专题03 一次函数&反比例函数&二次函数（八大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题03 一次函数&反比例函数&二次函数 函数的图象 1．（2024•门头沟区二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（　　） A． B． C． D． 2．（2024•大兴区校级模拟）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．圆的面积y与它的半径x B．正方形的周长y与它的边长x C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x 3．（2024•海淀区校级二模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 　 　． 4．（2024•丰台区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下： ①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1； ②当x＞﹣3时，y有最小值； ③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•西城区校级模拟）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（　　） A．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量y是x的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量y是x的函数，摩天轮的直径是70米 6．（2023•平谷区二模）如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满4水杯．现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为 y1（毫升），水杯中的水量为y2（毫升），倒水的时间为x（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，y1，y2均是x的函数，它们随着x的变化而变化的过程可以描述为（　　） A． B． C． D． 7．（2023•东城区二模）两个变量满足的函数关系如图所示． ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 动点问题的函数图象 8．（2023•大兴区二模）如图1，点P，Q分别从正方形ABCD的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动，图2是点P，Q运动时，△BPQ的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长是（　　） A．2 B． C．4 D．8 9．（2024•海淀区校级三模）如图，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿AD﹣DC以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x，线段OP的长为y．则y与x关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•朝阳区二模）如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段BP运动到点P，再沿线段PA运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的边长是（　　） A． B．4 C． D．2 一次函数的图象与性质 11．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为（﹣4，0），（﹣2，0），（3，0）．给出下面四个结论： ①当y＞0时，﹣2＜x＜3； ②当时，y随x的增大而增大； ③点M（m，m+2）在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 12．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣1，4），与函数y＝2x的图象交于点（1，m）． （1）求m的值和函数y＝ax+b（a≠0）的解析式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝kx﹣k+2（k≠0）的值大于函数y＝ax+b的值，且小于函数y＝2x的值，直接写出k的取值范围． 13．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，4）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值与一次函数y＝kx+b（k≠0）的值的差大于1，直接写出n的取值范围． 14．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（0，2）． （1）求该一次函数的解析式； （2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+3（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 15．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝﹣2x，且经过点A（1，2）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值都大于一次函数y＝mx+1的值，直接写出m的取值范围． 16．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象平移得到，且经过点A（1，﹣3），与过点（0，3）且平行于x轴的直线交于点B． （1）求该函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于y＝kx+b（k≠0）的值且小于5，直接写出n的取值范围． 17．（2024•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0，直接写出m的值． 18．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 19．（2024•西城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣1与交于点A（2，m）． （1）求k，m的值； （2）已知点P（n，0），过点P作垂直于x轴的直线交直线y＝kx﹣1于点M，交直线于点N．若MN＝2，直接写出n的值． 一次函数的实际应用 20．（2024•海淀区二模）某种型号的纸杯如图1所示，若将n个这种型号的杯子按图2中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为H．则H与n满足的函数关系可能是（　　） A．H＝0.3n B． C．H＝10﹣0.3n D．H＝10+0.3n 21．（2024•海淀区校级模拟）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 分钟时，两仓库快递件数相同． 求函数的解析式 22．（2024•大兴区二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定；面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 23．（2024•门头沟区二模）某函数图象满足过点（0，2），且当x＞0时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式 　 　． 24．（2024•海淀区校级三模）如图，已知点A（1，4），B（5，4），点P是线段AB上的整点（不与A，B重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（x＞0）经过点P，写出一个符合条件的k的值：　 　． 25．（2024•朝阳区校级二模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为 　 　． 26．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 二次函数的图象及性质 27．（2024•朝阳区校级二模）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线yx2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 28．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2m，y1），（3﹣m，y2）在抛物线y＝x2+bx+c上． （1）当m＝2时，y1＝y2，求b的值； （2）若对于大于1的实数m，都有y1＞y2，求b的取值范围． 29．