期末测试卷02-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第二册,江苏专用）

2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷02 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】利用复数的除法和乘法算出z后可求 【解析】，所以. 故选：C. 2．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【解析】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用正弦定理求解即可． 【解析】在中，由正弦定理，得， 所以，又，所以或. 故选：D 4．下列命题中，错误的是（ ） A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一平面的两条直线不一定平行 C．如果平面垂直，则过内一点有无数条直线与垂直． D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 【答案】C 【解析】试题分析：A选项,假设直线l与另一个平面平行，则过直线任作一个平面与两个平行平面分别相交于直线，，由直线与平面平行面面平行的性质定理可得l，且，所以l，由此可得l，与已知矛盾，所以假设错误，所以A正确； 对于B选项，平行于同一平面的两条直线可能异面、平行、相交，故B正确； C选项是错误的，两平面垂直，过一个平面内一点有且只有一条直线垂直于另外一平面； D选项的逆否命题为：若平面内存在直线垂直于平面，则平面垂直于平面，这是面面垂直的判定定理，故原命题正确， 故选C 考点：线面平行垂直的判定 5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积时构造的一个和谐优美的几何体，它是指同一正方体分别从纵､横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体（如图），刘徽研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，则棱长的正方体对应的牟合方盖的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正方体的内切球的体积，由公式求值即可. 【解析】正方体棱长，正方体内切球半径，则内切球体积，则. 故选：B. 6．已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和事件的概率公式、积事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式逐项分析即可. 【解析】因为， 由， 只能得到，并不能得到， 故A错误； 因为， ， 又， 所以， 由于无法确定事件是否相互独立， 故无法确定，故B选项错误； 因为，， 又，所以， 故C正确； 对于D，由于不能确定是否相互独立， 若相互独立，则，， 则由可得， 故无法确定， 故D错误； 故选：C. 7．已知函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换整理得，由题意分析可得方程在上有且仅有个不同的零点，结合正弦函数的性质分析求解. 【解析】因为 ， 令，整理得， 由题意可知：方程在上有且仅有个不同的根， 因为，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，再由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线，只需求此时的正弦值即可. 【解析】如图所示，连接，交平面于点. 设与平面所成角为，正方体的棱长为a， 根据正方体的性质可得，平面， 所以平面，且点Q为的中心， 所以. 又因为直线与所成角为，且的最小值为， 所以与平面所成角为，所以为. 由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线， 所以此时 又因为在中，易得， 所以， 所以， 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过线面角的最小性找到的值，再根据三点共线，进而求出答案. 二、多选题 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10．志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 【答案】ABD 【分析】由，计算可判断A；易得众数的估计值判断B；利用平均数的估计值的计算公式计算可判断C；求得百分位数判断D. 【解析】对于A：，解得，故A正确； 对于B：频率分布直方图的第三组的频率最大，故数据的众数的估计值为，故B正确； 对于C：平均数的估计值为，故C错误； 第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为， 前三个组的频率和为，所以第百分位数在第四个组， 所以百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 11．的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 三、填空题 12．从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 【答案】6 【分析】利用列举法即可直接得出结果. 【解析】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 13．如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【解析】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 14．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 【答案】①③④ 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，求出最小值；③变形得到，设是的中点，则，故则动点的轨迹经过的外心，③正确；④由，，三点共线，可得，结合即可求解. 【解析】对于①，为的垂心，则，又， 所以，所以①正确； 对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，    则，，，设， 则 ， 故当，时， 取得最小值， 最小值为，所以②错误； 对于③，， ， 所以， 如图，设是的中点，则， 故， 即， 故则动点的轨迹经过的外心，所以③正确；    对于④，    由，，三点共线，设， 由，， 所以， 又， 所以，所以， 所以，即，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题 15．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数z和|z|； (2)若在第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模； （2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【解析】（1）设，则， 由为实数，得，则， 由为实数，得，则， ∴，则； （2）， 由在第四象限，得，解得或， 故m的取值范围为． 16．在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动． (1)若 D为BC边的中点， 求AD． (2)若 AD为的角平分线， 求AD． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）首先根据余弦定理求边，再利用中点，表示向量，最后根据数量积公式求模； （2）根据三角形的面积公式，表示，即可求解. 【解析】（1）由余弦定理推论可得，即． ． ∵D为BC边的中点， 所以， 即，所以． （2）不妨设， ∵AD为的角平分线， 由面积公式有， ， 得， ． 17．2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 【答案】(1)0.01； (2) 【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可； （2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可. 【解析】（1）由题意， 得：， 设今年该中学高考数学成绩的中位数为， 则，解得. 故该中学今年高考数学成绩的中位数约为. （2）由题意可知分数在的频率为， 同理分数在的频率为， 所以分数在的抽取人数为：，记为， 分数在的抽取人数为：，记为， 从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为： ， 所以基本事件的总数为：. 设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”， 则， 事件包含的基本事件数为：. 由古典概型概率的计算公式得：. 故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为. 18．已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为，求的单调区间 (3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数； （2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围. 【解析】（1）依题意， （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，上单调递减; （3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则， 解得:,又，即有，，于是. 由得：，，而函数的周期， 依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：， 所以正实数λ的取值范围是. 19．个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 【答案】(1)，1，1，，，，1，，，1，，，，1，1， (2)证明见解析 (3)证明见解析. 【分析】（1）由维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论； （3）任取，计算内积，，设的第个分量之和为，利用，可得结论. 【解析】（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为： ，，，． （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则， ，则，矛盾， 所以不存在6个两两垂直的6维信号向量． （3）任取，计算内积， 将所有这些内积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 则，所以，故. 【点睛】方法点睛：新定义题型，认真阅读，弄清题意是关键，理解内积的定义，与所学内容类比，转化，考查运算求解能力与逻辑思维能力，对综合素养要求较高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷02 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 2．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．下列命题中，错误的是（ ） A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一平面的两条直线不一定平行 C．如果平面垂直，则过内一点有无数条直线与垂直． D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积时构造的一个和谐优美的几何体，它是指同一正方体分别从纵､横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体（如图），刘徽研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，则棱长的正方体对应的牟合方盖的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分） 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 11．的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12．从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 13．如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 14．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数z和|z|； (2)若在第四象限，求m的取值范围. 16．在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动． (1)若 D为BC边的中点， 求AD． (2)若 AD为的角平分线， 求AD． 17．2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 18．已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为，求的单调区间 (3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 19．个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$