专题拓展：常用逻辑用语中的参数问题（技巧解密+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：常用逻辑用语中的参数问题 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 二、解决含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 考点一：根据充分条件求参数 例1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 【变式1-1】（22-23高一上·四川成都·月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式1-2】（22-23高一上·湖北武汉·期中）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 【变式1-3】（23-24高一上·江西宜春·开学考）已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 考点二：根据必要条件求参数 例2. （23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式2-2】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【变式2-3】（23-24高一上·重庆·月考）已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 考点三：根据充要条件求参数 例3. （23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一上·青海西宁·月考）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（23-24高一上·福建福州·月考）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 考点四：根据充分不必要条件求参数 例4. （23-24高一上·山东威海·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一上·河南商丘·月考）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． （1）当时，求，； （2）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点五：根据必要不充分条件求参数 例5. （23-24高一上·河南周口·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【变式5-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式5-2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【变式5-3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 考点六：根据全称量词命题的真假求参数 例6. （23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（23-24高一上·福建泉州·期中）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【变式6-3】（23-24高一上·广东惠州·月考）是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 考点七：根据存在量词命题的真假求参数 例7. （23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式7-1】（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ． 【变式7-3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若命题为真命题，求实数的值． 一、单选题 1．（22-23高一上·云南玉溪·期末）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东东莞·月考）已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西南宁·月考）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·海南·月考）若“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 三、填空题 9．（23-24高一上·上海静安·期中）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高一上·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 11．（23-24高一上·广东汕头·月考）若命题“”是真命题，则的取值范围为 . 四、解答题 12．（23-24高一上·青海海东·月考）已知或． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 13．（23-24高一下·河南·开学考试）已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：常用逻辑用语中的参数问题 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 二、解决含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 考点一：根据充分条件求参数 例1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，，则，所以m的取值范围是. 【变式1-1】（22-23高一上·四川成都·月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因是的充分条件，画出所对应范围，可得 【变式1-2】（22-23高一上·湖北武汉·期中）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】记，， 因为p是q的充分条件，所以. 当时，，即，符合题意； 当时，，由可得，所以，即. 综上所述，实数的k的取值范围是． 【变式1-3】（23-24高一上·江西宜春·开学考）已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，所以. 考点二：根据必要条件求参数 例2. （23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为“”是“”的必要条件， 所以，所以. 【变式2-1】（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由是的必要条件，得， 当时，，解得，此时成立， 当时，由，得，解得， 综上所述，. 【变式2-2】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【变式2-3】（23-24高一上·重庆·月考）已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）当时，， 所以或 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，于是得， ①当时，，解得； ②当时，由得，解得， 综上所述，. 考点三：根据充要条件求参数 例3. （23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：，故选：A 【变式3-2】（22-23高一上·青海西宁·月考）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故，解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是.故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·福建福州·月考）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根， 必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负， 则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根， 反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C 考点四：根据充分不必要条件求参数 例4. （23-24高一上·山东威海·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则.故选：AB 【变式4-1】（22-23高一上·河南商丘·月考）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求.故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． （1）当时，求，； （2）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），或；（2） 【解析】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 考点五：根据必要不充分条件求参数 例5. （23-24高一上·河南周口·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于“”是“”的必要不充分条件， 所以，即的取值范围是. 【变式5-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【解析】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合.故选：AD 【变式5-3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 考点六：根据全称量词命题的真假求参数 例6. （23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【解析】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误.故选：AB. 【变式6-1】（23-24高一上·福建泉州·期中）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以， 所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到， 所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到， 所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到， 所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意.故选：A. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏无锡·月考）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】若原命题为真，由，即， 得，解得， 所以该命题为假，故实数的取值范围是或. 【变式6-3】（23-24高一上·广东惠州·月考）是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【解析】假设存在整数m，使得命题“”是真命题． 当时，，，解得． 又m为整数，． 故存在整数，使得命题“”是真命题． 考点七：根据存在量词命题的真假求参数 例7. （23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 【变式7-1】（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】命题“”的否定为：“” 命题“”为假命题等价于命题“”为真命题； 当时，，成立； 当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【变式7-3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若命题为真命题，求实数的值． 【答案】（1）4；（2）0 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 一、单选题 1．（22-23高一上·云南玉溪·期末）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，． 因为“”是“”的充分条件，即当时，成立， 所以或，即．故选：C． 2．（22-23高一上·广东东莞·月考）已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为p是q的充分不必要条件， 所以⫋，则m≤－1，故选：D. 3．（23-24高一上·广西南宁·月考）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以.故选：A. 4．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是.故选：D. 5．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.故选：C. 6．（23-24高一上·海南·月考）若“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：“，使”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】由得， 因为不等式成立的必要条件是，所以，解得， 符合题意的选项有：A，B，C.故选：ABC 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【解析】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或，故选:AB. 三、填空题 9．（23-24高一上·上海静安·期中）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是的充分条件， 所以，所以. 10．（23-24高一上·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 11．（23-24高一上·广东汕头·月考）若命题“”是真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 当时，恒成立， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 四、解答题 12．（23-24高一上·青海海东·月考）已知或． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为p：，所以p：，即 因为p是q的充分条件，所以或，解得或， 即实数的取值范围是； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以解得， 即实数m的取值范围是． 13．（23-24高一下·河南·开学考试）已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. （2）由，解得，即 是的充分不必要条件， （等号不同时取），， 又， 故实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$