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，点，B（2t，n），C（x0，y0）在抛物线上． （1）当t＝2时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于6＜x0＜7，都有m＜y0＜n，求t的取值范围． 30．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）和点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t． （1）若m＝1，n＝6，求t的值； （2）已知点C（1，y1），在该抛物线上，若m＞﹣2，n＜﹣2，比较y1，y2的大小，并说明理由． 31．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+c上． （1）若m＝n，求b的值； （2）若点T（x0，p）在抛物线上，对于0＜x0＜1，都有m＜p＜n，求b的取值范围． 32．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a≠0）的对称轴为直线x＝t． （1）①t＝　 　（用含a的式子表示）； ②当t＝1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （2）已知点（3，y1），，在该抛物线上，若a＞0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 33．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝t． （1）若3a+2b＝0，求t的值； （2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a+2b+c＝0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 反比例函数的图象与性质 34．（2024•丰台区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0 35．（2024•东城区校级模拟）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则下列结论中正确的是（　　） A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2 36．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　） A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y D．y＝x2 37．（2024•北京模拟）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 38．（2024•西城区二模）如图，A（2，m），B（3，2）两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA，OB及反比例函数图象上A，B两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 　 　． 39．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，m）和（4，2）在反比例函数图象上，则m＝　 　． 一次函数与反比例函数的综合应用 40．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G与函数y＝x+b（x＞0）的图象H交于点A（1，3）． （1）求k，b的值； （2）已知直线y＝nx（n≠0）与图象G、H分别交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），若y1＞y2，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 41．（2024•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点（4，0），且与反比例函数y的图象在第四象限的交点为（n，﹣1）． （1）求b，m的值； （2）点P（xp，yp）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一个动点，且满足yp＜4，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围． 42．（2024•海淀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N． （1）求k和p的值； （2）设点M的横坐标为m． ①求点N的坐标；（用含m的代数式表示） ②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围． 43．（2024•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y（x＞0）的图象的交点P位于第一象限． （1）若点P的坐标为（1，6）， ①求m的值及点A的坐标； ②　 　； （2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1， ①写出点P的坐标（用含k的式子表示）； ②当PQ≤PA时，求m的取值范围． 1．（2024•西城区二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 2．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点A（﹣1，6）和B（3，m），则m的值为 　 　． 3．（2024•西城区校级二模）已知一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10，则y1＞y2的解集是 　 ． 4．（2024•顺义区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　． 5．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（3，y1）和B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 6．（2023•平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y与线段AB有公共点，请写出一个满足条件的k的值 　 　． 7．（2024•东城区二模）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，场地圆心A的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令[s，α]（s≥0，0°＜α＜180°）完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度α，执行任务．机器人位于坐标原点O处，且面对x轴正方向． （1）若给机器人下达指令[4，90°]，则机器人至少重复执行 　 　次该指令能回到坐标原点O处； （2）若给机器人下达指令[s，a]，使机器人重复执行该指令回到坐标原点O处，且s最大，则应给机器人下达的指令是 　 　． 8．（2024•西城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A． B．8 C．10 D． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数&反比例函数&二次函数 函数的图象 1．（2024•门头沟区二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（　　） A． B． C． D． 【分析】向小杯中注入水时水面停止上升，然后根据小水杯满后注入水的升高速度与开始注入水的平均升高速度即可得出答案． 【解答】解：开始往大水杯中均匀注水时，水面上升高度升高得快，向小杯中注入水时水面停止上升，小水杯满后注入水的升高速度变慢， 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 2．（2024•大兴区校级模拟）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．圆的面积y与它的半径x B．正方形的周长y与它的边长x C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x 【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断． 【解答】解：A．圆的面积y与它的半径x的关系式为y＝πx2， ∵π＞0， ∴该函数图象的开口应向上， ∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意； B．∵正方形的周长y与它的边长x的关系式为y＝4x， ∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意； C．设小丽从家骑车去学校的路程为s（s为常数），则y， ∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意； D．设铁丝的长度为a（a为常数），则， ∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式． 