专题01 分式与分式方程期末真题汇编【十七大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年八年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题01 分式与分式方程期末真题汇编之十七大题型 目录 【题型一 分式、最简分式、分式方程的定义】 1 【题型二 分式有无意义及分式的值为0】 3 【题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 5 【题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值】 7 【题型五 求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 8 【题型六 分式加减乘除混合运算】 10 【题型七 分式化简求值】 14 【题型八 与分式有关的新定义型问题】 16 【题型九 解分式方程】 21 【题型十 根据分式方程有增根求参数】 24 【题型十一 根据分式方程有无解求参数】 26 【题型十二 根据分式方程根的情况求参数的范围】 27 【题型十三 不等式组与分式方程综合的参数问题】 29 【题型十四 与分式、分式方程有关的规律探究问题】 32 【题型十五 不等式与分式方程的实际问题】 38 【题型十六 科学记数法表示小于1的数】 41 【题型十七 零指数幂与负整数整数幂】 43 【过关检测卷】 45 【期末题型】 【题型一 分式、最简分式、分式方程的定义】 例题1：（23-24八年级上·江西南昌·期末）下列各式：，，，，其中分式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例题2：（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题3：（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南开封·期末）式子，，，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 分式有无意义及分式的值为0】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【变式训练】 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 【题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 例题：（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 2．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列运算中，错误的是                                                   （　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川广元·期末）若将分式 中的a和b都扩大到原来的3 倍，那么分式的值（        ） A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ． 【题型五 求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 例题：（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 2．（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围 ． 【题型六 分式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·吉林延边·期末）数学老师批改作业时发现了一位同学分式计算错了，该同学解答过程如下： 解：原式……………………（第一步） …………………………（第二步） ………………………………（第三步） ……………………………（第四步） …………………………………………………（第五步） (1)这位同学的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确解答过程． 3．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 ……………………第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于______；（填“整式乘法”或“因式分解”） ②以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______； ③第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是____________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______． 【题型七 分式化简求值】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南德宏·期末）先化简，再求值，其中满足． 2．（23-24八年级上·广西贵港·期末）先化简，再求值：，从中选择一个合适的数代入． 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值． 【题型八 与分式有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“3阶分式”． (1)分式与___________互为“6阶分式”． (2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________（不用写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【题型九 解分式方程】 例题：（23-24八年级上·湖北孝感·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）解方程． (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）解分式方程： (1)． (2)． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【题型十 根据分式方程有增根求参数】 例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ． 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）若关于x的分式方程有增根，那么m= ． 【题型十一 根据分式方程有无解求参数】 例题：（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为 ． 2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【题型十二 根据分式方程根的情况求参数的范围】 例题：（23-24八年级上·四川凉山·期末）分式方程的解是非负数，则的取值范围为 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【题型十三 不等式组与分式方程综合的参数问题】 例题：（23-24八年级上·河南周口·期末）若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【题型十四 与分式、分式方程有关的规律探究问题】 例题1：（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题： (1)若，分别求、的值； (2)根据（1）中的规律，求的值． 例题2：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个：______． …… (2)观察、归纳，发现规律，得出猜想： 第n个等式可以表示为：______（n为正整数）． (3)证明（2）中的猜想． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【题型十五 不等式与分式方程的实际问题】 例题：（23-24八年级上·湖北随州·期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍． (1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？ 2．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 【题型十六 科学记数法表示小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【题型十七 零指数幂与负整数整数幂】 例题：（22-23八年级下·四川乐山·期末）计算：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）空气的密度为，这个数用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（    ） A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的 C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍 4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 二、填空题 6．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 7．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ． 8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 9．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 10．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 12．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）解方程： (1)； (2) 13．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）先化简再求值，其中． 14．（23-24八年级上·山东东营·期末）（1）解方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 15．（23-24八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同． (1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？ (2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式． 16．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式与分式方程期末真题汇编之十七大题型 目录 【题型一 分式、最简分式、分式方程的定义】 1 【题型二 分式有无意义及分式的值为0】 3 【题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 5 【题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值】 7 【题型五 求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 8 【题型六 分式加减乘除混合运算】 10 【题型七 分式化简求值】 14 【题型八 与分式有关的新定义型问题】 16 【题型九 解分式方程】 21 【题型十 根据分式方程有增根求参数】 24 【题型十一 根据分式方程有无解求参数】 26 【题型十二 根据分式方程根的情况求参数的范围】 27 【题型十三 不等式组与分式方程综合的参数问题】 29 【题型十四 与分式、分式方程有关的规律探究问题】 32 【题型十五 不等式与分式方程的实际问题】 38 【题型十六 科学记数法表示小于1的数】 41 【题型十七 零指数幂与负整数整数幂】 43 【过关检测卷】 45 【期末题型】 【题型一 分式、最简分式、分式方程的定义】 例题1：（23-24八年级上·江西南昌·期末）下列各式：，，，，其中分式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式； 【详解】解：是分式的只有： 故选：B． 