴的面积为：， 即：， 解得：， 故答案为：2． 三、解答题 11．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知：反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点都在该反比例函数的图象上，试比较大小． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式求出的值即可得到答案； （2）把点，代入反比例函数解析式，求出，的值，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数图象经过， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：点是反比例函数图象上两点， 当时，， 当时，， ， ． 12．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数与一次函数的图象都过． (1)求A点坐标； (2)若点在反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)m的值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）直接把点A坐标代入一次函数解析式中求出a的值即可得到答案； （2）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）将点代入得：， ∴反比例函数解析式为． 把代入得：． ∴m的值为． 13．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，轴，垂足为． (1)求m，n的值； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）先把代入求出，得，再代入即可； （2）分别求出点A，C的坐标即可求出结论． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴，点的坐标为． ∵点在的图象上， ∴． （2）解：∵轴，垂足为， ∴，点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ∴． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)观察图象，当时，请直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较反比例函数与一次函数的大小，根据反比例函数图象与一次函数图象的交点求三角形的面积，掌握待定系数法和利用图象比较函数大小的方法是解题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数的解析式求出，再把点的坐标代入一次函数的解析式，建立方程求解即可； （2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可； （3）设直线与轴交于点，则，再确定每个三角形的底和高，计算即可． 【详解】（1）解：把点分别代入， 得， ∴． 把代入，得， 解得 所以一次函数的表达式为． （2）解：在轴的左侧，当时，； 在轴的右侧，当时，； ∴当时，或． （3）解：设直线与轴交于点， 当时，由，解得， ∴． ∴． ． 15．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，直线交x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，且，以OB，OC为边作矩形ABOC，反比例函数的图象经过点A，CA的延长线交直线于点D．    (1)求反比例函数的解析式； (2)若点F在x轴上，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，以及勾股定理的运用： （1）先求出点的坐标，再根据矩形的性质求出点的坐标，最后求出反比例函数的解析式； （2）根据A点的坐标求出D点的坐标，再求出的长度，最后再根据勾股定理求出的长度，从而求出F点的坐标． 【详解】（1）解：当时，，解得：，∴，即， ∵，∴，由矩形ABOC性质知，， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴ （2）解：    当时，，解得．∴则点，∴， ∵，∴在中，， ∵点B的坐标为，∴或． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，一次函数经过的中点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上． 【答案】(1)； (2)E点在双曲线上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式质以及旋转的性质等知识，确定点坐标是解题的关键． （1）设点,点，再根据正方形的性质易求得的值，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据正方形的边长和旋转可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可判断． 【详解】（1）解: 四边形是正方形, ∴， 设点, ∵点是的中点， ∴点， ∴，即， ，即， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式， （2）解：如图：是绕点A顺时针旋转所得， ∴，， ∴点的坐标是， 当时，， ∴点在双曲线上． 17．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．    (1)若，求的值； (2)若，求反比例函数关系式． 【答案】(1)28 (2) 【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 ,然后把 点坐标代入 ,可求得 的值; （2）利用勾股定理计算出 ,则 5 ，所以 ， 设 ，则 , ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 ，解得 ，从而得到反比例函数解析式为 ； 【详解】（1）矩形的顶点在轴的正半轴上，， ， 对角线相交于点， 点为的中点， 如图，过作于点，则为的中点，    易得点的坐标为，把代人，得． （2） ， ， 设，则， 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质 18．（20-21八年级下·四川资阳·期末）如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点． (1)求直线的解析式 (2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标； (3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）由菱形的性质，得到，即当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可； （3）先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段上运动时，即时；当点N在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴点A为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点B的坐标为：； 设直线为， ∴， 解得， ∴直线的解析式； （2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图 ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点C是点O关于的对称点， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即当时，有最小值， ∵点C是点A向右平移5个单位得到， ∴点C的坐标为：， 把代入，则， ∴点P的坐标为：； （3）如图， 在函数中，令，， ∴点D为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 当点N在线段AC上运动时，即时， ； 当点N在线段CB上运动时，即时， ； ∴S与t的函数关系式为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$