精品解析：2024年山东省泰安市岱岳区中考二模数学试题

2024年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（ ） 编号 1 2 3 4 检查结果 A. 1号汤圆 B. 2号汤圆 C. 3号汤圆 D. 4号汤圆 2. 2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②几何体，再用一个平面截它如图③，得到如图④的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图④“阳马”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 8. 如图，为的直径，弦交于点E，，垂足为E点，， ，则（　　） A. 1 B. C. D. 2 9. 《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案： ①设井深为x尺，列方程为； ②设绳长为y尺； ③设绳长、井深分别为a尺，b尺， 其中正确是（　　） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 11. 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A. 或4 B. 0或6 C. 1或3 D. 或6 12. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是________________． 14. 已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是_____． 15. 如图，小明想利用“”这三个条件作．小明同学先作出了和，再用圆规以B点为圆心，以的长为半径画弧，发现与射线有两个交点和，请你帮助小明计算的长是_____________． 16. 如图，无人机在离地面的点D处，测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶部点C的俯角为，已知操控者A和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度是___________m．（结果精确到1米．参考数据：） 17. 如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为____________________． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，当点B的对应点落在矩形的对称轴上时，则的长为____________________． 三、解答题：（本题7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：． （2）解不等式组：． 20. “强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题朗诵比赛．该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次调查活动共抽取 人； （2）条形统计图中的 ；“”等所在扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 22. 义务献血是我们每个健康公民光荣的义务．我区的一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到我市中心血库．已知甲、乙两个采血点到中心血库的路程分别为、，经了解获得甲、乙两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：甲采血点运送车辆的平均速度是乙采血点运送车辆的平均速度的1.6倍； 信息二：甲、乙两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时． 求甲、乙两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ 23. 如图，中，于E，于F，与分别相交于． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，若是边长为4的等边三角形，求的长． 24. 如图①，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图②Q是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标； （3）在（2）的条件下，若N点在直线的上方，连结， ①若与相似，请求出点Q的坐标； ②将沿翻折，M的对应点为，是否存在点Q，使得恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出出Q的坐标． 25. 综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（ ） 编号 1 2 3 4 检查结果 A. 1号汤圆 B. 2号汤圆 C. 3号汤圆 D. 4号汤圆 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数负数、绝对值的意义，根据绝对值越小的数最接近标准质量，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴其中最接近标准质量的是2号汤圆， 故选：B． 2. 2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记算法将恢复原数，然后得出答案即可． 详解】解：， 即原数中0的个数为5个． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类型法则、完全平方公式逐项判断，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项是不正确，不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项是不正确，不符合题意； D、，故该选项是不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，再用一个平面截它如图③，得到如图④的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图④“阳马”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可．本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图④“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱， 故选：． 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴，即， 故选：B． 6. 如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质可知，再根据圆周角的性质及直角三角形的性质即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，掌握切线的性质及圆周角的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选． 7. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15， 则中位数为：岁， 故统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 8. 如图，为的直径，弦交于点E，，垂足为E点，， ，则（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形．根据为的直径，，可得，，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选：A． 9. 《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案： ①设井深为x尺，列方程为； ②设绳长为y尺； ③设绳长、井深分别为a尺，b尺， 其中正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺． 【详解】解：①设井深尺，两次测量绳长不变，可列方程． ②设绳长为尺，两次测量井深不变，可列方程； ③设绳长、井深分别为尺，尺，列方程组为， 其中正确的是②③， 故选：C． 10. 如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．先证明，从而阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【详解】解：令半圆的圆心为， 在中，,， ∴, ∵是半圆的直径， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴,, ∴即， ∴π． 故选． 11. 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A. 或4 B. 0或6 C. 1或3 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 12. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是________________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：盖住部分化简的结果为： ， 故答案为：1． 14. 已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】根据第二象限坐标符号特点，从而确定a、c的符号，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根. 故答案为有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 15. 如图，小明想利用“”这三个条件作．小明同学先作出了和，再用圆规以B点为圆心，以的长为半径画弧，发现与射线有两个交点和，请你帮助小明计算的长是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：6． 16. 如图，无人机在离地面的点D处，测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶部点C的俯角为，已知操控者A和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度是___________m．