例题2：（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：是最简分式，符合题意； ，不是最简分式，不符合题意； 是最简分式，符合题意； 不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 例题3：（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A.该方程是一元一次方程，不符合； B.该方程是分式方程，符合； C.该方程是一元一次方程，不符合； D.该方程是二元一次方程，不符合； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南开封·期末）式子，，，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】解∶ 分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键． 根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意； D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意； C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 【题型二 分式有无意义及分式的值为0】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于0求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项C、D，然后把代入A、B选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，则分式，有意义，故排除选项C、D， 当时，，，故选项A符合题意，选项B不符合题意， 故选：A． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，平方的非负性．掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据当时，分式无意义可判断A；根据当时，分式无意义可判断B；根据当时，分式可判断C；根据平方的非负性可知，即无论x为何值，总有意义可判断D． 【详解】解：A．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意； B．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意； C．当时，分式，为正整数，故该选项错误，不符合题意； D．因为无论x为何值，即， 所以分式总有意义，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 例题：（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，做题的根据是看是否符合分式的基本性质，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0． 根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案． 【详解】A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误； B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能为0，故选项B错误； C符合分式的基本性质，故选项C正确． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质．将x，y都扩大为原来的2倍，再进行化简约分，即可得出结果．掌握分式的性质，是解题的关键． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍， 则：， ∴分式的值扩大为原来的2倍； 故选B． 2．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列运算中，错误的是                                                   （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 3．（23-24八年级上·四川广元·期末）若将分式 中的a和b都扩大到原来的3 倍，那么分式的值（        ） A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：B． 【题型四 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴所有满足的整数x的值的和为， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ． 【答案】8 【分析】化简得到，根据题意得到或7，即可得到答案． 【详解】解：， ∵代数式的值也是整数，为大于1的正整数， ∴或7， 当时，， 当时，， ∴可取的最大整数值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键． 【题型五 求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 例题：（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 2．（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 【题型六 分式加减乘除混合运算】 例题：（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先通分，在计算减法，最后约分即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简运算，熟练掌握分式的化简运算是解答本题的关键． （1）同分母分式相加，分母不变，分子相加； （2）括号内先通分，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 【详解】（1）原式， （2）原式 2．（23-24八年级上·吉林延边·期末）数学老师批改作业时发现了一位同学分式计算错了，该同学解答过程如下： 解：原式……………………（第一步） …………………………（第二步） ………………………………（第三步） ……………………………（第四步） …………………………………………………（第五步） (1)这位同学的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确解答过程． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则． （1）根据变形的结果可得答案；添括号出现错误； （2）根据分式的混合运算法则进行化简即可； 【详解】（1）解： ∴这位同学的解答从第一步开始出现错误， 故答案为一 （2）解： 3．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 ……………………第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于______；（填“整式乘法”或“因式分解”） ②以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______； ③第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是____________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______． 【答案】任务一：①因式分解；②三，分式的基本性质；③四，括号前面是负号，去括号时，后两项没变号；任务二： 【分析】任务一： ①根据变形的结果可得答案； ②由通分的依据是分式的基本性质可得答案； ③由去括号的法则可得答案； 任务二：先计算括号内的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果． 【详解】解：任务一： ①化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于因式分解， 故答案为：因式分解； ②化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质； 故答案为：三，分式的基本性质； ③第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：括号前面是负号，去括号时，后两项没变号； 故答案为：四，括号前面是负号，去括号时，后两项没变号； 任务二： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟记运算法则并灵活应用是解本题的关键． 【题型七 分式化简求值】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合计算与化简求值，准确地计算是解题的关键． 先将分式化简，然后再代入求值即可． 【详解】 将代入，得 原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南德宏·期末）先化简，再求值，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ． 满足 当时，则原式 2．（23-24八年级上·广西贵港·期末）先化简，再求值：，从中选择一个合适的数代入． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，将分数化简为，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ． ∵，， ∴当时原式． 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，涉及异分母减法运算、通分、因式分解、约分及分式乘除运算等知识，先运用分式混合运算化简，再由分式有意义的条件选取值，代入求解即可得到答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件可知，且，则当时，原式． 【题型八 与分式有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”． 例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． (1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ (2)小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为，又因为都不为0， 所以，所以， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【答案】(1)不是“互为关联分式” (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，分式的加减计算，分式的乘法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“3阶分式”． (1)分式与___________互为“6阶分式”． (2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键． （1）根据题中的新定义列出关系式，然后根据分式的加法进行通分计算即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将、进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断； 【详解】（1）∵， ∴分式与互为“6阶分式”． 