3．（2024•海淀区校级二模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 　 　． 【分析】根据M，N，S，T四位同学的“单词的记忆效率”y与复习的单词个数的情况的图表来判断． 【解答】解：由图可知：M同学的单词记忆效率最高，但复习个数最少，T同学的复习个数多，但记忆效率最低，N、S两位同学的记忆效率基本相同，但S同学复习个数较多，所以四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S． 【点评】本题主要考查了函数的图象，正确理解题意是解题的关键． 4．（2024•丰台区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下： ①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1； ②当x＞﹣3时，y有最小值； ③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①②③通过观察函数图象观察判断即可； ④写出点P所在的函数的表达式，并画出图象，根据它们交点的个数即可得出答案． 【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，故①错误； ②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，故②正确； ③将该函数图象向右平移1个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣1，0）的点过原点， 将该函数图象向右平移3个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣3，0）的点过原点， 故③正确； ④令m＝x，y＝﹣m﹣1， 则y＝﹣x﹣1， 如图所示，y＝﹣x﹣1的图象与原图象有三个交点， 故④错误； 所以正确的结论有2个． 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象，根据函数的图象分析其上坐标的特征是解题的关键． 5．（2024•西城区校级模拟）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（　　） A．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量y是x的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量y是x的函数，摩天轮的直径是70米 【分析】根据函数的定义可以判断变量y是x的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【解答】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：70﹣5＝65m． 故选：C． 【点评】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2023•平谷区二模）如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满4水杯．现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为 y1（毫升），水杯中的水量为y2（毫升），倒水的时间为x（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，y1，y2均是x的函数，它们随着x的变化而变化的过程可以描述为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据水壶中还有一半的水，可以装满2水杯，可以得出y1，y2随着x的变化而变化的函数图象． 【解答】解：∵水壶中还有一半的水，可以装满2水杯， ∴从开始倒水到水杯注满水的过程中，y1，y2均是x的函数，它们随着x的变化而变化的过程可以描述为：． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象，正确理解题意是解题的关键． 7．（2023•东城区二模）两个变量满足的函数关系如图所示． ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据各个情境，分别计算判断即可． 【解答】解：①去报停所需时间：900÷45＝20（分钟），回家的时间为：900÷60＝15（分钟），故①符合图中函数关系； ②注满所需时间为：900÷45＝20（秒），倒空所需时间为：900÷60＝15（秒），故②符合图中函数关系； ③开始20天，y随x的增大而增大，停工了10天，y的值不变，后15天，y随x的增大而增大，故③不符合图中函数关系． 综上所述，符合图中函数关系的是①②． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义． 动点问题的函数图象 8．（2023•大兴区二模）如图1，点P，Q分别从正方形ABCD的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动，图2是点P，Q运动时，△BPQ的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【分析】根据图2当x＝2时，P运动到AB中点，Q运动到C点，根据三角形的面积求出正方形的边长． 【解答】解：由图2可知，当x＝4时，点P运动到B点，当x＝2时，点P运动至AB的中点， ∵点Q的速度是点P速度的2倍， ∴BQ＝2AP， ∴当x＝2时，点Q运动至C点， 由图2可知，当x＝2时，S△BPQ＝4， 设正方形ABCD的边长为a， 则S△BPQBQ•BPa•a＝4， 解得a＝4， ∴正方形边长为4， 故选：C． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图中信息找到关键点． 9．（2024•海淀区校级三模）如图，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿AD﹣DC以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x，线段OP的长为y．则y与x关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分当0≤x≤2时，当2＜x≤4时，正确情况利用勾股定理表示出y即可得到答案． 【解答】解：如图1所示，当0≤x≤2时，过点O作OF⊥AD于F， ∵点O是边长为2的正方形ABCD的中心， ∴OF＝AF＝1， 由题意得，AP＝x，则FP＝|x﹣1|， 在Rt△OPF中，由勾股定理得； 如图2所示，当2＜x≤4时，过点O作OF⊥CD于F， ∵点O是边长为2的正方形ABCD的中心， ∴OF＝DF＝1， 由题意得，DF＝x﹣2，则FP＝|x﹣3|， 在Rt△OPF中，由勾股定理得； 综上所述，四个选项中，只有B选项的函数图象符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象． 10．（2024•朝阳区二模）如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段BP运动到点P，再沿线段PA运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的边长是（　　） A． B．4 C． D．2 【分析】当0＜x≤4时，y＝1，说明MA＝MC，点M在线段AC的垂直平分线上，连接AC、BD，点M先在BD上运动，利用图象求出BM＝4，MA＝2，作MH⊥AB于H，求出MH＝2，说明点H与点A重合，在根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：当0＜x≤4时，y＝1，即1， ∴MA＝MC， ∴点M在线段AC的垂直平分线上， 连接AC、BD，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD垂直平分AC， ∴点M先在BD上运动，且BM＝4， ∵当点P运动到点A处时，x＝6， ∴MA＝6﹣4＝2， 作MH⊥AB于H， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABM＝30°， ∴MHBM＝2， ∴点H与点A重合， ∴AB2， 即菱形ABCD的边长为2． 故选：C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 一次函数的图象与性质 11．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为（﹣4，0），（﹣2，0），（3，0）．给出下面四个结论： ①当y＞0时，﹣2＜x＜3； ②当时，y随x的增大而增大； ③点M（m，m+2）在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】根据图象即可判断结论①②； 将点M（m，m+2）代入，求出一次函数和图象的交点，即可判断③； 根据图象与x轴的交点，判断平移后是否经过原点，即可判断④． 