专题16 任意角与弧度制及三角函数的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题16 任意角与弧度制及三角函数的概念6题型分类 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （一） 终边相同的角 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 题型1：终边相同的角 1-1．（2024高二上·安徽合肥·学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一·全国·课后作业）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024·山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . （二） 角的象限问题 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 题型2：角的象限问题 2-1．（2024高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一下·宁夏银川·期中）已知是锐角，那么是（    ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 2-3．（2024高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 2-4．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2-5．（2024·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2-6．（2024高三上·北京·开学考试）已知点落在角的终边上，且，则是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 （三） 弧长与扇形面积公式的计算 应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 题型3：弧长与扇形面积公式的计算 3-1．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为 . 3-2．（2024高一下·四川南充·期中）已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 3-3．（2024高一上·福建龙岩·阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为 平方米. 3-4．（2024高三上·湖北武汉·期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 . 3-5．（2024高一上·重庆北碚·期末）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为 . 题型4：扇形计算的最值问题 4-1．（2024高一上·山西朔州·期末）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是 . 4-2．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 4-3．（2024高一下·浙江温州·期中）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是 ，此时弦长 . 4-4．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4-5．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角 弧度． （四） 三角函数定义题 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 题型5：三角函数定义题 5-1．（2024高三上·广东深圳·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则 . 5-2．（2024高一上·天津武清·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 . 5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高三上·北京·阶段练习）已知角的终边为射线，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． （五） 象限符号与坐标轴角的三角函数值 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；． 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；． 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负． 题型6：象限符号与坐标轴角的三角函数值 6-1．（2024·四川达州·一模）写出一个同时满足下列两个条件的角 .（用弧度制表示） ①，②. 6-2．（2024高一上·北京大兴·阶段练习）已知，，则是第 象限角． 6-3．（2004·北京）已知，则下列不等关系中必定成立的是（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高三·全国·对口高考）若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 一、单选题 1．（2024·全国）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的有（    ）个． ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·新疆·一模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 5．（2024高三上·浙江·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（    ）    A．时， B．时， C．时， D．时， 6．（2024高三上·河北邢台·期末）已知锐角的顶点在原点，始边在轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·辽宁·阶段练习）2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会（成都世界大学生运动会）完美收官．在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标——“十八墨宝”．这组“水墨熊猫”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致．“十八般武艺”造就“十八墨宝”，花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等18个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱．其中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，则弓形的面积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（2024·四川绵阳·模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三上·重庆·阶段练习）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（    ）    A． B． C． D． 11．（2024高三上·河北承德·期中）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，圆锥的高分别为和，侧面积分别为和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 12．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（    ）         图1                   图2 A． B． C． D． 13．（2024·河北·模拟预测）已知两圆锥的底面积分别为、，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三上·河南·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高三上·福建·期中）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息.其中扇面的圆心角为，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（   ）    A．6 B．8 C．9 D．12 16．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）若扇形的周长等于40cm，则扇形面积的最大值是（    ）cm2. A．400 B．200 C．100 D．50 17．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 19．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三上·重庆渝北·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 21．