故答案为： （2）证明：∵正数x，y互为倒数， ∴，即 ， ∴ 则分式与互为“5阶分式”； 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 【答案】(1)真； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真． （2）解：． （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________（不用写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)时，该式的值为整数 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）根据题干提供的信息进行化简即可； （3）先将分式变形为，根据x取整数，当或时，的值为整数，求出或或1或．根据当或1或时原分式无意义，得出． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解：． 故答案为：． （3）解： ， ∵x取整数， ∴当或时，的值为整数， 此时或或1或． 又∵当或1或时原分式无意义， ∴． ∴时，该式的值为整数． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算． 【题型九 解分式方程】 例题：（23-24八年级上·湖北孝感·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）根据分式方程的解法进行求解即可； （2）根据分式方程的解法可进行求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； （2）解： 解得：， 经检验：当是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）去分母，转化为整式方程，求解后，检验即可； （2）去分母，转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为； （2）方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程无解． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1） 整理得： 去分母，得： 去括号，得 移项，合并同类项得 将系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． （2） 去分母，得： 去括号，得 移项，合并同类项得 将系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 【题型十 根据分式方程有增根求参数】 例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值． 【详解】解：∵方程会产生增根， ∴， 解得：， 原方程去分母得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【详解】方程两边同时乘以得： 即， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 将代入得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程有增根的意义是解题的关键．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 将代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）若关于x的分式方程有增根，那么m= ． 【答案】6或 【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程的解，再根据关于的分式方程有增根，从而可以求得的值． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴或， 解得：或， 故答案为：6或． 【点睛】本题考查分式方程的增根，解答本题的关键是明确分式方程的增根的定义，利用分式方程的增根的定义解答． 【题型十一 根据分式方程有无解求参数】 例题：（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】或/或1 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解：去分母并整理得（）， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则（），即或， 把代入整式方程，的值不存在， 把代入整式方程，得． 综合①②得或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解： ， ， ∵关于x的方程无解， ∴或， ∴或， ∴． 故答案为 2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．解分式方程得，由题意得或，从而求出m的值． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴或， ∴ ∴或， 故答案为2或6 【题型十二 根据分式方程根的情况求参数的范围】 例题：（23-24八年级上·四川凉山·期末）分式方程的解是非负数，则的取值范围为 【答案】，且 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确得出方程的解，并注意增根的情形是解题的关键； 先把分式方程化为整式方程，在求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可． 【详解】 ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：， m的取值范围是且． 故答案为：且． 2．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程，根据分式方程的解，可知，且． 【详解】解关于的分式方程，得 根据题意，得 ，且 解得 且 故答案为：且 【题型十三 不等式组与分式方程综合的参数问题】 例题：（23-24八年级上·河南周口·期末）若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（组）等知识，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式（组）的方法是解题的关键．根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围；解分式方程可且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 可得 ， ∵该不等式组有解， ∴，解得， 解分式方程， 可得，且， ∵为整数，且分式方程有正整数解， ∴的值为9，12，15， ∵， ∴满足条件的所有整数的和为36． 故答案为：36． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】8 【分析】 本题主要考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解以及解分式方程． 由关于x的一元一次不等式组的解集为，可得，由关于y的分式方程有非负数解，可得且，从而满足条件的所有整数a，再求它们的和即可得出答案． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解分式方程，得， ∵该分式方程有非负数解， ∴当时，且 ∴且， ∴且， ∴满足条件的所有整数a为：，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：8 2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到a的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围求得a的可能值即可． 【详解】解： 由，解得， 由，解得， 则不等式方程组的解为，， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴，解得， 去分母得，， 去括号、移项得，， 系数化为1得，， ∵为分式方程的增根， ∴，解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴当时，； 当时，，舍去； 当时，舍去； 当时，； 则所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 【题型十四 与分式、分式方程有关的规律探究问题】 例题1：（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题： (1)若，分别求、的值； (2)根据（1）中的规律，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查找规律，涉及异分母分式加减运算、解方程组等知识，读懂题意，准确找到规律是解决问题的关键． （1）通分，将化为同分母得分式运算，根据等式关系列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中规律，由将式子各部分表示成“部分分式”，消去中间项即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：由（1）中可得 ． 例题2：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个：______． …… (2)观察、归纳，发现规律，得出猜想： 第n个等式可以表示为：______（n为正整数）． (3)证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了分式的规律探索，分式加减运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据前4个等式的规律即可得； （2）根据前5个等式，归纳类推出一般规律即可得； （3）根据分式的减法、二次根式的性质化简即可得证． 【详解】（1）解：第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个： ； 故答案为：． （2）解：归纳类推得：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ； 故答案为：． （3）证明：∵， ， ∴． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 【题型十五 不等式与分式方程的实际问题】 例题：（23-24八年级上·湖北随州·期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】(1)购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元 (2)该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，找出等量关系即可列出方程，或找到不等关系列出不等式： （1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据“用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”即可列出分式方程，求解后检验即可解答； （2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据“该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答． 