【解答】由图象可得， 当y＞0时，﹣2＜x＜3或x＜﹣4，故①错误； 当 时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵M（m，m+2）， ∴点M在一次函数y＝x+2的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点， ∴点M（m，m+2）在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点（﹣2，0）， ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点（0，0），故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．结合函数图象逐个分析即可． 12．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣1，4），与函数y＝2x的图象交于点（1，m）． （1）求m的值和函数y＝ax+b（a≠0）的解析式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝kx﹣k+2（k≠0）的值大于函数y＝ax+b的值，且小于函数y＝2x的值，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）把（1，m）代入数y＝2x得m＝2，用待定系数法可得y＝﹣x+3； （2）求出函数y＝kx﹣k+2图象过（1，2），再画出图象可得答案． 【解答】解：（1）把（1，m）代入数y＝2x得：m＝2， 把（﹣1，4），（1，2）代入y＝ax+b得： ， 解得， ∴y＝﹣x+3； （2）在y＝kx﹣k+2中，令x＝1时，y＝2， ∴函数y＝kx﹣k+2图象过（1，2）， 如图： 由图可得，k的取值范围是﹣1＜k＜2且k≠0． 【点评】本题考查两条直线相交或平行，解题的关键是数形结合思想的应用． 13．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，4）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值与一次函数y＝kx+b（k≠0）的值的差大于1，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k，再将点（2，4）代入yx+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）求得直线y＝x+n经过点（2，5）时的n的值，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象平移得到， ∴k， 又∵一次函数yx+b的图象经过点（2，4）， ∴1+b＝4． ∴b＝3， ∴这个一次函数的表达式为yx+3； （2）把（2，5）代入y＝x+n，求得n＝3， ∴直线y＝x+3与直线yx+3的交点为（0，3）， ∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值与一次函数y＝kx+b（k≠0）的值的差大于1， ∴n≥3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 14．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（0，2）． （1）求该一次函数的解析式； （2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+3（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）通过待定系数法将A（3，5），B（0，2）代入解析式求解即可． （2）把点（3，5）代入y＝mx+3求得m的值，观察图象即可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵将A（3，5），B（0，2）的坐标代入y＝kx+b， 得 解得 ∴该一次函数的解析式为y＝x+2； （2）把点（3，5）代入y＝mx+3，得m， ∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+3（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值， ∴m的取值范围是． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 15．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝﹣2x，且经过点A（1，2）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值都大于一次函数y＝mx+1的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据题意一次函数为y＝﹣2x+b，代入A（1，2），根据待定系数法即可求得； （2）根据点A（1，2）结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝﹣2x， ∴k＝﹣2， ∵函数图象经过点A（1，2）， ∴2＝﹣2+b． ∴b＝4． ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+4； （2）把A（1，2）代入y＝mx+1，得2＝m+1， 解得m＝1， ∵当x＜1时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值都大于一次函数y＝mx+1的值， ∴﹣2≤m≤1且m≠0． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 16．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象平移得到，且经过点A（1，﹣3），与过点（0，3）且平行于x轴的直线交于点B． （1）求该函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于y＝kx+b（k≠0）的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣2，再将A（1，﹣3）代入y＝﹣2x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式，然后把y＝3代入解析式即可求得点B的坐标； （2）求得函数y＝﹣x+n分别过点（﹣2，3）和点（﹣2，5）时的n的值，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象平移得到， ∴k＝﹣2， ∵一次函数y＝﹣2x+b经过点A（1，﹣3）， ∴﹣3＝﹣2+b， ∴b＝﹣1． ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x﹣1， 把y＝3代入得，3＝﹣2x﹣1，解得x＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，3）． （2）把（﹣2，3）代入y＝﹣x+n得，n＝1， 把（﹣2，5）代入y＝﹣x+n得，n＝3， ∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于y＝kx+b（k≠0）的值且小于5， ∴1≤n≤3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 17．（2024•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0，直接写出m的值． 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式即可； （2）根据题意得到3m3﹣1和﹣m0，然后解不等式可确定m的值． 【解答】解：（1）把A（1，0）和B（2，1）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x﹣1； （2）∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值， 3m3﹣1， 解得m， ∵当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0 ∴﹣m0， 解得m， ∴m． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． 18．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）先根据直线平行得出k＝2，再将点A（1，3）代入y＝2x+b，求出b的值，即可求得一次函数的解析式． （2）根据点（1，3）结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行， ∴k＝2， 将点A（1，3）代入y＝2x+b， 得2+b＝3，解得b＝1， ∴这个一次函数的表达式为y＝2x+1； （2）把点A（1，3）代入y＝mx，求得m＝3， ∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值， ∴m≥3． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数和不等式的关系，数形结合解答此题的关键． 19．