（2024高三·全国·专题练习）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·辽宁·一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高三·全国·专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 24．（2024高三上·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 25．（2024高一下·河南焦作·期中）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 27．（2024高一下·陕西渭南·阶段练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．（2024高三上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点位于第（       ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 29．（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（2024高三下·江西·阶段练习）已知点是角终边上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（2024高一·全国·课后作业）设，角的终边与圆的交点为，那么（    ） A． B． C． D． 33．（2024·北京丰台·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．1 34．（2024高三·全国·对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 35．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知 是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（2024高二下·广东·期末）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（    ） A． B． C． D． 37．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知角的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 38．（2024高三·全国·对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角. 39．（2024·山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 40．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则劣弧所对应的扇形的面积为 ． 41．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长为40，则当扇形的面积最大时，它的半径和圆心角分别为 . 42．（2024·北京）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 43．（2024高三上·北京顺义·期中）已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， . 44．（2024高三上·重庆·阶段练习）若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为 ． 45．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 . 四、解答题 46．（2024高三·全国·专题练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 47．（2024高一·全国·课后作业）如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 48．（2024高一下·江西赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 49．（2024高三·全国·专题练习）已知角终边经过点，且．求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测 专题16 任意角与弧度制及三角函数的概念6题型分类 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （一） 终边相同的角 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 题型1：终边相同的角 1-1．（2024高二上·安徽合肥·学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角的终边相同的角为，，即可得出正确答案. 【详解】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 1-2．（2024高一·全国·课后作业）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案. 【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确； 对于C，因为与是终边相同的角， 故与角的终边相同的角可表示为，C正确； 对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误， 故选：C 1-3．（2024·山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是 故选：A 1-4．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 【答案】/ 【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案. 【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得， 所以， 令，解得，所以， 所以在内与角的终边相同的角为. 故答案为：. （二） 角的象限问题 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角 注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 题型2：角的象限问题 2-1．（2024高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项. 【详解】因为是第一象限角，所以是第四象限角， 则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误； 是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误. 故选：C. 2-2．（2024高一下·宁夏银川·期中）已知是锐角，那么是（    ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【分析】由题知，故，进而得答案. 【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C 2-3．（2024高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 2-4．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得. 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以点P在第四象限，即角为第四象限角， 所以为第一象限角，所以为第三象限角. 故选：C 2-5．（2024·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项. 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 2-6．（2024高三上·北京·开学考试）已知点落在角的终边上，且，则是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】 首先求点的坐标，再判断的象限. 【详解】，， 所以，点是第三象限，所以是第三象限角. 故选：C （三） 弧长与扇形面积公式的计算 应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 题型3：弧长与扇形面积公式的计算 3-1．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为 . 【答案】 【分析】利用扇形面积公式可得半径，可得弧长为，即可计算出周长为. 【详解】设扇形的半径为，利用扇形面积计算公式， 可得； 所以该扇形的弧长为， 所以周长为. 故答案为： 3-2．（2024高一下·四川南充·期中）已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： 3-3．（2024高一上·福建龙岩·阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为 平方米. 【答案】100 【分析】本题可通过题意中的“以径乘周四而一”得出答案. 