专题07 菱形6种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题07 菱形 利用菱形的性质求角度 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·云南保山·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，则∠BDA的度数为（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 4．（19-20八年级下·江苏泰州·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠OBC＝30°，则∠OCD＝ °． 5．（18-19八年级下·云南玉溪·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，求∠CAD的度数． 利用菱形的性质求线段长 6．（23-24八年级下·云南楚雄·期中）已知菱形的周长是20，其中一条对角线的长是8，则另一条对角线的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）菱形的对角线交于点O，过点A作，垂足为E，交于点E，若，菱形的面积为24，则的长为（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．5 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，菱形的对角线和交于点O，且，E是边的中点，则线段的长为（    ）    A．8 B．5 C．2.5 D．6 9．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，对角线交于是的中点，如果，那么菱形的周长为 ． 11．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形是菱形，，，于点，于点．    (1)求的长； (2)求四边形的面积． 12．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 利用菱形的性质求面积 13．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的面积为（    ） A．20 B．48 C．24 D．12 15．（22-23八年级下·云南德宏·期末）已知菱形的周长为16，其中，则菱形的面积为 ．（结果保留根号） 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，菱形ABCD中，若，，则菱形ABCD的面积为 ． 17．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，，，若，，． (1)试判断四边形的形状，并加以证明． (2)求四边形的面积． 18．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，点、分别是、上的任意两点，且点与点、都不重合，连接、、，则．    (1)求证：； (2)当点靠近点时，若，，求的面积． 利用萎形的性质证明 19．（18-19八年级上·云南·期末）下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中． （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、； （2）作直线交边于点，且直线恰好经过点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中正确的有 ．（填序号） ①②③④如果．那么 21．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求点A到的距离． 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线交于点交的延长线于点E，交的延长线于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)为中点，连接，若，求的长． 23．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是，点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，OC是矩形OBCA的对角线，OE平分交BC于点E，CF平分交OA于点F． (1)求证：四边形OECF是平行四边形； (2)当四边形OECF为菱形时，求点B的坐标； (3)过点E作，垂足为点G，过点F作，垂足为点H，当点G，H将对角线OC三等分时，求点B的坐标． 证明四边形是菱形 24．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件能够判定四边形是菱形的是（    ）．    A． B． C． D． 25．（21-22八年级下·云南昆明·期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）人教版数学八年级下册教材的数学活动—折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开，连接． (1)求； (2)如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S．把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形． 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值． 28．（20-21八年级下·云南德宏·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 根据菱形的性质与判定求线段长求面积 29．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若，，则菱形ABCD的边长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5 30．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，求的长． 31．（2022·云南玉溪·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD相交于点O，过点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，点F，连接AF，CE． (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若，，求四边形AFCE的周长． 32．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，菱形的对角线与交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 33．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD∥BC，BCAD，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求菱形BCDE的面积． 1．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形 2．（22-23八年级下·云南·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 4．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，使得，连接，若,，则的长为（    ）    A． B． C．9 D．10 5．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为 ． 6．（20-21八年级下·云南玉溪·期末）如图，在等腰中，，于点，点是上一点，延长至点，使，点到的距离为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为，两条对角线的和等于，求的值． 7．（20-21八年级下·云南昆明·期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积． 8．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，对角线、相交于点，，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 9．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求d． 10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，．与相交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 11．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形中，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 12．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图所示，点O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE＝DE，点F，G在AB上，EF⊥AB于点F，OG∥EF，连接OE． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若BC＝10，OG＝4，求OE和BG的长． 13．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 菱形 利用菱形的性质求角度 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，平行线性质，角平分线性质等．根据题意可知，继而得到，再利用角平分线性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明是等边三角形，得到，再由菱形对角线平分一组对角可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴该菱形较大的内角度数为， 故选：A． 3．（21-22八年级下·云南保山·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，则∠BDA的度数为（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到∠ADC=∠ABC=80°，DB平分∠ADC和∠ABC，然后即可求解． 【详解】解：∵菱形ABCD， ∴∠ADC=∠ABC=80°，DB平分∠ADC和∠ABC， ∴∠BDA=∠BDC=40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．（19-20八年级下·江苏泰州·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠OBC＝30°，则∠OCD＝ °． 【答案】60 【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直以及平分每一组对角解答即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，∠DBC＝∠BDC＝30°， ∴∠DOC＝90°， ∴∠OCD＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 5．