（2024•西城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣1与交于点A（2，m）． （1）求k，m的值； （2）已知点P（n，0），过点P作垂直于x轴的直线交直线y＝kx﹣1于点M，交直线于点N．若MN＝2，直接写出n的值． 【分析】（1）将点A的坐标代入两个表达式求得m，k的值； （2）根据点P的坐标，表示点M，N的坐标，由MN＝2，即可得出|n﹣1|＝2，解方程即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣1与交于点A（2，m）， 将A（2，m）代入得m＝1， 将A（2，1）代入y＝kx﹣1得1＝2k﹣1， 解得k＝1； （2）过点P作垂直于x轴的直线交直线y＝x﹣1于点M，交直线于点N， ∵点P（n，0）， ∴M（n，n﹣1），N（n，）， ∵MN＝2， ∴|n﹣1|＝2， 解得n＝6或﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，线段的长度；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． 一次函数的实际应用 20．（2024•海淀区二模）某种型号的纸杯如图1所示，若将n个这种型号的杯子按图2中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为H．则H与n满足的函数关系可能是（　　） A．H＝0.3n B． C．H＝10﹣0.3n D．H＝10+0.3n 【分析】由图1可知一个杯子的高度为10+0.3，由图2可得叠在一起的杯子的总高度H． 【解答】解：由题意得，H＝10+0.3n， 故选：D． 【点评】本题考查了函数关系式，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 21．（2024•海淀区校级模拟）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 分钟时，两仓库快递件数相同． 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6， ∴y1＝6x+40； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4， ∴y2＝﹣4x+240， 联立， 解得， ∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：20 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 求函数的解析式 22．（2024•大兴区二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定；面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】分别列出函数关系式，然后根据二次函数的定义进行判断即可． 【解答】解：①扇形的圆心角一定；面积S与半径r满足S＝πr2，是二次函数，符合题意； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x满足S＝x（10﹣x），是二次函数，符合题意； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t满足s＝vt，是一次函数，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质及矩形的性质的知识，解题的关键是列出二次函数关系式，难度不大． 23．（2024•门头沟区二模）某函数图象满足过点（0，2），且当x＞0时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式 　 　． 【分析】可以写一个二次函数，使二次函数的图象的开口向上，顶点坐标为（0，2）． 【解答】解：根据题意，二次函数y＝x2+2满足条件． 故答案为：y＝x2+2．（答案不唯一） 【点评】本题考查了比例函数的性质：熟练掌握一次函数、二次函数与反比例函数的性质是解决问题的关键． 24．（2024•海淀区校级三模）如图，已知点A（1，4），B（5，4），点P是线段AB上的整点（不与A，B重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（x＞0）经过点P，写出一个符合条件的k的值：　 　． 【分析】由A（1，4），B（5，4）可得AB∥x轴，得到点P的纵坐标为4，再根据横坐标1＜x＜5，横坐标为整数，求出点P的坐标，即可求解． 【解答】解：∵A（1，4），B（5，4）， ∴AB∥x轴， ∵点P在线段AB上， ∴点P的纵坐标为4，且横坐标1＜x＜5， ∵点P的横坐标为整数， ∴x＝2或3或4， ∴点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（4，4）， ∴k的值为8，12，16， 故答案为：8或12或16（任选一个即可）． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 25．（2024•朝阳区校级二模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为 　 　． 【分析】根据反射定律，∠ABD＝∠CBE，设点B的坐标为（0，b）可得，解得b，继而得到直线AB解析式，根据两条直线平行k值相等，设直线CD的解析式为y，将点C（﹣1，0）代入解得n值，继而可得直线CD的解析式． 【解答】解：设点B的坐标为（0，b），过点B作y轴的垂线，过点A作垂足于该直线的垂线相交于点D，作CE⊥BD，垂足为E， 根据反射定律，∠ABD＝∠CBE， ∴tan∠ABD＝tan∠CBE， ∴，解得b， 设直线AB的解析式为y＝kx+m，将点A（﹣3，2）和B（0，）代入得： ，解得， ∴直线AB的解析式为y， ∵AB∥CD， ∴直线AB和CD解析式中的k值相等， 设直线CD的解析式为y，将点C（﹣1，0）代入得： ，解得n， ∴直线CD的解析式为：yx． 故答案为：yx． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求出B点坐标是关键． 26．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式； （2）根据点结合图象即可求得． 【解答】（1）解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：把代入，求得， ∴函数与一次函数的交点为， 把点代入，求得， 当两直线平行时，， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 二次函数的图象及性质 27．（2024•朝阳区校级二模）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线yx2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【分析】根据二次函数的性质可知，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线yx2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长． 【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线yx2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点， ∴，Δ＝b2﹣4×（）×（﹣b2+2c）≥0， ∴b＝c+1，b2≤4c， ∴（c+1）2≤4c， ∴（c﹣1）2≤0， ∴c﹣1＝0， 解得c＝1， ∴b＝c+1＝2， ∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）| ＝|4b+c﹣1﹣2+3b| ＝|7b+c﹣3| ＝|7×2+1﹣3| |14+1﹣3| ＝12， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值． 28．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2m，y1），（3﹣m，y2）在抛物线y＝x2+bx+c上． （1）当m＝2时，y1＝y2，求b的值； （2）若对于大于1的实数m，都有y1＞y2，求b的取值范围． 【分析】（1）利用抛物线的对称性求得即可； （2）由m＞1可知3﹣m＜2m，由y1＞y2，可知点（2m，y1）到对称轴的距离大于点（3﹣m，y2）到对称轴的距离，即可得出，结合m＞1即可求得b的取值范围． 【解答】解：（1）∵当 m＝2时，2m＝4，3﹣m＝1，y1＝y2， ∴抛物线 y＝x2+bx+c 经过 （4，y1）和（1，y2）， ∴抛物线对称轴为， ∴b＝﹣5； （2）依题意，点（2m，y1），（3﹣m，y2） 在抛物线 y＝x2+bx+c 上． ∵m＞1， ∴3﹣m＜2m， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，y1＞y2， ∴， ∴m＞﹣b﹣3， ∵m＞1， ∴﹣b﹣3≤1， ∴b≥﹣4． ∴b的取值范围是b≥﹣4． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 29．