【详解】因为径长为20米，下周长为20米， 所以由题意中“以径乘周四而一”可知， 该扇形菜田的面积平方米。 故答案为：100. 3-4．（2024高三上·湖北武汉·期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积. 【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为， 所以，，可得， 因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，所以，外环圆弧所在圆的半径为， 因此，该扇面的面积为. 故答案为：. 3-5．（2024高一上·重庆北碚·期末）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为 . 【答案】 【分析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为，根据扇形的面积公式得到方程，解得即可. 【详解】解：设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为， 则，， 因为，即，即， 所以. 故答案为： 题型4：扇形计算的最值问题 4-1．（2024高一上·山西朔州·期末）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为，根据题意，，根据扇形的面积公式即可得解. 【详解】解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为， 则，， 当且仅当，解得时，扇形面积最大. 此时. 故答案为：2. 4-2．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 【答案】 【分析】由扇形周长公式列式，根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从而求解得时扇形面积最大，计算出弧长，由弧长公式计算圆心角的值. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 由题意，， 扇形的面积为 ，所以当时， 扇形面积取最大值，此时， 所以扇形的圆心角时，扇形面积最大. 故答案为： 4-3．（2024高一下·浙江温州·期中）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是 ，此时弦长 . 【答案】 4 【分析】设扇形半径为，则弧长，扇形面积解得答案. 【详解】由题意，可设扇形半径为，则弧长，圆心角， 扇形面积， 所以当时，有，此时弦长 故答案为4和 【点睛】本题考查了扇形面积的最大值和弦长，意在考查学生的计算能力. 4-4．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 4-5．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角 弧度． 【答案】. 【分析】由题意得到，求得扇形的面积，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20， 可得，即， 则扇形的面积， 当时，扇形面积取得最大值，此时. 故答案为：. （四） 三角函数定义题 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 题型5：三角函数定义题 5-1．（2024高三上·广东深圳·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则 . 【答案】 【分析】由三角函数定义得应用和角余弦公式求目标函数值. 【详解】由三角函数定义知 则. 故答案为： 5-2．（2024高一上·天津武清·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 . 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值. 【详解】由题设，则且，可得， 所以. 故答案为： 5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由三角函数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】∵角的终边过点，∴，，， 由三角函数的定义知， 故选：A． 5-4．（2024高三上·北京·阶段练习）已知角的终边为射线，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题知角的集合为，再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为角的终边为射线， 所以，角时，， 所以，角的集合为，故A选项错误； 所以， ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误. 故选：C （五） 象限符号与坐标轴角的三角函数值 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；． 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；． 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负． 题型6：象限符号与坐标轴角的三角函数值 6-1．（2024·四川达州·一模）写出一个同时满足下列两个条件的角 .（用弧度制表示） ①，②. 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【分析】由题意求出的范围即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以可取. 故答案为：.（答案不唯一，符合即可） 6-2．（2024高一上·北京大兴·阶段练习）已知，，则是第 象限角． 【答案】四 【分析】由三角函数的正负，判断角所在的象限； 【详解】，角在第三，四象限和y轴非正半轴; ，角在第一，第四象限和x轴非负半轴; 综上可知，满足，且，则是第四象限. 故答案为：四 6-3．（2004·北京）已知，则下列不等关系中必定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设得，即可确定范围，进而求，即可得答案. 【详解】由题设，故为第二象限角，且， 所以且，故，而大小不定. 故选：B 6-4．（2024高三·全国·对口高考）若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据弧度判断角所在象限，进而确定对应函数值符号即可. 【详解】由，即为第四象限角， 所以且. 故选：C 一、单选题 1．（2024·全国）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 2．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图， 取的中点，连接，则，则， 则扇形的半径，所以扇形的弧长， .    故选：D. 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的有（    ）个． ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据三角函数定义得到，，，再依次判断每个式子得到答案. 【详解】，，， ①；②；③；④符号不确定． 故选：C． 4．（2024·新疆·一模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】将的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合，即可得集合的元素个数. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故，共三个元素. 故选：A. 5．（2024高三上·浙江·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（    ）    A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】A 【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解. 【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即， 作于点，则为的中点，且，    因为，在中，，即， 所以，，则， 所以，正十二边形的周长为，所以，. 故选：A. 6．（2024高三上·河北邢台·期末）已知锐角的顶点在原点，始边在轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断在第二象限，求出，即可得的值，将化为，利用两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】由题意得角的终边绕原点逆时针转所得角为， 为锐角，故，且P点横坐标为， 则在第二象限，则， 故， 则 ， 故选：D 7．（2024高三上·辽宁·阶段练习）2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会（成都世界大学生运动会）完美收官．在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标——“十八墨宝”．这组“水墨熊猫”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致．