（18-19八年级下·云南玉溪·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，求∠CAD的度数． 【答案】∠CAD=20° 【解析】由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°， ∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键． 利用菱形的性质求线段长 6．（23-24八年级下·云南楚雄·期中）已知菱形的周长是20，其中一条对角线的长是8，则另一条对角线的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键． 根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形周长为20， ∴，， ， ， 故选：B． 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）菱形的对角线交于点O，过点A作，垂足为E，交于点E，若，菱形的面积为24，则的长为（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】根据菱形面积对角线积的一半可求，再根据勾股定理得出．结合，即可作答．本题考查了菱形的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 【详解】解：是菱形， ，， ∴ 则， ∴ ∴ 中， ， ∴ 则， 故选：C． 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，菱形的对角线和交于点O，且，E是边的中点，则线段的长为（    ）    A．8 B．5 C．2.5 D．6 【答案】C 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出答案． 【详解】解：∵在菱形中，，，， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查菱形性质，直角三角形斜边中线性质等．根据题意可得菱形边长为，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴，即时直角三角形， ∵菱形的周长为72， ∴菱形边长为， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：9． 10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，对角线交于是的中点，如果，那么菱形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由菱形的性质得出是的中点，，证明是的中位线，结合中位线的性质进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴是的中点，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 则， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 11．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形是菱形，，，于点，于点．    (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高； （2）证明四边形为矩形，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， ， 又， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，掌握菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的面积的求解方法是解题的关键． 12．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 利用菱形的性质求面积 13．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故选：C 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的面积为（    ） A．20 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形面积公式计算即可得答案． 【详解】解：在菱形中， ， 菱形的面积， 故选：C． 15．（22-23八年级下·云南德宏·期末）已知菱形的周长为16，其中，则菱形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】画出图形，过点C作于E，求出菱形高即可求出菱形面积． 【详解】解：如图，过点C作于E，    ∵四边形是菱形，且周长是16， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，菱形ABCD中，若，，则菱形ABCD的面积为 ． 【答案】120 【分析】连接，交于点，先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用菱形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形，， ， ， ， ， 则菱形的面积为， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 17．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，，，若，，． (1)试判断四边形的形状，并加以证明． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)36 【分析】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出，解答． （1）根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，理由如下： 四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， 在中，可得，， 为直角三角形， ， 平行四边形为菱形． （2）四边形为菱形， ， ． 18．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，点、分别是、上的任意两点，且点与点、都不重合，连接、、，则．    (1)求证：； (2)当点靠近点时，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，，则和都是等边三角形，所以，，则，而，即可证明，得； （2）作于点，因为，所以，则，所以，则，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）作于点，则，    是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 利用萎形的性质证明 19．（18-19八年级上·云南·期末）下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】利用菱形的判定、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形，故错误； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故错误； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故错误； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确． 故选：D． 【点睛】此题考查菱形的判定、矩形的判定定理、平行四边形的判定，了解各个图形的判定定理是解题的关键，难度不大． 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中． （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、； （2）作直线交边于点，且直线恰好经过点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中正确的有 ．（填序号） ①②③④如果．那么 【答案】①②③ 【分析】连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形，可判断①；由BC=CD=2CM，可判断②；由三角形的面积公式和AB与DM的关系可判断③；由勾股定理在Rt△ADM中，求出AM，再在Rt△ABM中求得BM，可判断④． 【详解】解：如图，连接AC． 由作图可知，EF存在平分线段CD， ∴AC=BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=AB=BC=AC， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴∠ABC=60°，故①正确， ∵BC=CD=2CM，故②正确， ∵AB=CD=2DM，AB∥CD， ∴AB=2DM， ∴S△ABM=2S△ADM，故③正确， ∵AB=2， ∴AD=2， ∵AM垂直平分CD， ∴DM=CD=1，∠AMD=90°， ∴AM=， ∵AB∥CD， ∴∠BAM=∠AMD=90°， ∴BM=，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求点A到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证，从而可证四边形是平行四边形，由，即可求证； （2）可得的长为点A到的距离，可求，从而可求，由和，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，且， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形． （2）解：由题意知：的长为点A到的距离， 四边形是菱形，且周长为，， ，，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ， 点A到的距离为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定方法及性质，矩形的判定，勾股定理，点到直线的距离等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在菱形中，对角线交于点交的延长线于点E，交的延长线于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)为中点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】（1）四边形是菱形， ． 又， 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形． （2）四边形是矩形， ． 在中，． 四边形是菱形， ． 为中点， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，以及三角形中位线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 23．