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，点，B（2t，n），C（x0，y0）在抛物线上． （1）当t＝2时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于6＜x0＜7，都有m＜y0＜n，求t的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点A（，m）在对称轴的左侧，点B（2t，n），在对称轴的右侧，C（x0，y0）到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，小于点B到对称轴的距离，据此即可得到∴，即|x0﹣t|＜t，然后分当x0＞t时，则t＜x0＜2t，当x0＜t时，则0＜x0，结合6＜x0＜7，即可求得t的取值范围是3.5≤t≤4或t≥14． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵点A（1，m），B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2， ∴点A（1，m）到对称轴的距离小于点B（4，n）到对称轴的距离， ∴m＜n； （2）由题意可知，点A（，m）在对称轴的左侧，点B（2t，n），在对称轴的右侧， ∵对于6＜x0＜7，都有m＜y0＜n， ∴C（x0，y0）到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，小于点B到对称轴的距离， ∴， ∴|x0﹣t|＜t， 当x0＞t时，则t＜x0＜2t， ∵6＜x0＜7， ∴，解得3.5≤t≤4； 当x0＜t时，则0＜x0． ∵6＜x0＜7， ∴， ∴t≥14， ∴t的取值范围是3.5≤t≤4或t≥14． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． 30．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）和点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t． （1）若m＝1，n＝6，求t的值； （2）已知点C（1，y1），在该抛物线上，若m＞﹣2，n＜﹣2，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式，从而求得t的值； （2）根据C与D和对称轴的距离判断y1，y2的大小． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，1）和点B（4，6）代入y＝ax2+bx﹣2， 得：， 解得：， ∴； （2）∵a＞0， ∴当x＞t时，y随x的增大而增大， 令x＝0，得y＝﹣2， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣2）． ∵m＞﹣2，n＜﹣2，﹣1＜0＜4， ∴（﹣1，m），（0，﹣2）在对称轴的左侧， 设点（0，﹣2）关于对称轴x＝t的对称点坐标（x0，﹣2）， ∴t， ∴x0＝2t， ∴点（0，﹣2）关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t，﹣2）， ∵n＜﹣2， ∴2t＞4， ∴t＞2， ∴点C（1，y1）在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 设点C（1，y1）关于对称轴x＝t的对称点坐标（x′0，y1）， ∴t， ∴x′0＝2t﹣1， ∴点C（1，y1）关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t﹣1，y1）， ∴ ∴， ∴y1＞y2． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式和二次函数的大小比较，掌握点与对称轴的距离是解题的关键． 31．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+c上． （1）若m＝n，求b的值； （2）若点T（x0，p）在抛物线上，对于0＜x0＜1，都有m＜p＜n，求b的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由m＝n可得对称轴是直线xb，进而可以得解； （2）依据题意，由点M（2，m），N（4，n），T（x0，p）在抛物线 y＝x2﹣2bx+c 上，可得m＝4﹣4b+c，n＝16﹣8b+c，．再由m＜p＜n，进而作差分析判断可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵m＝n，且抛物线过点M（2，m），N（4，n）， ∴对称轴是直线xb． ∴b的值为3． （2）∵点M（2，m），N（4，n），T（x0，p）在抛物线 y＝x2﹣2bx+c 上， ∴m＝4﹣4b+c，n＝16﹣8b+c，． ∵m＜p， ∴p﹣m＞0．即 ． ∴（x0﹣2）（x0+2﹣2b）＞0． ∵0＜x0＜1， ∴x0﹣2＜0． ∴x0+2﹣2b＜0． ∴x0＜2b﹣2． ∴2b﹣2≥1． ∴． ∵p＜n， ∴p﹣n＜0．即 ． ∴（x0﹣4）（x0+4﹣2b）＜0． 又 0＜x0＜1， ∴x0﹣4＜0． ∴x0+4﹣2b＞0． ∴x0＞2b﹣4． ∴2b﹣4≤0． ∴b≤2． 综上所述，b的取值范围是． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握a＞0时，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小． 32．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a≠0）的对称轴为直线x＝t． （1）①t＝　 　（用含a的式子表示）； ②当t＝1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； （2）已知点（3，y1），，在该抛物线上，若a＞0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【分析】（1）①依据题意，可得对称轴是直线xt，进而可以得解； ②依据题意，当t＝1时，即1，求出a得出解析式，再令y＝0，进而可以得解； （2）依据题意，由a＞0，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，又对称轴是直线x，且a＞0，可得|3|＝1，||，|2|，进而判断可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，对称轴是直线xt． ∴t． 故答案为：． ②由题意，当t＝1时，即1． ∴a＝﹣1． ∴抛物线为y＝﹣x2+2x﹣1． ∴令y＝0，则0＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2． ∴x＝1． ∴该抛物线与x轴的公共点的坐标为（1，0）． （2）∵a＞0， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． 又对称轴是直线x，且a＞0， ∴|3|＝1，||，|2|． 又1， ∴y2＜y1＜y3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 33．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝t． （1）若3a+2b＝0，求t的值； （2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在该抛物线上．若a＞c＞0，且3a+2b+c＝0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由3a+2b＝0，从而b，可得t，进而得解； （2）依据题意，由3a+2b+c＝0，故b，从而t，又a＞c＞0，可得0，则t＜1，结合点（﹣1，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+1，y1），进而2t+1＜3，所以t＜2＜2t+1＜3，再由a＞0，抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，则当x≥t时，y随x增大而增大，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵3a+2b＝0， ∴b． ∴t． ∴t． （2）由题意，∵3a+2b+c＝0， ∴b． ∴t． 又∵a＞c＞0， ∴0， ∴t＜1． ∵点（﹣1，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+1，y1）， ∴2t+1＜3． ∴t＜2＜2t+1＜3． ∵a＞0， ∴当x≥t时，y随x增大而增大． ∴y2＜y1＜y3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键． 反比例函数的图象与性质 34．