“十八般武艺”造就“十八墨宝”，花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等18个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱．其中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，则弓形的面积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出弓形弧所对圆心角的大小，再求出扇形、三角形面积即可得解. 【详解】依题意，弦AB中点为D，弧AB的中点为C，，，，如图， 设圆的半径为R，，，在中，，解得， ，．显然，则，， ，于是， 因此扇形的面积，而的面积， 所以弓形面积约为. 故选：C 8．（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理求出外接圆的半径为，得出弓形部分所对的圆心角，求出弓形面积后由半圆面积减去弓形面积即得． 【详解】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，， 因此，中弓形面积为， 从而阴影部分面积为． 故选：A． 10．（2024高三上·重庆·阶段练习）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积. 【详解】正三角形的面积为， 圆弧的长度为，故一个弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故选：A 11．（2024高三上·河北承德·期中）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，圆锥的高分别为和，侧面积分别为和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得. 【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为、， 侧面展开图的圆心角分别为、，则， 则，故， 即有，， ，即， 同理，即， 故. 故选：D. 12．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（    ）         图1                   图2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以该折扇的扇面的面积为. 故选：D 13．（2024·河北·模拟预测）已知两圆锥的底面积分别为、，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别设出两圆锥侧面展开图的圆心角及母线长，借助相关公式及基本不等式即可求出最小值. 【详解】设两圆锥的侧面展开图的圆心角分别为、，母线长分别为、， 由题知两个圆锥的底面半径分别为，，所以，， 所以，即， 所以， 当且仅当、时等号成立. 故选：C. 14．（2024高三上·河南·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长计算公式，求圆锥的母线长与高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的母线长为，即扇形的半径. 扇形的圆心角为，即， 由底面圆的半径为， 则底面圆周长，解得， 设圆锥的高为，则， 则圆锥的体积. 故选：C.    15．（2024高三上·福建·期中）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息.其中扇面的圆心角为，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（   ）    A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】设出最小的半径，表示出所有半径，利用弧长公式，结合等差数列求和，可得答案. 【详解】设最小的扇形的半径为，扇形的半径由小到大依次为， 由，则扇形的弧长由小到大依次为， 所以，化简可得，解得. 故选：C. 16．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）若扇形的周长等于40cm，则扇形面积的最大值是（    ）cm2. A．400 B．200 C．100 D．50 【答案】C 【分析】由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，故可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，根据基本不等式做出面积的最大值即可． 【详解】解：设扇形半径为，弧长为，则周长为，面积为， ， ，即扇形面积的最大值是． 故选：． 【点睛】本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值，考查运用所学知识解决问题的能力，本题解题的关键是正确表示出扇形的面积，再利用基本不等式求解，属于基础题． 17．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设母线长分别为，由侧面展开图的圆心角之和与表面积之和列方程求底面半径，利用基本不等式求的最大值. 【详解】设母线长分别为，则侧面展开图的圆心角之和，得． 又表面积之和，得， ，解得，当且仅当时，取“”， 故选：A． 18．（2024高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 19．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意角的三角函数定义即可得到结果. 【详解】根据公式tan = = ， 故选：B. 20．（2024高三上·重庆渝北·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】首先由点的坐标确定角终边的位置，再确定所在象限. 【详解】，，即, 点在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线， 那么的终边在第二象限. 故选：B 21．（2024高三·全国·专题练习）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边上的点写出对应三角函数值，进而求目标式的值. 【详解】由已知得，且，，， 则． 故选：A 22．（2024·辽宁·一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过，用诱导公式将点的坐标化为，根据三角函数的定义即可写出，判断选项即可. 【详解】解：因为，所以， 而， 所以角的终边上点的坐标可写为：， 所以，因此的最小正值为. 故选：D 23．（2024高三·全国·专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】求出角α的范围，进而可求出角2α的范围，即可判断角2α终边所在位置，从而可得到答案． 【详解】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z. ∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z. ∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限. 故选A. 【点睛】本题考查了象限角、轴线角知识，属于基础题． 24．（2024高三上·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【答案】D 【详解】当时，，终边位于第一象限 当时，，终边位于第二象限 当时，，终边位于轴的非正半轴上 当时，，终边位于第一象限 综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上 故选 25．（2024高一下·河南焦作·期中）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解. 【详解】解：因为角的终边与的终边重合， 所以，，所以，， 令，则，此时的终边位于第二象限； 令，则，此时的终边位于第三象限； 令，则，此时的终边位于第四象限． 所以的终边不可能在第一象限， 故选：A． 26．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可. 【详解】因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角. 故选：C． 27．（2024高一下·陕西渭南·阶段练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由为第二象限的点确定与的符号，再由与的符号确定的终边所在象限即可. 【详解】∵点是第二象限的点， ∴，， 由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴； 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，的终边位于第三象限. 故选：C. 28．（2024高三上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点位于第（       ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限. 【详解】因为，， 所以点位于第二象限. 故选：B 29．（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简再确定象限. 