专题拓展：集合中的参数问题（技巧解密+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：集合中的参数问题 一、根据元素与集合的关系求参数 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 二、根据集合中元素的个数求参数 1、解题思路：此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解． 2、方法步骤 第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 三、根据集合的相等关系求参数 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 四、根据集合间的包含关系求参数 由集合间关系求解参数的三部曲 第1步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第2步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第3步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 五、根据集合的交并补运算求参数 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集． 考点一：根据元素与集合的关系求参数 例1．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8.故选：D. 【变式1-1】（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABD 【解析】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意.故选：ABD. 【变式1-2】设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意.故选：D 【变式1-3】已知集合，且，则实数范围是 ． 【答案】 【解析】因为，集合，所以得：， 即等价于，解之得：. 故实数的范围是：. 考点二：根据集合中元素的个数求参数 例2. 已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意，，，故选：D. 【变式2-1】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.故选:B. 【变式2-2】已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 【变式2-3】已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 考点三：根据集合相等求参数 例3. 已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】集合中只有一个整数元素， 则，，即， 此时，故，解得. 故. 【变式3-1】（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：AB． 【变式3-2】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】. 【解析】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 【变式3-3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，方程有两个不等的实根， 则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且.故选：C 考点四：根据集合间的包含关系求参数 例4. 设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】由已知得，若，解得， 此时，符合题意; 若，解得， 此时，不符合题意; 若，解得，此时，不符合题意， 综上所述，.故选:C. 【变式4-1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得：故选:C． 【变式4-2】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，由，得， 所以的取值范围是.故选：A 【变式4-3】已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【答案】 【解析】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 考点五：根据集合的并集结果求参数 例5. 已知集合，，若，则 ． 【答案】2 【解析】由，得. 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，，满足，符合题意； 当时，，不满足，舍去. 综上，. 【变式5-1】设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以． 由，得或； 由得，所以．此时符合题意，故选：B． 【变式5-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，， 因为，所以，即.故选：C 【变式5-3】设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为或，，且， 所以，解得， 即实数的取值范围为.故选：B． 考点六：根据集合的交集结果求参数 例6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是. 【变式6-1】已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即，解得或， 若，此时， 不合题意；当时成立.故选：D. 【变式6-2】已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则． 【变式6-3】已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中， 所以，即的取值范围是.故选：B. 考点七：根据集合的补集结果求参数 例7. 已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由集合，， 因为，可得.故选：C. 【变式7-1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【解析】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意．故选：D． 【变式7-2】设集合，，，若，则 . 【答案】 【解析】由可得， 由于，所以， 所以，解得. 【变式7-3】（多选）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【解析】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U； 若a≠0，则＝. 此时＝3或＝5，∴a＝或a＝. 综上a的值为0或或.故选：ABC 考点八：根据交并补混合运算求参数 例8. 设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合或，则， 又集合且，则，故选：B. 【变式8-1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以或， 又，所以.故选：A 【变式8-2】已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 【变式8-3】已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，解得：，此时， ，符合题意； 当时，，解得， 因为集合，， 所以或， 因为，所以，解得：， 所以时，， 综上所述：实数的取值范围是. 1．设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【解析】由题知，因为，所以，，.故选：C 2．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】集合，集合， 若，又，所以，解得故选：B 3．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【解析】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，．故选：B． 4．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，.故选：B. 5．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解析】因为方程的判别式，所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以，所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或.故选：D. 6．已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】C 【解析】由题意知：对于集合B，当时，；当时，； 当时，； 又，故，则， 若，则，此时，不满足； 若，此时，满足，故，故选：C 7．（多选）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【解析】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或.故选：ABD. 8．（多选）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以； 若，则， 时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 时，，，满足，故A正确； 若，则， 时，，，满足，故B正确； 时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或，故选：ABC. 9．若集合中至多一个元素，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】对于方程至多只有一个根， 当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值范围为或． 10．已知全集，集合，，则实数a的值为 ． 【答案】1或-3 【解析】全集，集合，，则，解得或， 所以实数a的值为1或-3. 11．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 12．已知集合. （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）的值为或，当时，元素为，当时，元素为；（3） 【解析】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 13．已知集合． （1）若，为常数，求实数m的取值范围． （2）若，为常数，求实数m的取值范围． （3）若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：集合中的参数问题 一、根据元素与集合的关系求参数 1、解题思路 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，主要用到元素的确定性和互异性． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 2、方法步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 【注意】一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验． 二、根据集合中元素的个数求参数 1、解题思路：此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解． 2、方法步骤 第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 【注意】一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0． 三、根据集合的相等关系求参数 解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 四、根据集合间的包含关系求参数 由集合间关系求解参数的三部曲 第1步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第2步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第3步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】一是不等式的等号能否取到；二是含参集合是否为空集． 五、根据集合的交并补运算求参数 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集． 考点一：根据元素与集合的关系求参数 例1．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【变式1-1】（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式1-2】设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，且，则实数范围是 ． 考点二：根据集合中元素的个数求参数 例2. 已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【变式2-1】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【变式2-2】已知，若，则实数的值为 ． 【变式2-3】已知集合，，若，则 . 考点三：根据集合相等求参数 例3. 已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【变式3-1】（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【变式3-2】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【变式3-3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：根据集合间的包含关系求参数 例4. 设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式4-1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合，，若，求实数m的取值范围. 考点五：根据集合的并集结果求参数 例5. 已知集合，，若，则 ． 【变式5-1】设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：根据集合的交集结果求参数 例6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【变式6-1】已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【变式6-2】已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【变式6-3】已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七：根据集合的补集结果求参数 例7. 已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【变式7-2】设集合，，，若，则 . 【变式7-3】（多选）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 考点八：根据交并补混合运算求参数 例8. 设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【变式8-3】已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 1．设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 2．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 4．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 6．已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 7．（多选）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 8．（多选）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．若集合中至多一个元素，则实数的取值范围是 . 10．已知全集，集合，，则实数a的值为 ． 11．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 12．已知集合. （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 13．已知集合． （1）若，为常数，求实数m的取值范围． （2）若，为常数，求实数m的取值范围． （3）若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$