【详解】（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴ 答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元． （2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．根据题意，得 ， 解得：， ∵n取整数， ∴n的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍． (1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？ 【答案】(1)小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； (2)大跳绳最多可购买根． 【分析】 本题考差了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用均为元，设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设大跳绳购买根，则小跳绳购买根，根据题意列一元一次不等式求解，最大整数解即为答案． 【详解】（1）解：由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用相同，均为元， 设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； （2）解：设大跳绳购买根，则小跳绳购买根， 由题意得：， 解得：， 可取的最大整数为， 答：大跳绳最多可购买根． 2．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， 或15或16， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩； 方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩； 方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买A型充电桩越多总费用越低， ∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少． 【题型十六 科学记数法表示小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，正确的确定的值，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型十七 零指数幂与负整数整数幂】 例题：（22-23八年级下·四川乐山·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据整数指数幂、零指数幂以及负整数指数幂分别进行解答即可得出答案． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的运算整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查负整数指数幂、零次幂及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂及有理数的乘方运算，然后计算加减法即可． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用乘方、零次幂、积的乘方化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可． 【详解】解：，形式为，且B中含有字母，是分式； ，形式为，但B中不含字母，不是分式； ，形式为，且B中不含有字母，不是分式； ，形式为，且B中含有字母，是分式；     故一共有2个分式． 故选B 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）空气的密度为，这个数用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示，形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据表示方法解题即可； 【详解】解：这个数用科学记数法可表示为， 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（    ） A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的 C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值缩小为原来的． 故选B． 4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为 【答案】A 【分析】本题考查了分式的有意义的概念，最简分式的概念，分式的基本性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据分式的有意义的概念，最简分式的概念及分式的基本性质，即可判断答案． 【详解】选项A，正确，符合题意； 选项B，当时，x不能出现在分母上，B选项错误，不符合题意； 选项C，当，都扩大为原来的3倍时，分式的值也扩大为原来的3倍，所以C选项错误，不符合题意； 选项D，当分式的值为零时，，所以D选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根． 将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可； 【详解】解：将分式方程变为整式方程得：． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 二、填空题 6．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式为零的条件．根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 由，得， ， 故答案为：3． 7．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ． 【答案】8 【分析】化简得到，根据题意得到或7，即可得到答案． 【详解】解：， ∵代数式的值也是整数，为大于1的正整数， ∴或7， 当时，， 当时，， ∴可取的最大整数值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键． 8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第个分式的分子为，分母为，即可获得答案． 【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得， 第个分式是． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是注意不能忽略分式方程的解必须使每个分式的分母不为0．先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程的解是正数，列出关于m的两个不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵分式方程有解， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是：且， 故答案为：且． 10．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和新定义，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算，解题的关键熟知各种运算法则． 根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】 12．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程解法步骤：去分母、化为整式方程求解、验根、下结论等，熟练掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案； （2）先将原方程整理，再去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案． 【详解】（1）解：， 方程两边乘 ，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：由得， 方程两边乘 ，得， 解得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 13．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）先化简再求值，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴． 14．（23-24八年级上·山东东营·期末）（1）解方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）原方程无解；（2），当时，原式 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值： （1）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （2）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2） ， 当时，原式＝． 15．（23-24八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同． (1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？ (2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式． 【答案】(1)甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元 (2)共有3种购买方式：①购买甲种型号的垃圾桶4个，乙种型号的垃圾桶2个；②购买甲种型号的垃圾桶5个，乙种型号的垃圾桶1个；③购买甲种型号的垃圾桶6个，乙种型号的垃圾桶0个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种垃圾桶单价是元，则乙种垃圾桶单价是元，根据用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲种垃圾桶个，则购买乙种垃圾桶个，根据总费用不超过3100元，列出一元一次不等式组，解不等式组，得，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种垃圾桶单价为元，则乙种垃圾桶单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的根， 则． 答：甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元； （2）解：设购买甲种垃圾桶个，则购买乙种垃圾桶个， 根据题意得：， 解得：． 是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种购买方式： ①购买甲种型号的垃圾桶4个，乙种型号的垃圾桶2个； ②购买甲种型号的垃圾桶5个，乙种型号的垃圾桶1个； ③购买甲种型号的垃圾桶6个，乙种型号的垃圾桶0个． 16．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)不是；； (2)；，或． 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； （2）解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． （3）根据等式的性质，变形为，即可求解． 【详解】（1）猜想关于x的方程的解是 故答案为：． （2）解： 变形得， ∴或 解得： （3）解： ∴ ∴ ∴或 解得：或 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$