【详解】由题意知：，，进而得到，， 所以点（，）位于第三象限. 故选：C 30．（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 进而硧定，. 所以点在第四象限. 故选：D 31．（2024高三下·江西·阶段练习）已知点是角终边上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在第四象限，由求得结果. 【详解】，则点在第四象限， 由，故. 故选：C. 32．（2024高一·全国·课后作业）设，角的终边与圆的交点为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在单位圆上求出，再由三角函数的定义求解即可. 【详解】画图，角的终边与圆的交点为，    设，则，，代入得， 解得， ∵， ∴， ∴， 又∵在单位圆中，，， ∴，， ∴， 故选：D 33．（2024·北京丰台·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设射线与轴非负半轴所成夹角为，射线与轴非负半轴所成夹角为，则，根据三角函数的定义及诱导公式计算可得. 【详解】设射线与轴非负半轴所成夹角为，则，， 射线与轴非负半轴所成夹角为，则， 所以，又，，所以. 故选：D 34．（2024高三·全国·对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求角终边点坐标即可. 【详解】由三角函数定义知：，， 所以，，即P的坐标是. 故选：B 35．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知 是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知， 故选：B 二、多选题 36．（2024高二下·广东·期末）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可得，再结合和已知条件可求出. 【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点， 所以， 因为，所以， 则由，解得，或， 所以可以取或， 故选：AD 37．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知角的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题设可得，，结合三角函数的性质及各选项描述即可判断正误. 【详解】由题设，，故，， 所以在第一象限右上部分或第三象限左下部分（不含边界）， 故符号不定且与大小不定，而，. 所以A、C错误，B、D正确. 故选：BD 三、填空题 38．（2024高三·全国·对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角. 【答案】 一、二、三 【分析】 根据角的终边关系写出两个角的数量关系，注意对称性、周期性应用，根据所在象限写出的范围，讨论其所在的象限即可. 【详解】由角与角的终边相同，则， 由角与角的终边关于x轴对称，则， 由角与角的终边关于y轴对称，则， 由角与角的终边在一条直线上，则， 由是第一象限的角，则， 所以， 当，则，在第一象限； 当，则，在第二象限； 当，则，在第三象限； 当，则依次重复出现在上述三个象限内； 所以在第一、二、三象限. 故答案为：，，，，一、二、三 39．（2024·山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】 【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设，由题意，，所以， 因为,所以， 因为，所以， 因为与圆弧相切于点，所以， 即为等腰直角三角形； 在直角中，，， 因为，所以， 解得； 等腰直角的面积为； 扇形的面积， 所以阴影部分的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 40．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则劣弧所对应的扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】化圆为标准方程，求出圆心到直线的距离，即可求出，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】由题意知，圆C的标准方程为， 圆心到直线l的距离． 设弦AB的中点为M，则．由圆C的半径为2， 得， 所以，所以， 故劣弧所对应的扇形ACB的面积为． 故答案为：. 41．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长为40，则当扇形的面积最大时，它的半径和圆心角分别为 . 【答案】10，2 【分析】设扇形的半径为r，利用周长表示蓖麻同圆心角，再用表示出扇形面积，结合二次函数知识可得结论． 【详解】设扇形的半径为r，圆心角为θ，则rθ+2r=40. ∴扇形的面积S=r2=(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100. ∴当且仅当r=10时，S有最大值100，此时10θ+20=40，θ=2.∴当r=10，θ=2时，扇形的面积最大. 故答案为：10,2． 【点睛】本题考查扇形的周长与面积，属于基础题． 42．（2024·北京）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可） 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 43．（2024高三上·北京顺义·期中）已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， . 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只要找到一组满足题意的角即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限， 此时， 故命题为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 44．（2024高三上·重庆·阶段练习）若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为 ． 【答案】 【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解. 【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为，由题意， 解得，所以扇形的周长为. 故答案为：. 45．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标． 【详解】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查逻辑思维能力，属于常考题. 四、解答题 46．（2024高三·全国·专题练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝ (cm). (2)由题意得解得 (舍去)， 故扇形圆心角为. (3)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键． 47．（2024高一·全国·课后作业）如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心角为可知为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果； （2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，可知； 方法一：由，利用基本不等式可知当时，取得最大值，由可求得结果； 方法二：由，将表示成关于的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得，由可求得结果. 【详解】（1），，又，为等边三角形， ，则劣弧的长为. （2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为， 扇形的周长为，， 方法一：扇形面积（当且仅当时取等号）， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 方法二：扇形面积， 则当时，取得最大值，此时， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 48．（2024高一下·江西赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【答案】(1) (2)取得最大值25，此时 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解； （2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得(舍去)，． 所以扇形圆心角． （2）由已知得，． 所以， 所以当时，取得最大值25， ,解得. 当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知角终边经过点，且．求的值． 【答案】或 【分析】根据三角函数定义求解. 【详解】∵，∴点P到原点的距离． 又，∴． ∵，∴，∴． 当时，P点坐标为， 由三角函数的定义，有，， ∴； 当时，同理可求得． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$