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是，点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，OC是矩形OBCA的对角线，OE平分交BC于点E，CF平分交OA于点F． (1)求证：四边形OECF是平行四边形； (2)当四边形OECF为菱形时，求点B的坐标； (3)过点E作，垂足为点G，过点F作，垂足为点H，当点G，H将对角线OC三等分时，求点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据四边形OBCA为矩形得到，根据OE平分，CF平分得到，进而证明，故可证明四边形OECF是平行四边形； （2）根据四边形OECF是菱形得到，可证明，根据点A的坐标是，得到，，设，，在中，列出方程可解得，于是利用勾股定理即可求出，进而得到点坐标； （3）分两种情况：当点G在点O，H之间时，当点H在O，G之间时讨论即可． 【详解】（1）证明：如图4， ∵四边形OBCA为矩形， ∴， ∴， 又∵OE平分，CF平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵在矩形OBCA中，， ∴四边形OECF是平行四边形． （2）解：∵四边形OECF是菱形， ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵点A的坐标是， ∴． ∴． 设，，在中，． ∴，得， ∴． ∴． ∴点B的坐标是． （3）解：∵OE平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴．同理．而， ∴， 当点G在点O，H之间时，如图5： ∵点G，H将对角线OC三等分， ∴．设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点B的坐标是； 当点H在O，G之间时，如图6， 同理可得．设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点B的坐标是， ∴满足条件的点B的坐标为或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的性质菱形的性质，勾股定理，解题的关键是理清题意，灵活应用定理． 证明四边形是菱形 24．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件能够判定四边形是菱形的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A. ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不能够判定四边形是菱形； B. ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不能够判定四边形是菱形； C. ，由四条边都相等的四边形才是菱形，不能够判定四边形是菱形； D. ，由对角线先垂直平分的四边形是菱形，能够判定四边形是菱形； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定定理，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 25．（21-22八年级下·云南昆明·期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】A选项图形四条边相等，故为菱形，本选项符合题意； B选项图形， 对边平行， 这组对边相等，且四边形邻边相等， 故为菱形，本选项符合题意； C选项图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项不符合题意； D选项图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）人教版数学八年级下册教材的数学活动—折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开，连接． (1)求； (2)如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S．把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)60° (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）由折叠可知垂直平分，，，由垂直平分线的性质可得，进而得到，则为等边三角形，，由三角形内角定理求得，于是，代入计算即可求解； （2）由折叠可知，，由平行线的性质可得，，以此可通过证明，得到，由对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处， ∴，， ∴， ∴等边三角形，， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠矩形纸片，使点A落在边上点处， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可； （2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分． ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，，如图：    由（1）知，四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形关于对角线所在直线对称， ， 周长， 周长的最小值为， 在中， ， 周长的最小值为． 28．（20-21八年级下·云南德宏·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，即可证明四边形是菱形； （2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴菱形的面积为20． 根据菱形的性质与判定求线段长求面积 29．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若，，则菱形ABCD的边长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据点E，F分别是AB，AO的中点，可知线段EF是△ABC的中位线，即可求出0B的长度，再由菱形对角线互相垂直的性质，得到△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求出AB的长度． 【详解】∵点E，F分别是AB，AO的中点，且 ∴OB=2EF=4 ∵四边形ABCD是菱形 ∴BD⊥AC，即△ABC是直角三角形 在Rt△ABC中，由勾股定理可得： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，勾股定理和菱形的性质；熟练的掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半；勾股定理；菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 30．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形是平行四边形； （2）本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相交于点O， ， 四边形是菱形； （2）如图，连接，交于点F， 由（1）知，四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 31．（2022·云南玉溪·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD相交于点O，过点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，点F，连接AF，CE． (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若，，求四边形AFCE的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得到，，再证，得出，从而证得四边形AFCE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论； （2）先证得四边形ABCD是矩形，从而利用勾股定理求出BC长，再由四边形AFCE是菱形，得到AF=CF，则可设，则，利用勾股定理求出x值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∵， ∴四边形AFCE是菱形． （2）解：∵，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． ∴， 在中，， 由（1）知，四边形AFCE是菱形， 设，则， 在Rt△ABF中， ，即，， 解得：． ∴四边形AFCE的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． 32．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，菱形的对角线与交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，平四边形的判定方法可得四边形是平行四边形，根据，可得，由此即可求证； （2）根据菱形的性质可求出，，平行四边形是矩形，，在中，根据勾股定理可得的长，由此可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵平行四边形是矩形， ∴且， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 33．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD∥BC，BCAD，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求菱形BCDE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）菱形BCDE的面积为． 【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形BCDE是菱形； （2）利用角平分线和平行线的性质得到AB和AD的长，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长，继而可求得，再根据BE是△ABD的中线，得到． 【详解】（1）证明：∵ E为AD的中点， ∴ DE＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， BE＝DE， ∴四边形BCDE是菱形． （2）如图，连接AC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AB＝BC＝1， ∵AD＝2BC＝2， 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°， ， ∴， ∵BE是△ABD的中线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质及勾股定理的知识，熟练运用菱形的判定方法及勾股定理是解决问题的关键． 1．