（2024•丰台区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0 【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1），B（x2，y2）所在的象限即可得到答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，而x1＜0＜x2， ∴点A（x1，y1）在第三象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第一象限反比例函数的图象上， ∴y2＞0＞y1， ∴y1﹣y2＜0， 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 35．（2024•东城区校级模拟）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则下列结论中正确的是（　　） A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y中，k＝﹣2＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴（x1，y1），（x2，y2）两点在第二象限，点（x3，y3）在第四象限， ∴y3＜0＜y1＜y2． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 36．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　） A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y D．y＝x2 【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数y的图象在二四象限，不满足条件， 故选：C． 【点评】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除． 37．（2024•北京模拟）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意； B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 38．（2024•西城区二模）如图，A（2，m），B（3，2）两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA，OB及反比例函数图象上A，B两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 　 　． 【分析】利用反比例函数系数k＝xy求得A（2，3），求得直线OA为y1x，OB为y2x，当x＝1时，y1，y2，当x＝2时，y2，结合图象即可求解． 【解答】解：∵A（2，m），B（3，2）两点在反比例函数的图象上， ∴k＝2m＝3×2， ∴k＝6，m＝3， ∴反比例函数为y，A（2，3）， ∵A（2，3），B（3，2）， ∴直线OA为y1x，OB为y2x， 当x＝1时，y1，y2， 当x＝2时，y2， ∴线段OA，OB及反比例函数图象上A，B两点之间的部分围成的区域（不含边界）中整点有（1，1），（2，2）． 故答案为：（1，1）和（2，2）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 39．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，m）和（4，2）在反比例函数图象上，则m＝　 　． 【分析】根据比例函数y（k≠0）中的系数k＝xy得到关于m的方程，求解即可得到答案． 【解答】解：∵点（1，m）和（4，2）在反比例函数图象上， ∴k＝4×2＝m， 解得m＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，明确反比例函数y（k≠0）中k＝xy是解决问题的关键． 29．（2024•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点（2，4）是函数y＝k1x（k1≠0）和y（k2≠0）的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 　 　． 【分析】根据点（2，4）是函数y＝k1x（k1≠0）和y（k2≠0）的图象的一个交点，求出两个函数的解析式，再联立方程组，解方程组求出另一交点坐标． 【解答】解：∵函数y＝k1x经过点（2，4）， ∴2k1＝4， 解得k1＝2， ∴y＝2x； ∵y（k2≠0）的图象经过点（2，4）， ∴k2＝2×4＝8， ∴y， 联立方程组， 解得或， ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）， 故答案为：（﹣2，﹣4）． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，关键时求出一次函数和反比例函数的解析式． 一次函数与反比例函数的综合应用 40．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G与函数y＝x+b（x＞0）的图象H交于点A（1，3）． （1）求k，b的值； （2）已知直线y＝nx（n≠0）与图象G、H分别交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），若y1＞y2，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得直线y＝nx经过点A时的n的值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）将A（1，3）分别代入，y＝x+b， 得3，3＝1+b， 解得k＝3，b＝2； （2）把点A（1，3）代入y＝nx，求得n＝3， 观察图象，若y1＞y2，则n＞3． 故n的取值范围是n＞3． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 41．（2024•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于点（4，0），且与反比例函数y的图象在第四象限的交点为（n，﹣1）． （1）求b，m的值； （2）点P（xp，yp）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一个动点，且满足yp＜4，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围． 【分析】（1）将（4，0）代入y＝﹣x+b得，﹣4+b＝0，解出方程即可求出b的值，将（n，﹣1）代入刚刚求出的一次函数解析式即可求出n的值，最后将新求出的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值． （2）根据yp＜4，得出0＜xP＜5，连接OD，过点O作OC⊥BD于C，当OP⊥BC，先求出点C坐标为（5，﹣1），根据两点间距离公式可得：OD，即可算出OP的取值范围． 【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b． 解得：b＝4． ∴一次函数解析式为y＝﹣x+4， 把（n，﹣1）代入y＝x+4．得﹣l＝﹣n+4． 解得：n＝5． 把（5，﹣1）代入y得，﹣1， 解得：m＝﹣5； ∴b＝4，m＝﹣5． （2）∵yp＜4，即xP+4＜4， 解得：0＜xP＜5． ∴点P在线段BD上运动， 连接OD，过点O作OC⊥BD于C， 由﹣x+4，解得：x＝5，代入y＝﹣x+4，得：y＝﹣1， ∴A（4，0），B（0，4），D （5，﹣1）， ∴OA＝OB＝4， ∴AB4， ∴S△OABOA•OBAB•OC， ∴4×4＝4OC， ∴OC＝2， ∵O（0，0），D （5，﹣1）， ∴OD， ∴OC≤OP＜OD， ∴2OP． 【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 42．（2024•海淀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N． （1）求k和p的值； （2）设点M的横坐标为m． ①求点N的坐标；（用含m的代数式表示） ②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围． 【分析】解：（1）将点P的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解； （2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），MN∥x轴，故点N的纵坐标为，即可求解； ②△OMN的面积MN×yM（m）（m＞0），即可求解． 【解答】解：（1）将点P的坐标代入y（x＞0）得：2＝1×p， 解得：p＝2， 故点P（1，2）； 将点P的坐标代入y＝kx得：2＝k×1，解得：k＝2； （2）①点M的横坐标为m，则点M（m，）， ∵MN∥x轴，故点N的纵坐标为， 将点N的纵坐标代入直线y＝2x得：2x，解得：x， 故点N的坐标为（，）； ②△OMN的面积MN×yM|（m）|（m＞0）， 解得：m或m， 故0＜m或m． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 43．（2024•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y（x＞0）的图象的交点P位于第一象限． （1）若点P的坐标为（1，6）， ①求m的值及点A的坐标； ②　 　； （2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1， ①写出点P的坐标（用含k的式子表示）； ②当PQ≤PA时，求m的取值范围． 