（结果精确到1米．参考数据：） 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作，垂足为F，延长交于点G，在中，求出的长，然后在中，求出的长，进而即可求解． 【详解】解：如下图，过点A作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：，， 在中，， ，  ， 中，， ， ， 教学楼的高度是18m， 故答案为：18． 17. 如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标；然后，将点的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∴点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，则． ∵点均在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴该直线方程是． ∵点的横坐标相同，都是3， ∴当时，，即，则， ∴． ， ∴当时，， 即点的坐标为． ∴的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，当点B的对应点落在矩形的对称轴上时，则的长为____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理与折叠问题，分解析图中当点落在矩形的对称轴上，当点落在矩形的对称轴上时，两种情况根据折叠的性质和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，当点落在矩形的对称轴上时，则此时四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， 中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图所示，当点落在矩形的对称轴上时，过点作于K，延长交于F，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题：（本题7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 20. “强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛．该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次调查活动共抽取 人； （2）条形统计图中的 ；“”等所在扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1） （2）7； （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数； （2）用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； 用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图； （4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 ， “”等所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：7； 【小问3详解】 A等级的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示 【小问4详解】 树状图如下： ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴， ∴一次函数解析式为． 把代入，得． ∴． 把代入，得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 解：当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 22. 义务献血是我们每个健康公民光荣的义务．我区的一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到我市中心血库．已知甲、乙两个采血点到中心血库的路程分别为、，经了解获得甲、乙两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：甲采血点运送车辆的平均速度是乙采血点运送车辆的平均速度的1.6倍； 信息二：甲、乙两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时． 求甲、乙两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ 【答案】甲采血点运送车辆的平均速度是，乙采血点运送车辆的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙采血点运送车辆的平均速度是，则甲采血点运送车辆的平均速度为，表示出时间，再甲、乙两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时建立方程即可． 【详解】解：设乙采血点运送车辆的平均速度是，则甲采血点运送车辆的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲采血点运送车辆的平均速度是，乙采血点运送车辆的平均速度为． 23. 如图，中，于E，于F，与分别相交于． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，若是边长为4的等边三角形，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据垂直定义得到，根据平行四边形的性质得到，然后根据相似三角形的判定可证得结论； （2）先根据等腰三角形的性质和平角定义得到，再利用相似三角形的对应角相等得到，证明得到，然后根据菱形的判定可得结论； （3）如图，连接交于点O，根据菱形的性质和等边三角形的性质得，，，，，再根据勾股定理求得，再证明是等边三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：∵于E，于F， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【小问3详解】 解：如图，连接交于点O， 由（2）可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵是边长为4的等边三角形，， ∴，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 如图①，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图②Q是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标； （3）在（2）的条件下，若N点在直线的上方，连结， ①若与相似，请求出点Q的坐标； ②将沿翻折，M的对应点为，是否存在点Q，使得恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出出Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①点Q的坐标为或；② 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为，得到即，，得到，即可求出，从而得到抛物线的解析式； （2）先求出，先用待定系数法求得直线的解析式为，由，轴，点M在直线上，点N在抛物线上可得，，分当为对角线和为对角线，两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可； （3）①由（2）知，，，，从而得到，，．若与相似，则或，分两种情况讨论：，则 ，代入即可求出t的值，从而得到点Q的坐标；若，则，利用勾股定理和三角函数求得，的长，再分别代入即可求出t的值，从而得到点Q的坐标． ②点N在直线上方，由折叠可得到，用含t的式子表示，的长，从而可以列出关于t的方程，求解即可得到点Q的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴与x轴交于点E， 即， ， ， ， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：令 解得， 根据题意得：， 令，则 ， 设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴，解得： ∴直线的解析式为 ∵，轴 ∴点M，点N的横坐标都为t ∵点M在直线上，点N在抛物线上 ∴，， 如图，当为对角线时， ， 当时，是平行四边形， ，即， ， 无解，此时，不存在点Q使得点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， 同理得：当时，是平行四边形， ，即， 解得：或（舍去）， ； 综上，当时，是平行四边形， 【小问3详解】 解：①由（2）知，，，， ∴，，， ∵ ∴若与相似，则或 ∴分两种情况讨论： 如图，时， 即 解得：，（舍去） ∴点Q的坐标为 ②如图，， 则 ∵在中，， ，，， ， ∴在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去） ∴点Q的坐标为 综上所述，点Q的坐标为或； ②解：点N在直线上方时，如图 ∵轴， ∴， 由折叠可得， ∴， ， ， 解得：，（舍去） ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：（1）能通过二次函数的特殊点的坐标；（2）通过坐标得到线段的长，挖掘题中的等量关系列出方程求解（即方程思想）；（3）分类讨论思想． 25. 综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由平移可知，，，，证明是的中位线，得到，即可得出结论； （2）根据正方形和平移的性质，证明，得到，，进而得出，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接 由平移可知，，，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ， 由平移可知，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：，理由如下： 由（2）得：，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$