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确； ∵四边形AEDF是平行四边形，∠B+∠C=90°， ∴∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确； 若BD=CD， 则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形，故C选项错误； ∵BD＝AD＝DC， ∴∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA， ∴∠DAB+∠DAC=90°，即∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形， 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大． 2．（22-23八年级下·云南·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意和菱形的判定进行选择即可，先证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 综上所述：选择①③④，使得四边形是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 3．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键． 4．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，使得，连接，若,，则的长为（    ）    A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】由四边形是菱形，推出，，，求出的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， 在中 ， 在中 ． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质求出的长，由勾股定理即可求解． 5．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 利用基本作法得到得垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分，即，， 四边形为菱形， ，， ，， 在中，， 在中，． 故答案为． 6．（20-21八年级下·云南玉溪·期末）如图，在等腰中，，于点，点是上一点，延长至点，使，点到的距离为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为，两条对角线的和等于，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AO=CO，AD=CD，由菱形的判定可得结论； （2）利用勾股定理先求AC，DE的值，由面积法可求d的值． 【详解】证明：（1）∵AB=BC，BO⊥AC， ∴AO=CO，AD=CD， 又∵OE=OD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）∵菱形ADCE的周长为20， ∴AE=AD=CD=CE=5， ∵AC与DE的和等于14， ∴AO+OE=7， ∵AO2+OE2=AE2， ∴（7-OE）2+OE2=25， ∴OE=4，或OE=3， ∴OE=8或6， ∴AC=6或8， ∴菱形ADCE的面积=×6×8=5d， ∴d=． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的面积的两种求法是解题的关键． 7．（20-21八年级下·云南昆明·期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）48 【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF=AE•BF=BE•FG，先求出FG即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠EBF=∠AFB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF， ∵BO⊥AE， ∴∠AOB=∠EOB=90°， ∵BO=BO， ∴△BOA≌△BOE（ASA）， ∴AB=BE， ∴BE=AF，BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF． ∴四边形ABEF是菱形． （2）作FG⊥BC于G， ∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8， ∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4， ∴BE==5， ∵S菱形ABEF=AE•BF=BE•FG，即， ∴FG=， ∴S平行四边形ABCD=BC•FG=48． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型． 8．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，对角线、相交于点，，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，进而得到，再由，得到，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，在、中利用勾股定理分别求BE、AC，进而在中利用斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． （2）解：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴OE是的中线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，正确的识别图形是解题的关键． 9．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求d． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再通过证明对角线垂直即可证明为菱形； （2）过点 D 作 DF⊥BE ，垂足为点 F，通过面积法即可求解． 【详解】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵DEAC，DE⊥BD， ∴ AC ⊥BD， ∴四边形 ABCD 是菱形． （2）解：如图，过点D 作DF⊥BE ，垂足为点 F ． 由（1）知， 在Rt△AOB 中． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BC =CD = AB = AD =5 ，BD =2OB =8 ，ADCE． ∵ DE/AC， ∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴ CE = AD = 5 ，DE= AC = 6 ， ∴． 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质综合，解题的关键是熟知平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理及勾股定理的应用． 10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，．与相交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，由矩形的性质可得，可得结论； （2）由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，由含30度直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，证得四边形是菱形是解此题的关键． 11．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形中，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先由得到，进而得到四边形是平行四边形，再由得到即可证明； （2）设菱形的边长为x，则，在中使用勾股定理解出x，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设菱形的边长为x，则， ， 在中， ，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，解题的关键是运用数学结合思想转化、表示各线段． 12．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图所示，点O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE＝DE，点F，G在AB上，EF⊥AB于点F，OG∥EF，连接OE． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若BC＝10，OG＝4，求OE和BG的长． 【答案】（1）见解析；（2）OE＝5，BG＝2 【分析】（1）根据菱形的性质得BD⊥AC，OB＝OD，再由三角形中位线定理得OE∥FG，得四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论； （2）由三角形的中位线定理可求得OE＝AB＝5，再由矩形的性质得FG＝OE＝5，EF＝OG＝4，∠AFE＝90°，然后在Rt△AFE中，由勾股定理求出AF的长，即可得出BG的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥AB， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形OEFG是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝AB＝BC＝10， 由（1）得：OE＝AB＝×10＝5， ∵四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝5，EF＝OG＝4，∠AFE＝∠EFG＝90°， ∵E是AD的中点， ∴AE＝AD＝5， 在Rt△AFE中，由勾股定理得：AF＝＝＝3， ∴BG＝10﹣5﹣3＝2． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质，解题关键是熟练运用相关定理进行推理证明和计算． 13．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）已知EF垂直平分AC，因此只要证出四边形AFCE是平行四边形即可得出AFCE是菱形的结论． （2）根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线， ∴AO=CO，AC⊥EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴∠AEO=∠CFO，∠AEO=∠CFO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，AB=4，AD=BC=8， ∴AC=， ∴OA=OC=， ∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=FC，EF⊥AC， 在Rt△ABF中，设AF=FC=x，则BF=8-x， ∴AB2+BF2=AF2， ∴42+（8-x）2=x2， ∴x=5， ∴OF=， ∴EF=2OF=． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$