【分析】（1）①把P（1，6）代入函数y（x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）中，令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标； ②把P的坐标代入y＝kx+2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得的值； （2）①把x＝1代入y＝kx+2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）； ②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2，若PQ＝PA，则1，根据平行线分线段成比例定理则1，得出MN＝MA＝3，即可得到21＝3，解得k＝1，根据题意即可得到当1时，k≥1，则m＝3k≥3． 【解答】解：（1）①令y＝0，则kx+2k＝0， ∵k＞0，解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， ∵点P的坐标为（1，6）， ∴m＝1×6＝6； ②∵直线l1：y＝kx+2k（k＞0）函数y（x＞0）的图象的交点P，且P（1，6）， ∴6＝k+2k，解得k＝2， ∴y＝2x+4， 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， ∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴PA，PB， ∴， 故答案为； （2）①把x＝1代入y＝kx+2k得y＝3k， ∴P（1.3k）； ②由题意得，kx+2k＝2kx﹣2， 解得x＝2， ∴点Q的横坐标为2， ∵21（k＞0）， ∴点Q在点P的右侧， 如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2， 若PQ＝PA，则1， ∴1， ∴MN＝MA， ∴21＝3，解得k＝1， ∵MA＝3， ∴当1时，k≥1， ∴m＝3k≥3， ∴当PQ≤PA时，m≥3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函数图象解决问题是本题的关键． 1．（2024•西城区二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【分析】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【解答】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． 2．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点A（﹣1，6）和B（3，m），则m的值为 　 　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：∵函数的图象经过点A（﹣1，6）和B（3，m）， ∴k＝﹣1×6＝3m， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 3．（2024•西城区校级二模）已知一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10，则y1＞y2的解集是 　 ． 【分析】根据y1＞y2建立不等式求解，即可解题． 【解答】解：∵y1＞y2， ∴4x+5＞3x+10， 解得x＞5， 故答案为：x＞5． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解一元一次不等式，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 4．（2024•顺义区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2， ∴反比例函数图象上分布在第一三象限， 此时k＞0． 故答案为：k＞0． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 5．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（3，y1）和B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵3＞2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 6．（2023•平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y与线段AB有公共点，请写出一个满足条件的k的值 　 　． 【分析】求得A和B分别在双曲线上时对应的k的值，根据双曲线y与线段AB有公共点，即可得出k的范围． 【解答】解：当（1，1）在y上时，k＝1， 当（2，2）在y的图象上时，k＝4． 若双曲线y与线段AB有公共点，则k的取值范围是1≤k≤4． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时k的值是解题的关键． 7．（2024•东城区二模）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，场地圆心A的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令[s，α]（s≥0，0°＜α＜180°）完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度α，执行任务．机器人位于坐标原点O处，且面对x轴正方向． （1）若给机器人下达指令[4，90°]，则机器人至少重复执行 　 　次该指令能回到坐标原点O处； （2）若给机器人下达指令[s，a]，使机器人重复执行该指令回到坐标原点O处，且s最大，则应给机器人下达的指令是 　 　． 【分析】（1）根据机器人应移动到点到原点的距离为4，根据旋转方向进行移动即可； （2）先确定运动距离和方向角，则可得出结果． 【解答】解：（1）如图，给机器人下达指令[4，90°]， 则机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处； 故答案为：4． （2）如图， 给机器人下达指令是[10，120°]． 故答案为：[10，120°]． 【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，熟练掌握坐标与图形变化是解题的关键． 8．（2024•西城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A． B．8 C．10 D． 【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴， ∴∠BHC＝90°， ∵点D（﹣2，3），AD＝5， ∴DE＝3， ∴AE4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠DCH， ∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°， ∠CPD＝∠APO， ∴∠DCP＝∠DAE， ∴∠CBH＝∠DAE， ∵∠AED＝∠BHC＝90°， ∴△ADE≌△BCH（AAS）， ∴BH＝AE＝4， ∵OE＝2， ∴OA＝2， ∴AF＝2， ∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°， ∴∠APO＝∠BAF， ∴△APO∽△BAF， ∴， ∴， ∴BF， ∴B（4，）， ∴k， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握图形平移的规律，解不等式是解题的关键． （1）根据图形的平移可确定的值，再根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，，根据不等式的性质即可求解． 【解答】（1）解：根据图象平移可得，且经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数图象的解析式为； （2）解：根据题意，， 解得，， ∵， ∴， 当时，， ． 10．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【分析】（）利用函数的对称性即可求解； （）把点代入函数式可得，，进而得，即得或，根据可得，即得，设点关于抛物线的对称轴的对称点为，利用对称性可得，根据当时，随的增大而减小及即可求解； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】（1）解：点和点在抛物线上，且， ， ； （2）解：，理由如下： ∵抛物线过点， ，， ， ， 或， ∵， ，即， 设点关于抛物线的对称轴的对称点为， 点在抛物线上， 点也在抛物线上， 由，得， ， 当时，随的增大而减小， 点在抛物线上，且， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49 学科网（北京）股份有限公司 $$